2.4 渐开线与摆线 学案1（无答案）

2.4
渐开线与摆线
学案
学习目标：
知识与技能：
了解圆的渐开线的参数方程，掌握直线的参数方程及应用.
过程与方法：
通过学习本书，进一步明确求曲线参数方程的一般步骤和方法.
情感、态度与价值观：
通过本节课的学习，开拓自己的数学视野，认识数学的科学价值，体会数学的美学意义.
学习过程：
1.
渐开线
把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线.这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？
我们先分析动点(笔尖)所满足的几何条件.如图，设开始时绳子外端(笔尖)位于点A，当外端展开到点M时，因为绳子对圆心角 (单位是弧度)的一段弧AB，展开后成为切线BM，所以切线BM的长就是AB的长，这是动点
(笔尖)满足的几何条件.我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆.
根据动点满足的几何条件:
我们以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系(图).设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为(x，y).显然，点M由角 惟一确定.
2.
摆线
如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么当自行车在笔直的道路上行驶时，白色印记会画出什么样的曲线？
上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹是什么？
如图，假设B为圆心，圆周上的定点为M，开始时位于O处.圆在直线上滚动时，点M绕圆心作圆周运动，转过 (弧度)角后，圆与直线相切于A，线段OA的长等于MA的长，即OA=r .这就是圆周长上的定点M在圆B沿直线滚动过程中满足的几何条件.我们把点M的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线.
在摆线的参数方程中，参数 的取值范围是什么？一个拱的宽度与高度各是多少？
练习
1.
如图，有一标准的渐开线齿轮，齿轮的齿廓线的基圆直径是225mm，求齿廓线AB所在的渐开线的参数方程.
2.
求摆线与直线y=2的交点的直角坐标