高中新课标数学选修（2-2）综合测试题
一、选择题
1．在数学归纳法证明“”时，验证当时，等式的左边为（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
答案：Ｃ
2．已知三次函数在上是增函数，则的取值范围为（ ）
Ａ．或
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．以上皆不正确
答案：Ｃ
3．设，若，则的值分别为（ ）
Ａ．1，1，0，0
Ｂ．1，0，1，0
Ｃ．0，1，0，1
Ｄ．1，0，0，1
答案：Ｄ
4．已知抛物线通过点，且在点处的切线平行于直线，则抛物线方程为（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
答案：Ａ
5．数列满足若，则的值为（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
答案：Ｃ
6．已知是不相等的正数，，，则，的关系是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．不确定
答案：Ｂ
7．复数不可能在（ ）
Ａ．第一象限
Ｂ．第二象限
Ｃ．第三象限
Ｄ．第四象限
答案：Ａ
8．定义的运算分别对应下图中的（1），（2），（3），（4），那么，图中（Ａ），（Ｂ）可能是下列（ ）的运算的结果（
）
Ａ．，
Ｂ．，
Ｃ．，
Ｄ．，
答案：Ｂ
9．用反证法证明命题“，如果可被5整除，那么，至少有1个能被5整除．”则假设的内容是（ ）
Ａ．，都能被5整除
Ｂ．，都不能被5整除
Ｃ．不能被5整除
Ｄ．，有1个不能被5整除
答案：Ｂ
10．下列说法正确的是（ ）
Ａ．函数有极大值，但无极小值
Ｂ．函数有极小值，但无极大值
Ｃ．函数既有极大值又有极小值
Ｄ．函数无极值
答案：Ｂ
11．对于两个复数，，有下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（ ）
Ａ．1
Ｂ．2
Ｃ．3
Ｄ．4
答案：Ｂ
12．设在上连续，则在上的平均值是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
答案：Ｄ
二、填空题
13．若复数为实数，则的值为 ．
答案：4
14．一同学在电脑中打出如下图形（○表示空心圆，●表示实心圆）
○●○○●○○○●○○○○●
若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2006年圆中有实心圆的个数为 ．
答案：61
15．函数在区间上的最大值为3，最小值为，则，的值分别为 ．
答案：2，3
16．由与直线所围成图形的面积为 ．
答案：9
三、解答题
17．设且，求的值．（先观察时的值，归纳猜测的值．）
解：当时，；
当时，有；
当时，有，
而，
，．
．
当时，有．
由以上可以猜测，当时，可能有成立．
18．设关于的方程，
（1）若方程有实数根，求锐角和实数根；
（2）证明：对任意，方程无纯虚数根．
解：（1）设实数根为，则，
即．
由于，，那么
又，
得
（2）若有纯虚数根，使，
即，
由，，那么
由于无实数解．
故对任意，方程无纯虚数根．
19．设，点是函数与的图象的一个公共点，两函数的图象在点处有相同的切线．
（1）用表示；
（2）若函数在上单调递减，求的取值范围．
解：（1）因为函数，的图象都过点，所以，即．
因为，所以．
，即，所以．
又因为在点处有相同的切线，
所以，而，，所以．
将代入上式得．
因此．
故，，．
（2），．
当时，函数单调递减．
由，若，则；
若，则．
由题意，函数在上单调递减，则或．
所以或．
又当时，函数在上不是单调递减的．
所以的取值范围为．
20．下列命题是真命题，还是假命题，用分析法证明你的结论．命题：若，且，则．
解：此命题是真命题．
，，，．
要证成立，只需证，
即证，也就是证，
即证．
，，
成立，
故原不等式成立．
21．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为，且知当利率为0.012时，存款量为1.44亿；又贷款的利率为时，银行吸收的存款能全部放贷出去；若设存款的利率为，，则当为多少时，银行可获得最大收益？
解：由题意，存款量，又当利率为0.012时，存款量为1.44亿，即时，；由，得，那么，
银行应支付的利息，
设银行可获收益为，则，
由于，，则，即，得或．
因为，时，，此时，函数递增；
时，，此时，函数递减；
故当时，有最大值，其值约为0.164亿．
22．已知函数，数列满足，．
（1）求；
（2）猜想数列的通项，并予以证明．
解：（1）由，得，
，
．
（2）猜想：，
证明：（1）当时，结论显然成立；
（2）假设当时，结论成立，即；
那么，当时，由，
这就是说，当时，结论成立；
由（1），（2）可知，对于一切自然数都成立．
高中新课标数学选修（2-2）综合测试题
一、选择题
1．函数的导数是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
答案：Ｄ
2．设复数，则满足的大于1的正整数中，最小的是（ ）
Ａ．7
Ｂ．4
Ｃ．3
Ｄ．2
答案：Ｂ
3．下列函数在点处没有切线的是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
答案：Ｃ
4．（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
答案：Ａ
5．编辑一个运算程序：，则的输出结果为（ ）
Ａ．4008
Ｂ．4006
Ｃ．4012
Ｄ．4010
答案：Ｄ
6．如下图为某旅游区各景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路，试计算顺着箭头方向，从到有几条不同的旅游路线可走（ ）
Ａ．15
Ｂ．16
Ｃ．17
Ｄ．18
答案：Ｃ
7．在复平面内，复数对应的点在（ ）
Ａ．第一象限
Ｂ．第二象限
Ｃ．第三象限
Ｄ．第四象限
答案：Ｂ
8．在中，分别为边所对的角，若成等差数列，则的范围是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
答案：Ｂ
9．设，则（ ）
Ａ．共有项，当时，
Ｂ．共有项，当时，
Ｃ．共有项，当时，
Ｄ．共有项，当时，
答案：Ｄ
10．若函数的极值点是，函数的极值点是，则有（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．与的大小不确定
答案：Ａ
11．已知函数，，若恒成立，则实数的取值范围
是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
答案：Ａ
12．如图，阴影部分的面积是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
答案：Ｃ
二、填空题
13．若复数为纯虚数，则实数的值等于 ．
答案：0
14．若函数在区中上是单调递增函数，则实数的取值范围是 ．
答案：－
15．类比等比数列的定义，我们可以给出“等积数列”的定义： ．
答案：对，若（是常数），则称数列为等积数列；
16．已知函数在区间上的最大值是20，则实数的值等于
．
答案：
三、解答题
17．已知抛物线在点处的切线与直线垂直，求函数的最值．
解：由于，所以，所以抛物线在点）处的切线的斜率为，因为切线与直线垂直，所以，即，又因为点在抛物线上，所以，得．因为，于是函数没有最值，当时，有最小值．
18．已知数列满足条件，，令，求数列的通项公式．
解：在中，令，得；令，得；令，得２，所以．
将代入中，得，．
由此猜想：．以下用数学归纳法证明猜想正确．
（1）当和时，结论成立；
（2）假设当时，结论成立，即，所以，由已知有，因为，所以，于是，所以当时，结论也成立，根据和，对任意，均有．
19．已知数列1，11，111，1111，，，，写出该数列的一个通项公式，并用反证法证明该数列中每一项都不是完全平方数．
解：由于，所以该数列的一个通项公式是；
证明：假设是一个完全平方数，由于是一个奇数，所以它必须是一个奇数的平方，不妨设（为整数），于是．故此式中左边是奇数，右边是偶数，自相矛盾，所以不是一个完全平方数．
20．已知，，复数的虚部减去它的实部所得的差为，求实数．
解：．
；
，解得．
又因为，故．
21．已知函数．
（1）若，求函数在上的单调增区间；
（2）若函数在区间上是单调递减函数，求实数的取值范围．
解：（1）当时，，，
则，
由于，而，所以，因此由，可得，即，于是，故函数的单调增区间为；
（2）．
因为函数在区是上是单调减函数，所以在上恒成立，而由于，所以，因此只要在上恒成立，即恒成立．
又，所以应有．
22．如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从孔流入，经沉淀后从孔流出，设箱体的长为米，高为米．已知流出的水中该杂质的质量分数与，的乘积成反比，现有制箱材料60平方米，问当，各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（，孔的面积忽略不计）．
解：设为流出的水中杂质的质量分数，则，
其中为比例系数，依题意，即所求的，值使值最小，根据题设，有得．
于是．
当时，或（舍去）．
本题只有一个极值点，
当时，，
即当为6米，为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．
PAGE本册综合测试
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2010·安徽)i是虚数单位，＝( )
A.－i
B.＋i
C.＋i
D.－i
解析 ＝＝
＝＋i.
答案 B
2．函数y＝xcosx－sinx的导数为( )
A．xcosx
B．－xsinx
C．xsinx
D．－xcosx
解析 y′＝(xcosx－sinx)′
＝cosx－xsinx－cosx
＝－xsinx.
答案 B
3．已知数列2,5,11,20，x,47，…合情推出x的值为( )
A．29
B．31
C．32
D．33
解析 观察前几项知，5＝2＋3，
11＝5＋2×3,20＝11＋3×3，
x＝20＋4×3＝32,47＝32＋5×3.
答案 C
4．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若m＝M，则f′(x)( )
A．等于0
B．大于0
C．小于0
D．以上都有可能
答案 A
5．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－]∪[，＋∞)
B．[－，]
C．(－∞，－)∪(，＋∞)
D．(－，)
解析 f′(x)＝－3x2＋2ax－1，
若f(x)在(－∞，＋∞)上为单调函数只有f′(x)≤0，
∴Δ＝(2a)2－4(－3)(－1)≤0，
解得－≤a≤.
答案 B
6．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋且n>1)时，第一步应验证不等式( )
A．1＋<2
B．1＋＋<2
C．1＋＋<3
D．1＋＋＋<3
答案 B
7．对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0时，有f′(x)>0，g′(x)＞0，则x<0时，有( )
A．f′(x)>0，g′(x)>0
B．f′(x)<0，g′(x)>0
C．f′(x)<0，g′(x)<0
D．f′(x)>0，g′(x)<0
解析 由f(－x)＝－f(x)及g(－x)＝g(x)知，f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，由函数奇偶性的性质得f′(x)>0，g′(x)<0.
答案 D
8．设a>0，b>0，则以下不等式中不一定成立的是( )
A.＋≥2
B．ln(ab＋1)≥0
C．a2＋b2＋2≥2a＋2b
D．a3＋b3≥2ab2
解析 易知A、B正确．
又a2＋b2＋2－(2a＋2b)
＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，
∴C正确．
答案 D
9．曲线y＝x3＋x2在点T(1，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )
A.
B.
C.
D.
解析 y′＝x2＋x，y′|x＝1＝2，∴切线方程为
y－＝2(x－1)，与坐标轴的交点分别为(0，－)，(，0)，故切线与坐标轴围成的三角形的面积S＝××＝.
答案 D
10．在平面直角坐标系中，直线x－y＝0与曲线y＝x2－2x所围成的面积为( )
A．1
B.
C.
D．9
解析 如图所示
由得交点(0,0)，(3,3)．
∴阴影部分的面积为
S＝(x－x2＋2x)dx
＝(－x2＋3x)dx
＝(－x3＋x2)
＝－9＋＝.
答案 C
11．用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是( )
A．a，b都能被5整除
B．a，b都不能被5整除
C．a，b有一个能被5整除
D．a，b有一个不能被5整除
答案 B
12．桌上放着红桃、黑桃和梅花三种牌，共20张，下列判断正确的是( )
①桌上至少有一种花色的牌少于6张；②桌上至少有一种花色的牌多于6张；③桌上任意两种牌的总数将不超过19张．
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
答案 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．(2010·重庆)已知复数z＝1＋i，则－z＝________.
解析 －z＝－(1＋i)
＝(1－i)－(1＋i)＝－2i.
答案 －2i
14．已知函数f(x)＝3x2＋2x，若－1f(x)dx＝2f(a)成立，则a＝________.
解析
(3x2＋2x)dx
＝(x3＋x2)＝2，
∴2(3a2＋2a)＝2.
即3a2＋2a－1＝0，
解得a＝－1，或a＝.
答案 －1或
15．设n∈N
，且sinx＋cosx＝－1，则sinnx＋cosnx＝________.
解析 ∵sinx＋cosx＝－1，
∴sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝1.
又sin2x＋cos2x＝1，
∴2sinxcosx＝0.
∴sinx＝0，或cosx＝0.
当sinx＝0时，cosx＝－1，
∴sinnx＋cosnx＝(－1)n.
当cosx＝0时，sinx＝－1，
∴sinnx＋cosnx＝(－1)n.
答案 (－1)n
16．y＝xex＋1的单调增区间为________．
解析 y′＝ex＋xex
＝ex(x＋1)．
令y′>0，得ex(x＋1)>0，
∵ex>0，∴x＋1>0，即x>－1，
∴增区间为(－1，＋∞)．
答案 (－1，＋∞)
三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)用反证法证明：在△ABC中，若sinA>sinB，则∠B必为锐角．
证明 假设B不是锐角，
则0°<∠A<∠A＋∠C＝180°－∠B≤90°，
∴sinA即sinAsinB矛盾，故∠B必为锐角．
18．(12分)已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y的值．
解 设x＝a＋bi(a，b∈R)，则y＝a－bi，代入原式得
(2a)2－3(a2＋b2)i＝4－6i，
∴解得
或或
或
∴或
或或
19．(12分)已知函数f(x)＝x2e－2x，求函数在[1,2]上的最大值．
解 ∵f(x)＝x2e－2x，
∴f′(x)＝2xe－2x＋x2(－2)e－2x
＝e－2x(2x－2x2)
＝－2x(x－1)e－2x.
当x∈(1,2)时，f′(x)<0，
∴f(x)在[1,2]上单调递减．
∴f(x)在[1,2]上的最大值为f(1)＝e－2.
20．(12分)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在点x0处取得极小值－7，其导函数y＝f′(x)的图像经过点(－1,0)，(2,0)，如下图所示，试求x0，a，b，c的值．
解 由y＝f′(x)的图像可知，
在(－∞，－1)上f′(x)<0，在(－1,2)上f′(x)>0，在(2，＋∞)上f′(x)<0，故f(x)在(－∞，－1)上递减，在(－1,2)上递增，在(2，＋∞)上递减．因此，f(x)在x＝－1处取得极小值，
所以x0＝－1.
∵f(x)＝ax3＋bx2＋cx，
∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
故由f′(－1)＝0，f′(2)＝0，f(－1)＝－7，
得解得
a＝－2，b＝3，c＝12.
21．(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N
)．
(1)写出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式；
(2)用数学归纳法证明你的猜想，并求出an的表达式．
解 (1)易求得S1＝1＝，S2＝，S3＝＝，S4＝，猜想Sn＝.
(2)①当n＝1时，S1＝＝1，猜想成立．
②假设n＝k(k∈N
)时，Sk＝，
则当n＝k＋1时，
Sk＋1＝(k＋1)2ak＋1
＝(k＋1)2(Sk＋1－Sk)，
∴Sk＋1＝·＝，
这表明当n＝k＋1时，猜想也成立．
根据①、②可知，对n∈N
，
Sn＝，从而an＝＝.
22．(2010·北京)(12分)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x＋x2(k≥0)．
(1)当k＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)求f(x)的单调区间．
解 (1)当k＝2时，f(x)＝ln(1＋x)－x＋x2
f′(x)＝－1＋2x.
由于f(1)＝ln2，f′(1)＝，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－ln2＝(x－1)，
即3x－2y＋2ln2－3＝0.
(2)f′(x)＝，x∈(－1，＋∞)，
当k＝0时，f′(x)＝－，
所以在区间(－1,0)上f′(x)>0；在区间(0，＋∞)上f′(x)<0，
故f(x)的单调增区间为(－1,0)，单调减区间为(0，＋∞)．
当00.
所以在区间(－1,0)和(，＋∞)上f′(x)>0；在(0，)上f′(x)<0，
故f(x)的单调增区间为(－1,0)和(，＋∞)，单调减区间为(0，)．
当k＝1时，f′(x)＝>0，故f(x)的单调增区间为(－1，＋∞)．
当k>1时，由f′(x)＝＝0，得x1＝0，x2＝∈(－1,0)，
所以在区间(－1，)和(0，＋∞)上f′(x)>0；
在区间(，0)上f′(x)<0，
故f(x)的单调增区间为(－1，)和(0，＋∞)，单调减区间为(，0)．高二数学选修2-2模块综合测试题
（本科考试时间为120分钟，满分为100分）
说明：本试题分有试卷Ⅰ和试卷Ⅱ，试卷Ⅰ分值为30分，试卷Ⅱ分值为70分。
第I卷
一．选择题（本大题有10小题，每小题3分,共30分）
1．在“近似替代”中，函数在区间上的近似值（
）
（A）只能是左端点的函数值
（B）只能是右端点的函数值
（C）可以是该区间内的任一函数值）（D）以上答案均正确
2．已知，其中m为实数，i为虚数单位，若，则m的值为
（
）
(A)
4
(B)
(C)
6
(D)
0
3．已知,下列各式成立的是
（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
4．设f
(x)为可导函数，且满足=－1，则曲线y=f
(x)在点(1,
f(1))处的切线的斜率是
（
）
（A）2
（B）－1
（C）
（D）－2
5．若a、b、c是常数，则“a＞0且b2－4ac＜0”是“对任意x∈R，有ax2+bx+c＞0”
的
（
）
（A）充分不必要条件
（B）必要不充分条件（C）充要条件
（D）必要条件
6．函数在处有极值10,
则点为
（
）
（A）
（B）
（C）
或
（D）不存在
7．，则的最小值为
（
）
(A)1
(B)
(C)
(D)
8．
曲线，
和直线围成的图形面积是
（
）
(A)
(B)
(C)
(D)
9．点是曲线上任意一点,
则点到直线的距离的最小值是（
）
(A)
１
(B)
(C)
２
(D)
10．设（），当时，的最大值为，则的最小值为
（
）
(A)
(B)
１
(C)
(D)
２
第I卷
二．填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）
11．定义运算,若复数满足,其中为虚数单位,则复数
．
12．如图,数表满足:⑴第行首尾两数均为;⑵表中递推关系类似杨辉三角,
记第行第2个数为.根据表中上下两行数据关系,
可以求得当时,
．
13．设函数f(x)=n2x2(1－x)n(n为正整数)，则f(x)在［0,1］上的最大值为
．
14．设，，，且，，则的值中，现给出以下结论，其中你认为正确的是
．
①都大于1②都小于1③至少有一个不大于1④至多有一个不小于1⑤至少有一个不小于1
三
解答题（本大题共5小题，共54分）
15（本小题满分10分）
求定积分
的值 ；
(2)若复数，，
且为纯虚数，求
16（本小题满分10分）
现要制作一个圆锥形漏斗，其母线长为，要使其体积最大，求高为多少？
17（本小题满分12分）
已知函数
（1）求的单调区间；
（2）求曲线在点（1，）处的切线方程；
（3）求证：对任意的正数与，恒有．
18（本小题满分10分）
（提示：请从以下两个不等式选择其中一个证明即可，若两题都答以第一题为准）
设，，，且
求证：
（2）设（）求证：
19（本小题满分12分）
设数列满足
当时，求，并由此猜想出的一个通项公式；
当时，证明对所有，有
①
②
新课改高二数学选修2-2模块综合测试题参考答案
一
选择题
1
C
2
B
3
D
4
D
5
A
6
B
7
C
8
D
9
B
10
A
二
填空题
11
1-i
12
13
14
③⑤
三
解答题
15
(1)
（2）
16
当高时，
17
（1）单调增区间
，单调减区间
（2）切线方程为
（3）所证不等式等价为
而，设则，由（1）结论可得，由此，所以即，记代入得证。
18
（选做题：从两个不等式任选一个证明，当两个同时证明的以第一个为准）
（1）证：左式=
=
=
（2）证：由排序不等式，得：
，
两式相加：，从而
，即证。
19
1
2
2
3
4
3
4
7
7
4
…
…
…
PAGE
第
1
页本册综合测试
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2010·安徽)i是虚数单位，＝( )
A.－i
B.＋i
C.＋i
D.－i
解析 ＝＝
＝＋i.
答案 B
2．函数y＝xcosx－sinx的导数为( )
A．xcosx
B．－xsinx
C．xsinx
D．－xcosx
解析 y′＝(xcosx－sinx)′
＝cosx－xsinx－cosx
＝－xsinx.
答案 B
3．已知数列2,5,11,20，x,47，…合情推出x的值为( )
A．29
B．31
C．32
D．33
解析 观察前几项知，5＝2＋3，
11＝5＋2×3,20＝11＋3×3，
x＝20＋4×3＝32,47＝32＋5×3.
答案 C
4．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若m＝M，则f′(x)( )
A．等于0
B．大于0
C．小于0
D．以上都有可能
答案 A
5．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－]∪[，＋∞)
B．[－，]
C．(－∞，－)∪(，＋∞)
D．(－，)
解析 f′(x)＝－3x2＋2ax－1，
若f(x)在(－∞，＋∞)上为单调函数只有f′(x)≤0，
∴Δ＝(2a)2－4(－3)(－1)≤0，
解得－≤a≤.
答案 B
6．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋且n>1)时，第一步应验证不等式( )
A．1＋<2
B．1＋＋<2
C．1＋＋<3
D．1＋＋＋<3
答案 B
7．对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0时，有f′(x)>0，g′(x)＞0，则x<0时，有( )
A．f′(x)>0，g′(x)>0
B．f′(x)<0，g′(x)>0
C．f′(x)<0，g′(x)<0
D．f′(x)>0，g′(x)<0
解析 由f(－x)＝－f(x)及g(－x
( http: / / www.21cnjy.com ))＝g(x)知，f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，由函数奇偶性的性质得f′(x)>0，g′(x)<0.
答案 D
8．设a>0，b>0，则以下不等式中不一定成立的是( )
A.＋≥2
B．ln(ab＋1)≥0
C．a2＋b2＋2≥2a＋2b
D．a3＋b3≥2ab2
解析 易知A、B正确．
又a2＋b2＋2－(2a＋2b)
＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，
∴C正确．
答案 D
9．曲线y＝x3＋x2在点T(1，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )
A.
B.
C.
D.
解析 y′＝x2＋x，y′|x＝1＝2，∴切线方程为
y－＝2(x－1)，与坐标轴的交点分别为(0，－)，(，0)，故切线与坐标轴围成的三角形的面积S＝××＝.
答案 D
10．在平面直角坐标系中，直线x－y＝0与曲线y＝x2－2x所围成的面积为( )
A．1
B.
C.
D．9
解析 如图所示
由得交点(0,0)，(3,3)．
∴阴影部分的面积为
S＝(x－x2＋2x)dx
＝(－x2＋3x)dx
＝(－x3＋x2)
＝－9＋＝.
答案 C
11．用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是( )
A．a，b都能被5整除
B．a，b都不能被5整除
C．a，b有一个能被5整除
D．a，b有一个不能被5整除
答案 B
12．桌上放着红桃、黑桃和梅花三种牌，共20张，下列判断正确的是( )
①桌上至少有一种花色的牌少于6张；②桌上至少有一种花色的牌多于6张；③桌上任意两种牌的总数将不超过19张．
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
答案 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．(2010·重庆)已知复数z＝1＋i，则－z＝________.
解析 －z＝－(1＋i)
＝(1－i)－(1＋i)＝－2i.
答案 －2i
14．已知函数f(x)＝3x2＋2x，若－1f(x)dx＝2f(a)成立，则a＝________.
解析
(3x2＋2x)dx
＝(x3＋x2)＝2，
∴2(3a2＋2a)＝2.
即3a2＋2a－1＝0，
解得a＝－1，或a＝.
答案 －1或
15．设n∈N
，且sinx＋cosx＝－1，则sinnx＋cosnx＝________.
解析 ∵sinx＋cosx＝－1，
∴sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝1.
又sin2x＋cos2x＝1，
∴2sinxcosx＝0.
∴sinx＝0，或cosx＝0.
当sinx＝0时，cosx＝－1，
∴sinnx＋cosnx＝(－1)n.
当cosx＝0时，sinx＝－1，
∴sinnx＋cosnx＝(－1)n.
答案 (－1)n
16．y＝xex＋1的单调增区间为________．
解析 y′＝ex＋xex
＝ex(x＋1)．
令y′>0，得ex(x＋1)>0，
∵ex>0，∴x＋1>0，即x>－1，
∴增区间为(－1，＋∞)．
答案 (－1，＋∞)
三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)用反证法证明：在△ABC中，若sinA>sinB，则∠B必为锐角．
证明 假设B不是锐角，
则0°<∠A<∠A＋∠C＝180°－∠B≤90°，
∴sinA即sinAsinB矛盾，故∠B必为锐角．
18．(12分)已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y的值．
解 设x＝a＋bi(a，b∈R)，则y＝a－bi，代入原式得
(2a)2－3(a2＋b2)i＝4－6i，
∴解得
或或
或
∴或
或或
19．(12分)已知函数f(x)＝x2e－2x，求函数在[1,2]上的最大值．
解 ∵f(x)＝x2e－2x，
∴f′(x)＝2xe－2x＋x2(－2)e－2x
＝e－2x(2x－2x2)
＝－2x(x－1)e－2x.
当x∈(1,2)时，f′(x)<0，
∴f(x)在[1,2]上单调递减．
∴f(x)在[1,2]上的最大值为f(1)＝e－2.
20．(12分)已知函数f(x)＝ax3＋
( http: / / www.21cnjy.com )bx2＋cx在点x0处取得极小值－7，其导函数y＝f′(x)的图像经过点(－1,0)，(2,0)，如下图所示，试求x0，a，b，c的值．
解 由y＝f′(x)的图像可知，
在(－∞，－1)上f′(x)<0，在(－1
( http: / / www.21cnjy.com ),2)上f′(x)>0，在(2，＋∞)上f′(x)<0，故f(x)在(－∞，－1)上递减，在(－1,2)上递增，在(2，＋∞)上递减．因此，f(x)在x＝－1处取得极小值，
所以x0＝－1.
∵f(x)＝ax3＋bx2＋cx，
∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
故由f′(－1)＝0，f′(2)＝0，f(－1)＝－7，
得解得
a＝－2，b＝3，c＝12.
21．(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N
)．
(1)写出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式；
(2)用数学归纳法证明你的猜想，并求出an的表达式．
解 (1)易求得S1＝1＝，S2＝，S3＝＝，S4＝，猜想Sn＝.
(2)①当n＝1时，S1＝＝1，猜想成立．
②假设n＝k(k∈N
)时，Sk＝，
则当n＝k＋1时，
Sk＋1＝(k＋1)2ak＋1
＝(k＋1)2(Sk＋1－Sk)，
∴Sk＋1＝·＝，
这表明当n＝k＋1时，猜想也成立．
根据①、②可知，对n∈N
，
Sn＝，从而an＝＝.
22．(2010·北京)(12分)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x＋x2(k≥0)．
(1)当k＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)求f(x)的单调区间．
解 (1)当k＝2时，f(x)＝ln(1＋x)－x＋x2
f′(x)＝－1＋2x.
由于f(1)＝ln2，f′(1)＝，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－ln2＝(x－1)，
即3x－2y＋2ln2－3＝0.
(2)f′(x)＝，x∈(－1，＋∞)，
当k＝0时，f′(x)＝－，
所以在区间(－1,0)上f′(x)>0；在区间(0，＋∞)上f′(x)<0，
故f(x)的单调增区间为(－1,0)，单调减区间为(0，＋∞)．
当00.
所以在区间(－1,0)和(，＋∞)上f′(x)>0；在(0，)上f′(x)<0，
故f(x)的单调增区间为(－1,0)和(，＋∞)，单调减区间为(0，)．
当k＝1时，f′(x)＝>0，故f(x)的单调增区间为(－1，＋∞)．
当k>1时，由f′(x)＝＝0，得x1＝0，x2＝∈(－1,0)，
所以在区间(－1，)和(0，＋∞)上f′(x)>0；
在区间(，0)上f′(x)<0，
故f(x)的单调增区间为(－1，)和(0，＋∞)，单调减区间为(，0)．选修2-2数学测试题
(理科)
班别_______学号_____
姓名__________
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.
第Ⅰ卷至页，第Ⅱ卷至页，满分分，考试时间分钟.
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.函数y=x2cosx的导数为(
)
(A)
y′=2xcosx－x2sinx
(B)
y′=2xcosx+x2sinx
(C)
y′=x2cosx－2xsinx
(D)
y′=xcosx－x2sinx
2.下列结论中正确的是(
)
(A)导数为零的点一定是极值点
(B)如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值
(C)如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值
(D)如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值
3.某个命题与正整数有关，若当时该命题成立，那么可推得当时该命题也成立，现已知当时该命题不成立，那么可推得(
)
(A)当时，该命题不成立
(B)当时，该命题成立
(C)当时，该命题成立
(D)当时，该命题不成立
5.如果10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm处，则克服弹力所做的功为（
）
(A)0.28J
(B)0.12J
(C)0.26J
(D)0.18J
6.给出以下命题：
⑴若，则f(x)>0；
⑵;
⑶f(x)的原函数为F(x)，且F(x)是以T为周期的函数，则；
其中正确命题的个数为(
)
(A)1
(B)2
(C)3
(D)0
7.若复数不是纯虚数，则的取值范围是(
)
(A)或
(B)且
(C)
(D)
8.设0<(x)＝，则下列大小关系式成立的是(
).
(A)f
()<
f
()()
(B)f
()(b)<
f
()
(C)f
()<
f
()()
(D)f
(b)<
f
()()
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上
9.已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x,
y∈R，求x=
，
y=
．
10.曲线y=2x3－3x2共有____个极值.
11.已知为一次函数，且，则=_______.
12.对于平面几何中的命题:“夹在两条平行线之间的平行线段相等”,在立体几何中,类比上述命题,可以得到命题:“___________________________”这个类比命题的真假性是________
13.观察下列式子
,
…
…
,
则可归纳出________________________________
14.关于的不等式的解集为，则复数所对应的点位于复平面内的第________象限．
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.
(本小题满分12分)一物体沿直线以速度（的单位为:秒,的单位为:米/秒）的速度作变速直线运动，求该物体从时刻t=0秒至时刻
t=5秒间运动的路程
16.
(本小题满分12分)
已知曲线
y
=
x3
+
x－2
在点
P0
处的切线
平行直线
4x－y－1=0，且点
P0
在第三象限,
⑴求P0的坐标;
⑵若直线
,
且
l
也过切点P0
,求直线l的方程.
17.
(本小题满分14分)已知函数的图象关于原点成中心对称,
试判断在区间上的单调性,并证明你的结论.
18.
(本小题满分14分)如图，点为斜三棱柱的侧棱上一点，交于点，交于点.
(1)
求证：；
(2)
在任意中有余弦定理：
.
拓展到空间，类比三角形的余弦定理，
写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中
两个侧面所成的二面角之间的关系式，
并予以证明.
19.
(本小题满分14分)已知,(其中是自然对数的底数),求证:.(提示:可考虑用分析法找思路)
20.
(本小题满分14分)已知函数,函数
⑴当时,求函数的表达式;
⑵若,函数在上的最小值是2
,求的值;
⑶在⑵的条件下,求直线与函数的图象所围成图形的面积.
选修2-2模块测试数学答案及评分标准
ABDAD
BCD
9.x=,
y=4；
10.两
11.
12.夹在两个平行平面间的平行线段相等；真命题.
13.(n∈N
)
14.二
15.解:∵当时,;
当时,.
∴物体从时刻t=0秒至时刻
t=5秒间运动的路程
=(米)
16.解:⑴由y=x3+x－2，得y′=3x2+1，
由已知得3x2+1=4，解之得x=±1.当x=1时，y=0;当x=－1时，y=－4.
又∵点P0在第三象限,
∴切点P0的坐标为
(－1,－4).
⑵∵直线,的斜率为4,∴直线l的斜率为,
∵l过切点P0,点P0的坐标为
(－1,－4)
∴直线l的方程为即.
17.解:
答f(x)在[-4,4]上是单调递减函数.
证明:∵函数f(x)的图象关于原点成中心对称,
则f(x)是奇函数,所以a=1,b=0,于是f(x)=
∴当
又∵函数在上连续
所以f(x)在[-4,4]上是单调递减函数.
18.(1)
证：；
(2)
解：在斜三棱柱中，有，其中为
平面与平面所组成的二面角.
上述的二面角为,在中，
，
由于，
∴有.
19.证明:∵∴要证:
只要证:
只要证.(∵)
取函数,∵
∴当时,,∴函数在上是单调递减.
∴当时,有即.得证
20.解:⑴∵,
∴当时,;
当时,
∴当时,;
当时,.
∴当时,函数.
⑵∵由⑴知当时,,
∴当时,
当且仅当时取等号.
∴函数在上的最小值是,∴依题意得∴.
⑶由解得
∴直线与函数的图象所围成图形的面积
=高二数学选修2-2综合测试题
一、选择题：
1、是虚数单位。已知复数，则复数Z对应点落在（
）
A．第四象限
B．第三象限
C．第二象限
D．第一象限
2、在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形
1
3
6
10
15
则第个三角形数为（
）
A．
B．
C．
D．
3、求由曲线，直线及轴所围成的图形的面积错误的为（
）
A.
B.
C.
D.
4、设复数的共轭复数是,且,又与为定点,则函数
︱取最大值时在复平面上以,A,B三点为顶点的图形是
A,等边三角形
B,直角三角形
C,等腰直角三角形
D,等腰三角形
5、函数f(x)的定义域为R，f(-1)=2,对任意，,则的解集为
(A)(-1，1)
(B)(-1，+∞)
(c)(-∞，-l)
(D)(-∞,+∞)
6、用数学归纳法证明能被8整除时，当时，对于可变形为
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
7、设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x
<0时，f
′(x)g(x)＋
f(x)g′(x)>0，且，则不等式f(x)g(x)<0的解集是（
）
A.
(－3，0)∪(3，+∞)
B.
(－3，0)∪(0，3)
C.(－∞，－3)∪(3，+∞)
D.
(－∞，－3)∪(0，3)
8、已知函数的图象在点处的切线的斜率为3，数列
的前项和为,则的值为（
）
9、设函数f(x)＝kx3＋3(k－1)x2＋1在区间（0，4）上是减函数，则的取值范围是
(
)
A.
B.
C.
D.
10、函数在定义域内可导，其图象如图所示，记的导函数为，则不等式的解集为
（
）
A．
B．
C．
D．
11、
已知函数在区间上是减函数，则的最小值是
A.
B.
C.2
D.
3
12、函数若函数上有3个零点，则m的取值范围为（
）
A．（-24,8）
B．（-24,1]
C．[1,8]
D．[1,8）
高二数学选修2-2综合测试题（答题卡）
选择题（60分）。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题：(20分）
13、
直线过点，且与曲线在点处的切线相互垂直，，则直线的方程为
；
14、如图，在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，点在线段AO上的一点（异于端点），这里均为非零实数，设直线分别与边交于点，某同学已正确求得直线的方程为，请你完成直线的方程：
(
)。
15、设(是两两不等的常数),则的值是
______________.
16、将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第行（）从左向右的第3个数为
14题
16题
三、解答题：（70分）
17．复平面内点A对应的复数是1,过点A作虚轴的平行线l,设l上的点对应的复数为z,求所对应的点的轨迹.
18、已知函数，．
（Ⅰ）求的极值；
（Ⅱ）若在上恒成立，求的取值范围．
19．设
（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围；
（2）当a=1时，求在上的最值.
20.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式，其中3（1）求a的值
（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
21．设，．
（1）令，求在内的极值；
（2）求证：当时，恒有．
22.设函数
（1）求f(x)的单调区间；
（2）当恒成立，求实数λ的取值范围.
数学试题答案
一、选择题
CBCCB
ADDDA
CD
二、填空题
13．
14.
15.
0
16.
三、解答题
17、分析:本题考查复平面上点的轨迹方程.因为在复平面内点A的坐标为(1,0),l过点A且平行于虚轴,所以直线l上的点对应的复数z的实部为1,可设为z=1+bi(b∈R),然后再求所对应的点的集合.
解:如下图.因为点A对应的复数为1,直线l过点A且平行于虚轴,所以可设直线l上的点对应的复数为z=1+bi(b∈R).
因此.设=x+yi(x、y∈R),于是x+yi=i.
18.解（Ⅰ）由导数运算法则知，．
令，得．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
故当时，有极大值，且极大值为．
（Ⅱ）欲使在上恒成立，只需在上恒成立，等价于只需在上的最大值小于．
设（），由（Ⅰ）知，在处取得最大值．
所以，即的取值范围为．
19．解：（1）由
当
令
所以，当上存在单调递增区间
（2）当a=1时，
2+x+2,令2+x+2=0得x1=-1,x2=2
因为上单调递增，在上单调递减.
所以在[1，4]上的在[1，4]上的最大值为
因为，
最小值为
21.（1）解：根据求导法则有，
故，
于是，
列表如下：
2
0
↘
极小值
↗
所以，在处取得极小值．
（2）证明：由知，的极小值．
于是由上表知，对一切，恒有．
从而当时，恒有，故在内单调增加．
所以当时，，即．
故当时，恒有．
22.解:（1）定义域：（－∞，0）∪（0，+∞）
，令f′(x)>0,则x<－1或x>1，
∴f(x)的增区间为（－∞，－1）,（1，+∞）
令f′(x)<0,则－1∴f(x)的减区间为（－1，0）,（0，1）
（2）令=0，得x=±1
∵x∈[－2，－1]时，f(x)为增函数；x∈[－1，－]时，f(x)为减函数.
∴x=－1时，f(x)max=f(－1)=－4
∴由题意得λ2+(k－4)
λ－2k>－4对任意k∈[－1，1]恒成立
即k∈[－1,1]时(λ－2)k+λ2－4λ+4>0恒成立.令g(k)=(
λ－2)k+λ2－4λ+4,
只需即可,
∴
解得λ<1或λ>3即为所求
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
………………
A
B
C
x
y
P
O
F
E
