三角形三线专题
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文档简介
1. 三角形的三线：
（1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的________，叫做这个三角形的中线，三角形的三条中线_____________交于一点，这点称为三角形的__________．
（2）在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的______叫做三角形的角平分线，三角形的三条角平分线________________交于一点，这点称为三角形的_________．
（3）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的________叫做三角形的高线（简称三角形的高），三角形的三条高________________交于一点，这点称为三角形的________；锐角三角形的三条高线及垂心都在其________，直角三角形的垂心是________，钝角三角形的垂心和两条高线在其________．
一．选择题（共9小题）
1．如图，在△ABC中，BC边上的高是、在△BCE中，BE边上的高、在△ACD中，AC边上的高分别是（ ）
A．
AF、CD、CE
B．
AF、CE、CD
C．
AC、CE、CD
D．
AF、CD、CE
2．下列说法中正确的是（ ）
A．
三角形三条高所在的直线交于一点
B．
有且只有一条直线与已知直线平行
C．
垂直于同一条直线的两条直线互相垂直
D．
从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离
3．△ABC中BC边上的高作法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如果一个三角形两边上的高的交点在三角形的内部，那么这个三角形是（ ）
A．
锐角三角形
B．
直角三角形
C．
钝角三角形
D．
任意三角形
5．不一定在三角形内部的线段是（ ）
A．
三角形的角平分线
B．
三角形的中线
C．
三角形的高
D．
以上皆不对
6．已知AD是△ABC的中线，且△ABD比△ACD的周长大3cm，则AB与AC的差为（ ）
A．
2cm
B．
3cm
C．
4cm
D．
6cm
7．下列说法中正确的是（ ）
A．
三角形的角平分线、中线、高均在三角形内部
B．
三角形中至少有一个内角不小于60°
C．
直角三角形仅有一条高
D．
三角形的外角大于任何一个内角
8．三角形的①中线、角平分线、高都是线段；②三条高必交于一点；③三条角平分线必交于
一点；
④三条高必在三角形内．其中正确的是（ ）
A．
①②
B．
①③
C．
②④
D．
③④
9．（2015春 无锡校级月考）下列说法正确的是（ ）
①三角形的角平分线是射线；
②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点；
③三角形的三条高都在三角形内部；
④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分．
A．
①②
B．
②③
C．
③④
D．
②④
二．填空题（共2小题）
10．如图，在△ABC中，BE是边AC上的中线，已知AB=4cm，AC=3cm，BE=5cm，则△ABC的周长是 cm．
11．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BE是AC边上的中线，如果AC=10cm，则AE= cm，如果∠ABD=30°，则∠ABC= ．
三．解答题（共10小题）
12．已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O
重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．
（1）如图1，若AB∥ON，则
①∠ABO的度数是 ；
②当∠BAD=∠ABD时，x= ；当∠BAD=∠BDA时，x= ．
（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
13．如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，BE=2，AF=3，填空：
（1）BE= = ．
（2）∠BAD= = ．
（3）∠AFB= = ．
（4）S△AEC= ．
14．如图（1），△ABC中，AD是角平分线，AE⊥BC于点E．
（1）．若∠C=80°，∠B=50°，求∠DAE的度数．
（2）．若∠C＞∠B，试说明∠DAE=（∠C﹣∠B）．
（3）．如图（2）若将点A在AD
上移动到A 处，A E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA E，（2）中的结论还正确吗？为什么？
15．如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，
（1）若∠B=47°，∠C=73°，求∠DAE的度数．
（2）若∠B=α°，∠C=β°
（α＜β），求∠DAE的度数（用含α、β的代数式表示）
16．如图，△ABC的周长为9，AD为中线，△ABD的周长为8，△ACD的周长为7，求AD的长．
17．已知：如图，△ABC中，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，BF是∠ABC的平分线，BF与AE交于O，若∠ABC=40°，∠C=60°，求∠DAE、∠BOE的度数．
18．如图（1），AD是△ABC的高，如图（2），AE是△ABC的角平分线，如图（3），AF是△ABC的中线，完成下列填空：
（1）如图（1），∠ =∠ =90°；S△ABC= ；
（2）如图（2），∠BAE=∠ =∠ ；
（3）如图（3），BF= = ；S△ABF= ．
19．如图，完成下面几何语言的表达．
①∵AD是△ABC的高（已知）；
∴AD⊥BC，∠ = = °．
②∵AE是△ABC的中线（已知），
∴ = = ，
=2 =2 ；
③∵AF是△ABC的角平分线（已知），
∴∠ =∠ =∠ ，
∠ =2∠ =2∠ ．
20．在△ABC中，D为BC的中点，E为AC上任一点，BE交AD于O，某学生在研究这一问题时，发现了如下事实：
（1）当==时，有=；
（2）当==时，有=；
（3）当==时，有=；
①当=时，按照上述的结论，请你猜想用n表示AO/AD的一般性结论（n为正整数）；
②若=，且AD=18，求AO．
点评：
本题考查了三角形的中线能把三角形的面积平分，等高三角形的面积的比等于底的比，熟练掌握这个结论是解题的关键．
已知△ABC的面积是60，请完成下列问题：
（1）如图1，若AD是△ABC的BC边上的中线，则△ABD的面积 △ACD的面积（填“＞”“＜”或“=”）
（2）如图2，若CD、BE分别是△ABC的AB、AC边上的中线，求四边形ADOE的面积可以用如下方法：连接AO，由AD=DB得：S△ADO=S△BDO，同理：S△CEO=S△AEO，设S△ADO=x，S△CEO=y，则S△BDO=x，S△AEO=y由题意得：S△ABE=S△ABC=30，S△ADC=S△ABC=30，可列方程组为：，解得 ，通过解这个方程组可得四边形ADOE的面积为 ．
（3）如图3，AD：DB=1：3，CE：AE=1：2，请你计算四边形ADOE的面积，并说明理由．
答案
一．选择题（共9小题）
1．（2015 楚雄州校级模拟）如图，在△ABC中，BC边上的高是、在△BCE中，BE边上的高、在△ACD中，AC边上的高分别是（ ）
A．
AF、CD、CE
B．
AF、CE、CD
C．
AC、CE、CD
D．
AF、CD、CE
考点：
三角形的角平分线、中线和高．
分析：
根据从三角形顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，确定出答案即可．
解答：
解：在△ABC中，BC边上的高是AF；在△BCE中，BE边上的高CE；在△ACD中，AC边上的高分别是CD；故选B
点评：
本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，是基础题，熟记三角形高的定义是解题的关键．
2．（2015春 东平县校级期末）下列说法中正确的是（ ）
A．
三角形三条高所在的直线交于一点
B．
有且只有一条直线与已知直线平行
C．
垂直于同一条直线的两条直线互相垂直
D．
从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离
考点：
三角形的角平分线、中线和高．
分析：
A正确，即三角形的垂心；B应有无数条因此错误；C在平面几何中垂直于同一条直线的两条直线互相平行所以错误；D中语言错误线段不能叫距离．
解答：
解：B中应为：有无数条直线与已知直线平行，故B错；C中应为：在平面几何中垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故C错，D中应写成垂线段长度；A正确．故选A．
点评：
本题考查了三角形的垂心知识和一些几何基础知识，做题时注意严格对比概念．
3．（2015春 邢台期末）△ABC中BC边上的高作法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
三角形的角平分线、中线和高．
分析：
根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．
解答：
解：为△ABC中BC边上的高的是D选项．故选D．
点评：
本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键．
4．（2015春 昌乐县期末）如果一个三角形两边上的高的交点在三角形的内部，那么这个三角形是（ ）
A．
锐角三角形
B．
直角三角形
C．
钝角三角形
D．
任意三角形
考点：
三角形的角平分线、中线和高．
分析：
根据三角形高的定义知，若三角形的两条高都在三角形的内部，则此三角形是锐角三角形．
解答：
解：利用三角形高线的位置关系得出：如果一个三角形两边上的高的交点在三角形的内部，那么这个三角形是锐角三角形．故选：A．
点评：
此题主要考查了三角形的高线性质，了解不同形状的三角形的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形的三条高中，有两条是它的直角边，另一条在内部；钝角三角形的三条高有两条在外部，一条在内部．
5．（2015春 沙河市期末）不一定在三角形内部的线段是（ ）
A．
三角形的角平分线
B．
三角形的中线
C．
三角形的高
D．
以上皆不对
考点：
三角形的角平分线、中线和高．
分析：
根据三角形的角平分线、中线、高线的定义解答即可．
解答：
解：三角形的角平分线、中线一定在三角形的内部，直角三角形的高线有两条是三角形的直角边，钝角三角形的高线有两条在三角形的外部，所以，不一定在三角形内部的线段是三角形的高．故选C．
点评：
本题考查了三角形的角平分线、中线和高，是基础题，熟记概念是解题的关键．
6．（2015春 莘县期末）已知AD是△ABC的中线，且△ABD比△ACD的周长大3cm，则AB与AC的差为（ ）
A．
2cm
B．
3cm
C．
4cm
D．
6cm
考点：
三角形的角平分线、中线和高．
分析：
根据三角形中线的定义可得BD=CD，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．
解答：
解：∵AD是△ABC的中线，∴BD=DC，∴△ABD与△ACD的周长之差=（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）=AB﹣AC，∵△ABD比△ACD的周长大3cm，∴AB与AC的差为3cm．故选B．
点评：
本题考查了三角形的角平分线、中线和高线，熟记概念并求出两三角形周长的差等于AB﹣AC是解题的关键．
7．（2015春 崇安区期中）下列说法中正确的是（ ）
A．
三角形的角平分线、中线、高均在三角形内部
B．
三角形中至少有一个内角不小于60°
C．
直角三角形仅有一条高
D．
三角形的外角大于任何一个内角
考点：
三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；三角形的外角性质．
分析：
根据三角形的角平分线、中线、高的定义及性质判断A；根据三角形的内角和定理判断B；根据三角形的高的定义及性质判断C；根据三角形外角的性质判断D．
解答：
解：A、三角形的角平分线、中线与锐角三角形的三条高均在三角形内部，而直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，故本选项错误；B、如果三角形中每一个内角都小于60°，那么三个角的和小于180°，与三角形的内角和定理相矛盾，故本选项正确；C、直角三角形有三条高，故本选项错误；D、三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角，故本选项错误；故选B．
点评：
本题考查了三角形的角平分线、中线、高的定义及性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟记定理与性质是解题的关键．
8．（2015春 深圳校级期中）三角形的①中线、角平分线、高都是线段；②三条高必交于一点；③三条角平分线必交于
一点；
④三条高必在三角形内．其中正确的是（ ）
A．
①②
B．
①③
C．
②④
D．
③④
考点：
三角形的角平分线、中线和高．
分析：
根据三角形的中线、角平分线、高的定义对四个说法分析判断后利用排除法求解．
解答：
解：①三角形的中线、角平分线、高都是线段，说法正确；②三角形的三条高所在的直线交于一点，三条高不一定相交，故三条高必交于一点的说法错误；③三条角平分线必交于一点，说法正确；
④锐角三角形的三条高在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．故三条高必在三角形内的说法错误；故选：B．
点评：
本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．熟记概念与性质是解题的关键．
9．（2015春 无锡校级月考）下列说法正确的是（ ）
①三角形的角平分线是射线；
②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点；
③三角形的三条高都在三角形内部；
④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分．
A．
①②
B．
②③
C．
③④
D．
②④
考点：
三角形的角平分线、中线和高．
分析：
根据三角形的角平分线的定义与性质判断①与②；根据三角形的高的定义及性质判断③；根据三角形的中线的定义及性质判断④即可．
解答：
解：①三角形的角平分线是线段，说法错误；②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点，说法正确；③锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．说法错误；④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分，说法正确．故选D．
点评：
本题考查了三角形的角平分线、中线和高的定义及性质，是基础题．从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
二．填空题（共2小题）
10．（2014 海南模拟）如图，在△ABC中，BE是边AC上的中线，已知AB=4cm，AC=3cm，BE=5cm，则△ABC的周长是 cm．
考点：
三角形的角平分线、中线和高．
分析：
根据三角形的中线定理：AB2+BC2=2（BE2+AE2），来求出BC的长度，然后再来求△ABC的周长．
解答：
解：∵在△ABC中，BE是边AC上的中线，∴AB2+BC2=2（BE2+AE2），AE=AC，∵AB=4cm，AC=3cm，BE=5cm，∴BC=（cm），∴AB+BC+AC=（cm），即△ABC的周长是cm．
点评：
本题主要考查了三角形的中线定理．
11．（2014春 合川区校级期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BE是AC边上的中线，如果AC=10cm，则AE= 5 cm，如果∠ABD=30°，则∠ABC= 60° ．
考点：
三角形的角平分线、中线和高．
分析：
根据题意，E是边AC的中点，所以AE=AC，代入数据计算即可；根据角平分线的定义，∠ABC=2∠ABD，然后代入数据计算即可．
解答：
解：∵BE是AC边上的中线，AC=10cm，∴AE=AC=×10=5cm，∵BD平分∠ABC，∠ABD=30°，∴∠ABC=2∠ABD=2×30°=60°．故答案为：5；60°．
点评：
本题主要考查了三角形中线的定义以及三角形角平分线的定义，熟记定义并灵活运用是解题的关键，是基础题．
三．解答题（共10小题）
12．（2015春 邢台期末）已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O
重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．
（1）如图1，若AB∥ON，则
①∠ABO的度数是 20° ；
②当∠BAD=∠ABD时，x= 120° ；当∠BAD=∠BDA时，x= 60° ．
（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
考点：
三角形的角平分线、中线和高；平行线的性质；三角形内角和定理．
专题：
计算题．
分析：
利用角平分线的性质求出∠ABO的度数是关键，分类讨论的思想．
解答：
解：（1）①∵∠MON=40°，OE平分∠MON∴∠AOB=∠BON=20°∵AB∥ON∴∠ABO=20°②∵∠BAD=∠ABD∴∠BAD=20°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∴∠OAC=120°∵∠BAD=∠BDA，∠ABO=20°∴∠BAD=80°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∴∠OAC=60°故答案为：①20
②120，60（2）①当点D在线段OB上时，若∠BAD=∠ABD，则x=20
若∠BAD=∠BDA，则x=35
若∠ADB=∠ABD，则x=50②当点D在射线BE上时，因为∠ABE=110°，且三角形的内角和为180°，所以只有∠BAD=∠BDA，此时x=125．
综上可知，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角，且x=20、35、50、125．
点评：
本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和．
13．（2014秋 剑川县期末）如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，BE=2，AF=3，填空：
（1）BE= CE = BC ．
（2）∠BAD= ∠DAC = ∠BAC ．
（3）∠AFB= ∠AFC = 90° ．
（4）S△AEC= 3 ．
考点：
三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积．
分析：
分别根据三角形的中线、角平分线和高及三角形的面积公式进行计算即可．
解答：
解：（1）∵AE是中线，∴BE=CE=BC．故答案为：CE，BC；（2）∵AD是角平分线，∴∠BAD=∠DAC=∠BAC．故答案为：∠DAC，∠BAC；（3）∵AF是高，∴∠AFB=∠AFC=90°．故答案为：∠AFC，90°；（4）∵AE是中线，AF是高，BE=2，AF=3，∴BE=CE=2，∴S△AEC=CE AF=×2×3=3．故答案为：3．
点评：
本题考查的是三角形的中线、角平分线和高，熟知三角形的中线、角平分线和高的性质是解答此题的关键．
14．（2012春 桑日县校级期中）如图（1），△ABC中，AD是角平分线，AE⊥BC于点E．
（1）．若∠C=80°，∠B=50°，求∠DAE的度数．
（2）．若∠C＞∠B，试说明∠DAE=（∠C﹣∠B）．
（3）．如图（2）若将点A在AD
上移动到A 处，A E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA E，（2）中的结论还正确吗？为什么？
考点：
三角形的角平分线、中线和高；角平分线的定义；垂线；三角形内角和定理．
专题：
动点型．
分析：
（1）先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，在△ADC中，利用三角形内角和求出∠ADC的度数，从而可得∠DAE的度数．（2）结合第（1）小题的计算过程进行证明即可．（3）利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和先用∠B和∠C表示出∠A′DE，再根据三角形的内角和定理可证明∠DA′E=（∠C﹣∠B）．
解答：
解：（1）在△ABC中，∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣50°﹣80°=50°；∵AD是角平分线，∴∠DAC=∠BAC=25°；在△ADC中，∠ADC=180°﹣∠C﹣∠DAC=75°；在△ADE中，∠DAE=180°﹣∠ADC﹣AED=15°．（2）∠DAE=180°﹣∠ADC﹣AED=180°﹣∠ADC﹣90°=90°﹣∠ADC=90°﹣（180°﹣∠C﹣∠DAC）=90°﹣（180°﹣∠C﹣∠BAC）=90°﹣[180°﹣∠C﹣（180°﹣∠B﹣∠C）]=（∠C﹣∠B）．（3）（2）中的结论仍正确．∠A′DE=∠B+∠BAD=∠B+∠BAC=∠B+（180°﹣∠B﹣∠C）=90°+∠B﹣∠C；在△DA′E中，∠DA′E=180°﹣∠A′ED﹣∠A′DE=180°﹣90°﹣（90°+∠B﹣∠C）=（∠C﹣∠B）．
点评：
本题考查了三角形的角平分线和高，三角形的内角和定理，垂线等知识，注意综合运用三角形的有关概念是解题关键．
15．（2012春 都江堰市校级期中）如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，
（1）若∠B=47°，∠C=73°，求∠DAE的度数．
（2）若∠B=α°，∠C=β°
（α＜β），求∠DAE的度数（用含α、β的代数式表示）
考点：
三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理．
分析：
（1）根据三角形的内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求出∠BAE的度数，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD的度数，然后根据∠DAE=∠BAD﹣∠BAE计算即可得解；（2）根据（1）的思路，把度数换为α、β，整理即可得解．
解答：
解：（1）∵∠B=47°，∠C=73°，∴∠BAC=180°﹣47°﹣73°=60°，∵AD是△ABC的BC边上的高，∴∠BAD=90°﹣47°=43°，∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE=∠BAC=30°，∴∠DAE=∠BAD﹣∠BAE=43°﹣30°=13°；（2））∵∠B=α°，∠C=β°，∴∠BAC=180°﹣α°﹣β°，∵AD是△ABC的BC边上的高，∴∠BAD=90°﹣α°，∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE=∠BAC=（180°﹣α°﹣β°），∴∠DAE=∠BAD﹣∠BAE=90°﹣α°﹣（180°﹣α°﹣β°），=90°﹣α°﹣90°+α°+β°，=（β﹣α）°．
点评：
本题考查了三角形的角平分线，三角形的高线，以及三角形的内角和定理，仔细分析图形，观察出∠DAE=∠BAD﹣∠BAE，然后分别表示出∠BAD与∠BAE是解题的关键．
16．如图，△ABC的周长为9，AD为中线，△ABD的周长为8，△ACD的周长为7，求AD的长．
考点：
三角形的角平分线、中线和高．
分析：
先根据三角形的中线的定义求出BC=2BD=2CD，再根据三角形周长的定义得出AB+BC+AC=9，AB+BD+AD=8，AC+CD+AD=7，进而求出即可．
解答：
解：∵AD是△ABC的中线，∴BC=2BD=2CD，∵△ABC的周长为9，AD为中线，△ABD的周长为8，△ACD的周长为7，∴AB+BC+AC=9，AB+BD+AD=8，AC+CD+AD=7，∴（AB+BD+AD）+（AC+CD+AD）﹣（AB+BC+AC）=8+7﹣9，∴2AD=6，∴AD=3．
点评：
本题考查了三角形的中线，三角形的周长，关键是求出2AD=（AB+BD+AD）+（AC+CD+AD）﹣（AB+BC+AC）=6．
17．已知：如图，△ABC中，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，BF是∠ABC的平分线，BF与AE交于O，若∠ABC=40°，∠C=60°，求∠DAE、∠BOE的度数．
考点：
三角形的角平分线、中线和高．
分析：
先根据三角形的内角和定理得到∠BAC的度数，再利用角平分线的性质可求出∠DAC=∠BAC，而∠EAC=90°﹣∠C，然后利用∠DAE=∠DAC﹣∠EAC进行计算即可．由三角形外角的性质求得∠AFO=80°，利用三角形内角和定理得到∠AOF=50°，所以对顶角相等：∠BOE=∠AOF=50°．
解答：
解：①在△ABC中，∵∠ABC=40°，∠C=60°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=80°．∵AE是的角平分线，∴∠EAC=∠BAC=40°．∵AD是△ABC的高，∴∠ADC=90°∴在△ADC中，∠DAC=180°﹣∠ADC﹣∠C=180°﹣90°﹣60°=30°∴∠DAE=∠EAC﹣∠DAC=40°﹣30°=10°．②∵BF是∠ABC的平分线，∠ABC=40°，∴∠FBC=∠ABC=20°，又∵∠C=60°，∴∠AFO=80°，∴∠AOF=180°﹣80°﹣50°=50°，∴∠BOE=∠AOF=50°．
点评：
考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．也考查了三角形的高线与角平分线的性质．
18．如图（1），AD是△ABC的高，如图（2），AE是△ABC的角平分线，如图（3），AF是△ABC的中线，完成下列填空：
（1）如图（1），∠ ADB =∠ ADC =90°；S△ABC= ；
（2）如图（2），∠BAE=∠ EAC =∠ BAC ；
（3）如图（3），BF= FC = BC ；S△ABF= S△AFC． ．
考点：
三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；三角形内角和定理．
分析：
（1）根据三角形的高的概念即可完成填空；（2）根据三角形的角平分线的概念即可完成填空；（3）根据三角形的中线的概念即可完成填空．
解答：
解：（1）如图（1），∠ADB=∠ADC=90°；S△ABC=；（2）如图（2），∠BAE=∠EAC=∠BAC；（3）如图（3），BF=FC=BC；S△ABF=S△AFC．故答案为：ADB；ADC；；EAC；BAC；FC；BC；S△AFC．
点评：
此题考查三角形的角平分线、中线、高问题，能够根据三角形的中线、角平分线和高的概念得到线段、角之间的关系．
19．如图，完成下面几何语言的表达．
①∵AD是△ABC的高（已知）；
∴AD⊥BC，∠ ADB = ∠ADC = 90 °．
②∵AE是△ABC的中线（已知），
∴ BE = CE = BC ，
BC =2 BE =2 CE ；
③∵AF是△ABC的角平分线（已知），
∴∠ BAF =∠ CAF =∠ BAC ，
∠ BAC =2∠ BAF =2∠ CAF ．
考点：
三角形的角平分线、中线和高．
分析：
①根据三角形的定义和垂直的定义解答；②根据三角形的中线的定义和线段的中点的定义解答；③根据三角形的角平分线和角平分线的定义解答．
解答：
解：①∵AD是△ABC的高（已知）；∴AD⊥BC，∠ADB=∠ADC=90°．②∵AE是△ABC的中线（已知），∴BE=CE=BC，BC=2BE=2CE；③∵AF是△ABC的角平分线（已知），∴∠BAF=∠CAF=∠BAC，∠BA=2∠BAF=2∠CAF．故答案为：ADB，∠ADC，90，BE，CE，BC，BC，BE，CE，BAF，CAF，BAC，BCA，BAF，CAF．
点评：
本题考查了三角形的角平分线，中线，高，熟记各定义是解题的关键．
20．在△ABC中，D为BC的中点，E为AC上任一点，BE交AD于O，某学生在研究这一问题时，发现了如下事实：
（1）当==时，有=；
（2）当==时，有=；
（3）当==时，有=；
①当=时，按照上述的结论，请你猜想用n表示AO/AD的一般性结论（n为正整数）；
②若=，且AD=18，求AO．
考点：
三角形的角平分线、中线和高．
专题：
规律型．
分析：
①过D作DF∥BE，即求AE：AD，因为当=时，可以根据平行线分线段成比例，及线段相互间的关系即可得出．②利用①中方法得出AE：（AE+2EF）=1：8，进而得出AE：EF=2：7，以及==得出答案即可．
解答：
解：①过D作DF∥BE，∴AO：AD=AE：AF．∵D为BC边的中点，∴CF=EF=0.5EC．∵=，∴AE：（AE+2EF）=1：（1+n）．∴AE：EF=2：n．∴AE：AF=2：（n+2）．∴=；②过D作DF∥BE，∴AO：AD=AE：AF．∵D为BC边的中点，∴CF=EF=0.5EC．∵=，∴AE：（AE+2EF）=1：8，∴AE：EF=2：7，∴==，∵AD=18，∴AO=4．
点评：
此题主要考查了平行线分线段成比例定理性质，根据已知熟练将比例是变形得出是解题关键．
21．（2015春 迁安市期末）已知△ABC的面积是60，请完成下列问题：
（1）如图1，若AD是△ABC的BC边上的中线，则△ABD的面积 = △ACD的面积（填“＞”“＜”或“=”）
（2）如图2，若CD、BE分别是△ABC的AB、AC边上的中线，求四边形ADOE的面积可以用如下方法：连接AO，由AD=DB得：S△ADO=S△BDO，同理：S△CEO=S△AEO，设S△ADO=x，S△CEO=y，则S△BDO=x，S△AEO=y由题意得：S△ABE=S△ABC=30，S△ADC=S△ABC=30，可列方程组为：，解得 ，通过解这个方程组可得四边形ADOE的面积为 20 ．
（3）如图3，AD：DB=1：3，CE：AE=1：2，请你计算四边形ADOE的面积，并说明理由．
考点：
三角形的面积．
分析：
（1）根据等底等高的两个三角形面积相等知，三角形的中线把三角形的面积分为相等的两部分，所以S△ABD=S△ACD；（2）根据三角形的中线能把三角形的面积平分，等高三角形的面积的比等于底的比，即可得到结果；（3）连结AO，由AD：DB=1：3，得到S△ADO=S△BDO，同理可得S△CEO=S△AEO，设S△ADO=x，S△CEO=y，则S△BDO=3x，S△AEO=2y，由题意得列方程组即可得到结果．
解答：
解：（1）如图1，过A作AH⊥BC于H，∵AD是△ABC的BC边上的中线，∴BD=CD，∴，，∴S△ABD=S△ACD，故答案为：=；（2）解方程组得，∴S△AOD=S△BOD=10，∴S四边形ADOB=S△AOD+S△AOE=10+10=20，故答案为：得，20；（3）如图3，连结AO，∵AD：DB=1：3，∴S△ADO=S△BDO，∵CE：AE=1：2，∴S△CEO=S△AEO，设S△ADO=x，S△CEO=y，则S△BDO=3x，S△AEO=2y，由题意得：S△ABE=S△ABC=40，S△ADC=S△ABC=15，可列方程组为：，解得：，∴S四边形ADOE=S△ADO+S△AEO=x+2
y=13．
点评：
本题考查了三角形的中线能把三角形的面积平分，等高三角形的面积的比等于底的比，熟练掌握这个结论是解题的关键．
（1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的________，叫做这个三角形的中线，三角形的三条中线_____________交于一点，这点称为三角形的__________．
（2）在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的______叫做三角形的角平分线，三角形的三条角平分线________________交于一点，这点称为三角形的_________．
（3）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的________叫做三角形的高线（简称三角形的高），三角形的三条高________________交于一点，这点称为三角形的________；锐角三角形的三条高线及垂心都在其________，直角三角形的垂心是________，钝角三角形的垂心和两条高线在其________．
一．选择题（共9小题）
1．如图，在△ABC中，BC边上的高是、在△BCE中，BE边上的高、在△ACD中，AC边上的高分别是（ ）
A．
AF、CD、CE
B．
AF、CE、CD
C．
AC、CE、CD
D．
AF、CD、CE
2．下列说法中正确的是（ ）
A．
三角形三条高所在的直线交于一点
B．
有且只有一条直线与已知直线平行
C．
垂直于同一条直线的两条直线互相垂直
D．
从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离
3．△ABC中BC边上的高作法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如果一个三角形两边上的高的交点在三角形的内部，那么这个三角形是（ ）
A．
锐角三角形
B．
直角三角形
C．
钝角三角形
D．
任意三角形
5．不一定在三角形内部的线段是（ ）
A．
三角形的角平分线
B．
三角形的中线
C．
三角形的高
D．
以上皆不对
6．已知AD是△ABC的中线，且△ABD比△ACD的周长大3cm，则AB与AC的差为（ ）
A．
2cm
B．
3cm
C．
4cm
D．
6cm
7．下列说法中正确的是（ ）
A．
三角形的角平分线、中线、高均在三角形内部
B．
三角形中至少有一个内角不小于60°
C．
直角三角形仅有一条高
D．
三角形的外角大于任何一个内角
8．三角形的①中线、角平分线、高都是线段；②三条高必交于一点；③三条角平分线必交于
一点；
④三条高必在三角形内．其中正确的是（ ）
A．
①②
B．
①③
C．
②④
D．
③④
9．（2015春 无锡校级月考）下列说法正确的是（ ）
①三角形的角平分线是射线；
②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点；
③三角形的三条高都在三角形内部；
④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分．
A．
①②
B．
②③
C．
③④
D．
②④
二．填空题（共2小题）
10．如图，在△ABC中，BE是边AC上的中线，已知AB=4cm，AC=3cm，BE=5cm，则△ABC的周长是 cm．
11．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BE是AC边上的中线，如果AC=10cm，则AE= cm，如果∠ABD=30°，则∠ABC= ．
三．解答题（共10小题）
12．已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O
重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．
（1）如图1，若AB∥ON，则
①∠ABO的度数是 ；
②当∠BAD=∠ABD时，x= ；当∠BAD=∠BDA时，x= ．
（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
13．如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，BE=2，AF=3，填空：
（1）BE= = ．
（2）∠BAD= = ．
（3）∠AFB= = ．
（4）S△AEC= ．
14．如图（1），△ABC中，AD是角平分线，AE⊥BC于点E．
（1）．若∠C=80°，∠B=50°，求∠DAE的度数．
（2）．若∠C＞∠B，试说明∠DAE=（∠C﹣∠B）．
（3）．如图（2）若将点A在AD
上移动到A 处，A E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA E，（2）中的结论还正确吗？为什么？
15．如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，
（1）若∠B=47°，∠C=73°，求∠DAE的度数．
（2）若∠B=α°，∠C=β°
（α＜β），求∠DAE的度数（用含α、β的代数式表示）
16．如图，△ABC的周长为9，AD为中线，△ABD的周长为8，△ACD的周长为7，求AD的长．
17．已知：如图，△ABC中，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，BF是∠ABC的平分线，BF与AE交于O，若∠ABC=40°，∠C=60°，求∠DAE、∠BOE的度数．
18．如图（1），AD是△ABC的高，如图（2），AE是△ABC的角平分线，如图（3），AF是△ABC的中线，完成下列填空：
（1）如图（1），∠ =∠ =90°；S△ABC= ；
（2）如图（2），∠BAE=∠ =∠ ；
（3）如图（3），BF= = ；S△ABF= ．
19．如图，完成下面几何语言的表达．
①∵AD是△ABC的高（已知）；
∴AD⊥BC，∠ = = °．
②∵AE是△ABC的中线（已知），
∴ = = ，
=2 =2 ；
③∵AF是△ABC的角平分线（已知），
∴∠ =∠ =∠ ，
∠ =2∠ =2∠ ．
20．在△ABC中，D为BC的中点，E为AC上任一点，BE交AD于O，某学生在研究这一问题时，发现了如下事实：
（1）当==时，有=；
（2）当==时，有=；
（3）当==时，有=；
①当=时，按照上述的结论，请你猜想用n表示AO/AD的一般性结论（n为正整数）；
②若=，且AD=18，求AO．
点评：
本题考查了三角形的中线能把三角形的面积平分，等高三角形的面积的比等于底的比，熟练掌握这个结论是解题的关键．
已知△ABC的面积是60，请完成下列问题：
（1）如图1，若AD是△ABC的BC边上的中线，则△ABD的面积 △ACD的面积（填“＞”“＜”或“=”）
（2）如图2，若CD、BE分别是△ABC的AB、AC边上的中线，求四边形ADOE的面积可以用如下方法：连接AO，由AD=DB得：S△ADO=S△BDO，同理：S△CEO=S△AEO，设S△ADO=x，S△CEO=y，则S△BDO=x，S△AEO=y由题意得：S△ABE=S△ABC=30，S△ADC=S△ABC=30，可列方程组为：，解得 ，通过解这个方程组可得四边形ADOE的面积为 ．
（3）如图3，AD：DB=1：3，CE：AE=1：2，请你计算四边形ADOE的面积，并说明理由．
答案
一．选择题（共9小题）
1．（2015 楚雄州校级模拟）如图，在△ABC中，BC边上的高是、在△BCE中，BE边上的高、在△ACD中，AC边上的高分别是（ ）
A．
AF、CD、CE
B．
AF、CE、CD
C．
AC、CE、CD
D．
AF、CD、CE
考点：
三角形的角平分线、中线和高．
分析：
根据从三角形顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，确定出答案即可．
解答：
解：在△ABC中，BC边上的高是AF；在△BCE中，BE边上的高CE；在△ACD中，AC边上的高分别是CD；故选B
点评：
本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，是基础题，熟记三角形高的定义是解题的关键．
2．（2015春 东平县校级期末）下列说法中正确的是（ ）
A．
三角形三条高所在的直线交于一点
B．
有且只有一条直线与已知直线平行
C．
垂直于同一条直线的两条直线互相垂直
D．
从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离
考点：
三角形的角平分线、中线和高．
分析：
A正确，即三角形的垂心；B应有无数条因此错误；C在平面几何中垂直于同一条直线的两条直线互相平行所以错误；D中语言错误线段不能叫距离．
解答：
解：B中应为：有无数条直线与已知直线平行，故B错；C中应为：在平面几何中垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故C错，D中应写成垂线段长度；A正确．故选A．
点评：
本题考查了三角形的垂心知识和一些几何基础知识，做题时注意严格对比概念．
3．（2015春 邢台期末）△ABC中BC边上的高作法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
三角形的角平分线、中线和高．
分析：
根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答．
解答：
解：为△ABC中BC边上的高的是D选项．故选D．
点评：
本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键．
4．（2015春 昌乐县期末）如果一个三角形两边上的高的交点在三角形的内部，那么这个三角形是（ ）
A．
锐角三角形
B．
直角三角形
C．
钝角三角形
D．
任意三角形
考点：
三角形的角平分线、中线和高．
分析：
根据三角形高的定义知，若三角形的两条高都在三角形的内部，则此三角形是锐角三角形．
解答：
解：利用三角形高线的位置关系得出：如果一个三角形两边上的高的交点在三角形的内部，那么这个三角形是锐角三角形．故选：A．
点评：
此题主要考查了三角形的高线性质，了解不同形状的三角形的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形的三条高中，有两条是它的直角边，另一条在内部；钝角三角形的三条高有两条在外部，一条在内部．
5．（2015春 沙河市期末）不一定在三角形内部的线段是（ ）
A．
三角形的角平分线
B．
三角形的中线
C．
三角形的高
D．
以上皆不对
考点：
三角形的角平分线、中线和高．
分析：
根据三角形的角平分线、中线、高线的定义解答即可．
解答：
解：三角形的角平分线、中线一定在三角形的内部，直角三角形的高线有两条是三角形的直角边，钝角三角形的高线有两条在三角形的外部，所以，不一定在三角形内部的线段是三角形的高．故选C．
点评：
本题考查了三角形的角平分线、中线和高，是基础题，熟记概念是解题的关键．
6．（2015春 莘县期末）已知AD是△ABC的中线，且△ABD比△ACD的周长大3cm，则AB与AC的差为（ ）
A．
2cm
B．
3cm
C．
4cm
D．
6cm
考点：
三角形的角平分线、中线和高．
分析：
根据三角形中线的定义可得BD=CD，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．
解答：
解：∵AD是△ABC的中线，∴BD=DC，∴△ABD与△ACD的周长之差=（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）=AB﹣AC，∵△ABD比△ACD的周长大3cm，∴AB与AC的差为3cm．故选B．
点评：
本题考查了三角形的角平分线、中线和高线，熟记概念并求出两三角形周长的差等于AB﹣AC是解题的关键．
7．（2015春 崇安区期中）下列说法中正确的是（ ）
A．
三角形的角平分线、中线、高均在三角形内部
B．
三角形中至少有一个内角不小于60°
C．
直角三角形仅有一条高
D．
三角形的外角大于任何一个内角
考点：
三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；三角形的外角性质．
分析：
根据三角形的角平分线、中线、高的定义及性质判断A；根据三角形的内角和定理判断B；根据三角形的高的定义及性质判断C；根据三角形外角的性质判断D．
解答：
解：A、三角形的角平分线、中线与锐角三角形的三条高均在三角形内部，而直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，故本选项错误；B、如果三角形中每一个内角都小于60°，那么三个角的和小于180°，与三角形的内角和定理相矛盾，故本选项正确；C、直角三角形有三条高，故本选项错误；D、三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角，故本选项错误；故选B．
点评：
本题考查了三角形的角平分线、中线、高的定义及性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟记定理与性质是解题的关键．
8．（2015春 深圳校级期中）三角形的①中线、角平分线、高都是线段；②三条高必交于一点；③三条角平分线必交于
一点；
④三条高必在三角形内．其中正确的是（ ）
A．
①②
B．
①③
C．
②④
D．
③④
考点：
三角形的角平分线、中线和高．
分析：
根据三角形的中线、角平分线、高的定义对四个说法分析判断后利用排除法求解．
解答：
解：①三角形的中线、角平分线、高都是线段，说法正确；②三角形的三条高所在的直线交于一点，三条高不一定相交，故三条高必交于一点的说法错误；③三条角平分线必交于一点，说法正确；
④锐角三角形的三条高在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．故三条高必在三角形内的说法错误；故选：B．
点评：
本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．熟记概念与性质是解题的关键．
9．（2015春 无锡校级月考）下列说法正确的是（ ）
①三角形的角平分线是射线；
②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点；
③三角形的三条高都在三角形内部；
④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分．
A．
①②
B．
②③
C．
③④
D．
②④
考点：
三角形的角平分线、中线和高．
分析：
根据三角形的角平分线的定义与性质判断①与②；根据三角形的高的定义及性质判断③；根据三角形的中线的定义及性质判断④即可．
解答：
解：①三角形的角平分线是线段，说法错误；②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点，说法正确；③锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．说法错误；④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分，说法正确．故选D．
点评：
本题考查了三角形的角平分线、中线和高的定义及性质，是基础题．从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
二．填空题（共2小题）
10．（2014 海南模拟）如图，在△ABC中，BE是边AC上的中线，已知AB=4cm，AC=3cm，BE=5cm，则△ABC的周长是 cm．
考点：
三角形的角平分线、中线和高．
分析：
根据三角形的中线定理：AB2+BC2=2（BE2+AE2），来求出BC的长度，然后再来求△ABC的周长．
解答：
解：∵在△ABC中，BE是边AC上的中线，∴AB2+BC2=2（BE2+AE2），AE=AC，∵AB=4cm，AC=3cm，BE=5cm，∴BC=（cm），∴AB+BC+AC=（cm），即△ABC的周长是cm．
点评：
本题主要考查了三角形的中线定理．
11．（2014春 合川区校级期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BE是AC边上的中线，如果AC=10cm，则AE= 5 cm，如果∠ABD=30°，则∠ABC= 60° ．
考点：
三角形的角平分线、中线和高．
分析：
根据题意，E是边AC的中点，所以AE=AC，代入数据计算即可；根据角平分线的定义，∠ABC=2∠ABD，然后代入数据计算即可．
解答：
解：∵BE是AC边上的中线，AC=10cm，∴AE=AC=×10=5cm，∵BD平分∠ABC，∠ABD=30°，∴∠ABC=2∠ABD=2×30°=60°．故答案为：5；60°．
点评：
本题主要考查了三角形中线的定义以及三角形角平分线的定义，熟记定义并灵活运用是解题的关键，是基础题．
三．解答题（共10小题）
12．（2015春 邢台期末）已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O
重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．
（1）如图1，若AB∥ON，则
①∠ABO的度数是 20° ；
②当∠BAD=∠ABD时，x= 120° ；当∠BAD=∠BDA时，x= 60° ．
（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
考点：
三角形的角平分线、中线和高；平行线的性质；三角形内角和定理．
专题：
计算题．
分析：
利用角平分线的性质求出∠ABO的度数是关键，分类讨论的思想．
解答：
解：（1）①∵∠MON=40°，OE平分∠MON∴∠AOB=∠BON=20°∵AB∥ON∴∠ABO=20°②∵∠BAD=∠ABD∴∠BAD=20°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∴∠OAC=120°∵∠BAD=∠BDA，∠ABO=20°∴∠BAD=80°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∴∠OAC=60°故答案为：①20
②120，60（2）①当点D在线段OB上时，若∠BAD=∠ABD，则x=20
若∠BAD=∠BDA，则x=35
若∠ADB=∠ABD，则x=50②当点D在射线BE上时，因为∠ABE=110°，且三角形的内角和为180°，所以只有∠BAD=∠BDA，此时x=125．
综上可知，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角，且x=20、35、50、125．
点评：
本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和．
13．（2014秋 剑川县期末）如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，BE=2，AF=3，填空：
（1）BE= CE = BC ．
（2）∠BAD= ∠DAC = ∠BAC ．
（3）∠AFB= ∠AFC = 90° ．
（4）S△AEC= 3 ．
考点：
三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积．
分析：
分别根据三角形的中线、角平分线和高及三角形的面积公式进行计算即可．
解答：
解：（1）∵AE是中线，∴BE=CE=BC．故答案为：CE，BC；（2）∵AD是角平分线，∴∠BAD=∠DAC=∠BAC．故答案为：∠DAC，∠BAC；（3）∵AF是高，∴∠AFB=∠AFC=90°．故答案为：∠AFC，90°；（4）∵AE是中线，AF是高，BE=2，AF=3，∴BE=CE=2，∴S△AEC=CE AF=×2×3=3．故答案为：3．
点评：
本题考查的是三角形的中线、角平分线和高，熟知三角形的中线、角平分线和高的性质是解答此题的关键．
14．（2012春 桑日县校级期中）如图（1），△ABC中，AD是角平分线，AE⊥BC于点E．
（1）．若∠C=80°，∠B=50°，求∠DAE的度数．
（2）．若∠C＞∠B，试说明∠DAE=（∠C﹣∠B）．
（3）．如图（2）若将点A在AD
上移动到A 处，A E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA E，（2）中的结论还正确吗？为什么？
考点：
三角形的角平分线、中线和高；角平分线的定义；垂线；三角形内角和定理．
专题：
动点型．
分析：
（1）先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，在△ADC中，利用三角形内角和求出∠ADC的度数，从而可得∠DAE的度数．（2）结合第（1）小题的计算过程进行证明即可．（3）利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和先用∠B和∠C表示出∠A′DE，再根据三角形的内角和定理可证明∠DA′E=（∠C﹣∠B）．
解答：
解：（1）在△ABC中，∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣50°﹣80°=50°；∵AD是角平分线，∴∠DAC=∠BAC=25°；在△ADC中，∠ADC=180°﹣∠C﹣∠DAC=75°；在△ADE中，∠DAE=180°﹣∠ADC﹣AED=15°．（2）∠DAE=180°﹣∠ADC﹣AED=180°﹣∠ADC﹣90°=90°﹣∠ADC=90°﹣（180°﹣∠C﹣∠DAC）=90°﹣（180°﹣∠C﹣∠BAC）=90°﹣[180°﹣∠C﹣（180°﹣∠B﹣∠C）]=（∠C﹣∠B）．（3）（2）中的结论仍正确．∠A′DE=∠B+∠BAD=∠B+∠BAC=∠B+（180°﹣∠B﹣∠C）=90°+∠B﹣∠C；在△DA′E中，∠DA′E=180°﹣∠A′ED﹣∠A′DE=180°﹣90°﹣（90°+∠B﹣∠C）=（∠C﹣∠B）．
点评：
本题考查了三角形的角平分线和高，三角形的内角和定理，垂线等知识，注意综合运用三角形的有关概念是解题关键．
15．（2012春 都江堰市校级期中）如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，
（1）若∠B=47°，∠C=73°，求∠DAE的度数．
（2）若∠B=α°，∠C=β°
（α＜β），求∠DAE的度数（用含α、β的代数式表示）
考点：
三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理．
分析：
（1）根据三角形的内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求出∠BAE的度数，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD的度数，然后根据∠DAE=∠BAD﹣∠BAE计算即可得解；（2）根据（1）的思路，把度数换为α、β，整理即可得解．
解答：
解：（1）∵∠B=47°，∠C=73°，∴∠BAC=180°﹣47°﹣73°=60°，∵AD是△ABC的BC边上的高，∴∠BAD=90°﹣47°=43°，∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE=∠BAC=30°，∴∠DAE=∠BAD﹣∠BAE=43°﹣30°=13°；（2））∵∠B=α°，∠C=β°，∴∠BAC=180°﹣α°﹣β°，∵AD是△ABC的BC边上的高，∴∠BAD=90°﹣α°，∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE=∠BAC=（180°﹣α°﹣β°），∴∠DAE=∠BAD﹣∠BAE=90°﹣α°﹣（180°﹣α°﹣β°），=90°﹣α°﹣90°+α°+β°，=（β﹣α）°．
点评：
本题考查了三角形的角平分线，三角形的高线，以及三角形的内角和定理，仔细分析图形，观察出∠DAE=∠BAD﹣∠BAE，然后分别表示出∠BAD与∠BAE是解题的关键．
16．如图，△ABC的周长为9，AD为中线，△ABD的周长为8，△ACD的周长为7，求AD的长．
考点：
三角形的角平分线、中线和高．
分析：
先根据三角形的中线的定义求出BC=2BD=2CD，再根据三角形周长的定义得出AB+BC+AC=9，AB+BD+AD=8，AC+CD+AD=7，进而求出即可．
解答：
解：∵AD是△ABC的中线，∴BC=2BD=2CD，∵△ABC的周长为9，AD为中线，△ABD的周长为8，△ACD的周长为7，∴AB+BC+AC=9，AB+BD+AD=8，AC+CD+AD=7，∴（AB+BD+AD）+（AC+CD+AD）﹣（AB+BC+AC）=8+7﹣9，∴2AD=6，∴AD=3．
点评：
本题考查了三角形的中线，三角形的周长，关键是求出2AD=（AB+BD+AD）+（AC+CD+AD）﹣（AB+BC+AC）=6．
17．已知：如图，△ABC中，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，BF是∠ABC的平分线，BF与AE交于O，若∠ABC=40°，∠C=60°，求∠DAE、∠BOE的度数．
考点：
三角形的角平分线、中线和高．
分析：
先根据三角形的内角和定理得到∠BAC的度数，再利用角平分线的性质可求出∠DAC=∠BAC，而∠EAC=90°﹣∠C，然后利用∠DAE=∠DAC﹣∠EAC进行计算即可．由三角形外角的性质求得∠AFO=80°，利用三角形内角和定理得到∠AOF=50°，所以对顶角相等：∠BOE=∠AOF=50°．
解答：
解：①在△ABC中，∵∠ABC=40°，∠C=60°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=80°．∵AE是的角平分线，∴∠EAC=∠BAC=40°．∵AD是△ABC的高，∴∠ADC=90°∴在△ADC中，∠DAC=180°﹣∠ADC﹣∠C=180°﹣90°﹣60°=30°∴∠DAE=∠EAC﹣∠DAC=40°﹣30°=10°．②∵BF是∠ABC的平分线，∠ABC=40°，∴∠FBC=∠ABC=20°，又∵∠C=60°，∴∠AFO=80°，∴∠AOF=180°﹣80°﹣50°=50°，∴∠BOE=∠AOF=50°．
点评：
考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．也考查了三角形的高线与角平分线的性质．
18．如图（1），AD是△ABC的高，如图（2），AE是△ABC的角平分线，如图（3），AF是△ABC的中线，完成下列填空：
（1）如图（1），∠ ADB =∠ ADC =90°；S△ABC= ；
（2）如图（2），∠BAE=∠ EAC =∠ BAC ；
（3）如图（3），BF= FC = BC ；S△ABF= S△AFC． ．
考点：
三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；三角形内角和定理．
分析：
（1）根据三角形的高的概念即可完成填空；（2）根据三角形的角平分线的概念即可完成填空；（3）根据三角形的中线的概念即可完成填空．
解答：
解：（1）如图（1），∠ADB=∠ADC=90°；S△ABC=；（2）如图（2），∠BAE=∠EAC=∠BAC；（3）如图（3），BF=FC=BC；S△ABF=S△AFC．故答案为：ADB；ADC；；EAC；BAC；FC；BC；S△AFC．
点评：
此题考查三角形的角平分线、中线、高问题，能够根据三角形的中线、角平分线和高的概念得到线段、角之间的关系．
19．如图，完成下面几何语言的表达．
①∵AD是△ABC的高（已知）；
∴AD⊥BC，∠ ADB = ∠ADC = 90 °．
②∵AE是△ABC的中线（已知），
∴ BE = CE = BC ，
BC =2 BE =2 CE ；
③∵AF是△ABC的角平分线（已知），
∴∠ BAF =∠ CAF =∠ BAC ，
∠ BAC =2∠ BAF =2∠ CAF ．
考点：
三角形的角平分线、中线和高．
分析：
①根据三角形的定义和垂直的定义解答；②根据三角形的中线的定义和线段的中点的定义解答；③根据三角形的角平分线和角平分线的定义解答．
解答：
解：①∵AD是△ABC的高（已知）；∴AD⊥BC，∠ADB=∠ADC=90°．②∵AE是△ABC的中线（已知），∴BE=CE=BC，BC=2BE=2CE；③∵AF是△ABC的角平分线（已知），∴∠BAF=∠CAF=∠BAC，∠BA=2∠BAF=2∠CAF．故答案为：ADB，∠ADC，90，BE，CE，BC，BC，BE，CE，BAF，CAF，BAC，BCA，BAF，CAF．
点评：
本题考查了三角形的角平分线，中线，高，熟记各定义是解题的关键．
20．在△ABC中，D为BC的中点，E为AC上任一点，BE交AD于O，某学生在研究这一问题时，发现了如下事实：
（1）当==时，有=；
（2）当==时，有=；
（3）当==时，有=；
①当=时，按照上述的结论，请你猜想用n表示AO/AD的一般性结论（n为正整数）；
②若=，且AD=18，求AO．
考点：
三角形的角平分线、中线和高．
专题：
规律型．
分析：
①过D作DF∥BE，即求AE：AD，因为当=时，可以根据平行线分线段成比例，及线段相互间的关系即可得出．②利用①中方法得出AE：（AE+2EF）=1：8，进而得出AE：EF=2：7，以及==得出答案即可．
解答：
解：①过D作DF∥BE，∴AO：AD=AE：AF．∵D为BC边的中点，∴CF=EF=0.5EC．∵=，∴AE：（AE+2EF）=1：（1+n）．∴AE：EF=2：n．∴AE：AF=2：（n+2）．∴=；②过D作DF∥BE，∴AO：AD=AE：AF．∵D为BC边的中点，∴CF=EF=0.5EC．∵=，∴AE：（AE+2EF）=1：8，∴AE：EF=2：7，∴==，∵AD=18，∴AO=4．
点评：
此题主要考查了平行线分线段成比例定理性质，根据已知熟练将比例是变形得出是解题关键．
21．（2015春 迁安市期末）已知△ABC的面积是60，请完成下列问题：
（1）如图1，若AD是△ABC的BC边上的中线，则△ABD的面积 = △ACD的面积（填“＞”“＜”或“=”）
（2）如图2，若CD、BE分别是△ABC的AB、AC边上的中线，求四边形ADOE的面积可以用如下方法：连接AO，由AD=DB得：S△ADO=S△BDO，同理：S△CEO=S△AEO，设S△ADO=x，S△CEO=y，则S△BDO=x，S△AEO=y由题意得：S△ABE=S△ABC=30，S△ADC=S△ABC=30，可列方程组为：，解得 ，通过解这个方程组可得四边形ADOE的面积为 20 ．
（3）如图3，AD：DB=1：3，CE：AE=1：2，请你计算四边形ADOE的面积，并说明理由．
考点：
三角形的面积．
分析：
（1）根据等底等高的两个三角形面积相等知，三角形的中线把三角形的面积分为相等的两部分，所以S△ABD=S△ACD；（2）根据三角形的中线能把三角形的面积平分，等高三角形的面积的比等于底的比，即可得到结果；（3）连结AO，由AD：DB=1：3，得到S△ADO=S△BDO，同理可得S△CEO=S△AEO，设S△ADO=x，S△CEO=y，则S△BDO=3x，S△AEO=2y，由题意得列方程组即可得到结果．
解答：
解：（1）如图1，过A作AH⊥BC于H，∵AD是△ABC的BC边上的中线，∴BD=CD，∴，，∴S△ABD=S△ACD，故答案为：=；（2）解方程组得，∴S△AOD=S△BOD=10，∴S四边形ADOB=S△AOD+S△AOE=10+10=20，故答案为：得，20；（3）如图3，连结AO，∵AD：DB=1：3，∴S△ADO=S△BDO，∵CE：AE=1：2，∴S△CEO=S△AEO，设S△ADO=x，S△CEO=y，则S△BDO=3x，S△AEO=2y，由题意得：S△ABE=S△ABC=40，S△ADC=S△ABC=15，可列方程组为：，解得：，∴S四边形ADOE=S△ADO+S△AEO=x+2
y=13．
点评：
本题考查了三角形的中线能把三角形的面积平分，等高三角形的面积的比等于底的比，熟练掌握这个结论是解题的关键．
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