因式分解知识点复习

一、因式分解的要求和注意点
1）把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式；因式分解需要注意的有以下几点：
①　如果多项式的各项含有公因式，那么要先提出这个公因式，再进一步分解因式；
②　分解因式时，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止；
③　因式分解过程的每一步必须都是恒等变形；
④　多项式因式分解的结果一定是积的形式；
⑤　每个因式必须是整式（单项式或多项式）；
⑥　没有大括号和中括号；
⑦　每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解；
⑧　单项式因式写在多项式因式的前面；
⑨　每个因式第一项系数一般不为负数；
⑩　形式相同的因式写成幂的形式；
2）因式分解和整式乘除的联系.
整式乘法是把几个整式相乘化为一个多项式，而因分解是把一个多项式化为几个整式相乘，也就是说，因式分解是整式乘法的逆变形，例如：
INCLUDEPICTURE
"E:\\初二数学\\新建文件夹
(26)\\北京四中网校.files\\tbjx.files\\image001.gif"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\初二数学\\新建文件夹
(26)\\北京四中网校.files\\tbjx.files\\image001.gif"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\初二数学\\新建文件夹
(26)\\北京四中网校.files\\tbjx.files\\image001.gif"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\初二数学\\新建文件夹
(26)\\北京四中网校.files\\tbjx.files\\image001.gif"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\初二数学\\新建文件夹
(26)\\北京四中网校.files\\tbjx.files\\image001.gif"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"\\\\vmware-host\\Shared
Folders\\桌面\\【M版】初中讲义\\初二数学\\新建文件夹
(26)\\北京四中网校.files\\tbjx.files\\image001.gif"
\
MERGEFORMATINET
　
INCLUDEPICTURE
"E:\\初二数学\\新建文件夹
(26)\\北京四中网校.files\\tbjx.files\\image002.gif"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\初二数学\\新建文件夹
(26)\\北京四中网校.files\\tbjx.files\\image002.gif"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\初二数学\\新建文件夹
(26)\\北京四中网校.files\\tbjx.files\\image002.gif"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\初二数学\\新建文件夹
(26)\\北京四中网校.files\\tbjx.files\\image002.gif"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\初二数学\\新建文件夹
(26)\\北京四中网校.files\\tbjx.files\\image002.gif"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"\\\\vmware-host\\Shared
Folders\\桌面\\【M版】初中讲义\\初二数学\\新建文件夹
(26)\\北京四中网校.files\\tbjx.files\\image002.gif"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\初二数学\\新建文件夹
(26)\\北京四中网校.files\\tbjx.files\\image003.gif"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\初二数学\\新建文件夹
(26)\\北京四中网校.files\\tbjx.files\\image003.gif"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\初二数学\\新建文件夹
(26)\\北京四中网校.files\\tbjx.files\\image003.gif"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\初二数学\\新建文件夹
(26)\\北京四中网校.files\\tbjx.files\\image003.gif"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\初二数学\\新建文件夹
(26)\\北京四中网校.files\\tbjx.files\\image003.gif"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"\\\\vmware-host\\Shared
Folders\\桌面\\【M版】初中讲义\\初二数学\\新建文件夹
(26)\\北京四中网校.files\\tbjx.files\\image003.gif"
\
MERGEFORMATINET
　　　　
INCLUDEPICTURE
"E:\\初二数学\\新建文件夹
(26)\\北京四中网校.files\\tbjx.files\\image004.gif"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\初二数学\\新建文件夹
(26)\\北京四中网校.files\\tbjx.files\\image004.gif"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\初二数学\\新建文件夹
(26)\\北京四中网校.files\\tbjx.files\\image004.gif"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\初二数学\\新建文件夹
(26)\\北京四中网校.files\\tbjx.files\\image004.gif"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"E:\\初二数学\\新建文件夹
(26)\\北京四中网校.files\\tbjx.files\\image004.gif"
\
MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE
"\\\\vmware-host\\Shared
Folders\\桌面\\【M版】初中讲义\\初二数学\\新建文件夹
(26)\\北京四中网校.files\\tbjx.files\\image004.gif"
\
MERGEFORMATINET
①　明了因式分解的意义；
②　把整式乘法的过程反过来得到因式分解的一些基本方法；
③　利用整式乘法检验因式分解的结果是否正确.
二、因式分解的方法
一看有无公因式，二看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适.
1）提取公因式法
如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面．确定公因式的方法.
①　系数——取多项式各项系数的最大公约数；
②　字母（或多项式因式）——取各项都含有的字母（或多项式因式）的最低次幂.
2）公式法
①　平方差公式：.
a.　公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；
b.　每一项都可以化成某个数或式的平方形式；
c.　右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积.
②　完全平方公式：，.
a.　左边相当于一个二次三项式；
b.　左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；
c.　左边中间一项是这两个数或式的积的倍，符号可正可负；
d.　右边是这两个数或式的和（或差）的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定．
③　立方和差公式：，.
④　欧拉公式：.
特别地：①　当时，有；
②　当
时，欧拉公式变为两数立方和公式.
3）十字相乘法
一个二次三项式若可以分解，则一定可以写的形式，它的系数可以写成：
十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数、、，使得：，.
若不是一个平方数，那么二次三项式就不能在有理数范围内分解.
4）分组分解法
将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法.
三、因式分解的其他方法
1）拆项、添项法
将多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解.
注意：用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．
2）配方法
对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法.属于拆项、补项法的一种特殊情况，也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形.
3）换元法
对于某些比较复杂的代数式看做一个整体，用一个字母来代替，从而简化原代数式，最后将原代数式代入.
4）主元法
在分解一个含有多个字母的多项式时，选择一个字母作为主要元素，其他的字母当做已知数，将多项.
式按照选定的字母按照降幂排列，然后进行恰当的分组进行分解.
5）双十字相乘法
双十字相乘法用于对型多项式的分解因式.
条件：①　，；
②　，，.
即：
，，.
则.
一、提取公因式法
【题1】因式分解：.
【题2】分解因式：（为正整数）.
【点评】此题主要考查了提取公因式分解因式，正确找出公因式是解题关键.
【题3】将分解因式，结果是（
）.
A.　
B.　
C.　
D、　
【题4】已知，求的值.
【题5】.
【题6】.
二、套公式法
【题1】分解因式：
_________.
【点评】本题考查了利用立方公式进行因式分解的知识，难度不大，注意运用换元法解答本题.
【题2】化简：.
【点评】本题考查了平方差公式和完全平方公式.
【题3】因式分解：
【题4】分解因式：.
【题5】=_________.
【题6】.
三、十字交叉相乘法
【题1】用十字相乘法分解下列因式：；
【题2】因式分解.
【题3】用十字相乘法分解下列因式：.
【题4】用十字相乘法分解因式：；
【点评】对于二次三项式，若可以用十字相乘法及解因式其关键在于乘以，，的分解.
【题5】用十字相乘法分解下列因式：；
【题6】.
【点评】此题考查了因式分解，十字相乘法及公式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
四、分组分解法
【题1】.
【点评】本题考查用分组分解法进行因式分解，难点是把拆项为，再分组分解.
【题2】把分解因式的结果是（
）
A.　
B.　
C.　
D.　
【题3】因式分解：请写出步骤.
【题4】.
【点评】此题主要考查因式分解的意义及因式分解的方法，难点是采用两两分组还是三一分组.
【题5】因式分解.
【题6】分解因式：.
【点评】本题考查了运用拆项法，分组分解法，平方差公式法，立方差公式法分解因式的运用，解答时灵活运用多种方法是解答的关键.
五、因式分解的其他高端方法
【题1】分解因式.
【点评】本题中把看作一个整体，运用十字相乘法来因式分解.
【题2】分解因式：.
【题3】多项式：，因式分解后的结果是________.
【题4】分解因式：.
【点评】所谓换元，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成了一个整体，用新的字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式的项数、降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用．
【题5】分解因式：.
【题6】分解因式：.
六、因式分解的综合应用
【题1】（1）若，，是三角形的三条边，求证：
（2）在中，三边分别为、、，且满足，，试探究的形状.
（3）在中，三边分别为、、，且满足试探究的形状．
【题2】求证：多项式的值一定是非负数．
【题3】求证：能被整除.
【题4】求所有满足的，的整数值.
【题5】已知实数、、、满足，，求的最大值.
【题6】若实数、、满足，则下列式子一定成立的是（
）.
A.　
B.　
C.　
D、　
【点评】此题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是掌握.
七、拔尖习题
【题1】分解因式：_______.
【题2】（1）分解因式：.
（2）分解因式：.
【题3】分解因式：.
【题4】分解因式：.
【题5】分解因式
【题6】正整数、、是等腰三角形的边长，并且满足，则这样的三角形有（
）．
A.　个
B.　个
C、　个
D.　个