24.2.2 垂径定理教案2
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24.2.2
垂径定理
教案
1教学目标
知识目标:
①通过观察实验,使学生理解圆的轴对称性;
②掌握垂径定理,理解其证明,并会用它解决有关的证明与计算问题;
③掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段。
2.能力目标:
①通过定理探究,培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力;
②向学生渗透“由特殊到一般,再由一般到特殊”的基本思想方法。
3.情感目标:
①结合本课教学特点,向学生进行爱国主义教育和美育渗透;
②激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。
2学情分析
学生对数学热情还要加强,理解能力有待提高。
3重点难点
教学重点:垂径定理及其应用。
教学难点:垂径定理的证明。
4教学过程
活动1【导入】垂径定理
复习过渡:
①如图2(a),弦AB将⊙O分成几部分 各部分的名称是什么
②如图2(b),将弦AB变成直径,⊙O被分成的两部分各叫什么
③在图2(b)中,若将⊙O沿直径AB对折,两部分是否重合
实验验证:
让学生将准备好的一张圆形纸片沿任一直径对折,观察两部分是否重合;教师用电脑演示重叠的过程。从而得到圆的一条基本性质——
圆是轴对称图形,过圆心的任意一条直线(或直径所在的直线)都是它的对称轴。
3.运动变换:
①如图3(a),AB、CD是⊙O的两条直径,图中有哪些相等的线段和相等的弧
②如图3(b),当AB⊥CD时,图中又有哪些相等的线段和相等的弧
③如图3(c),当AB向下平移,变成非直径的弦时,图中还有哪些相等的线段和相等的弧 此外,还有其他的相等关系吗 21世纪教育网版权所有
4.提出猜想:根据以上的研究和图3(c),我们可以大胆提出这样的猜想——
5.验证猜想:教师用电脑课件演示图3(c)中沿直径CD对折,这条特殊直径两侧的图形能够完全重合,并给这条特殊的直径命名为——垂直于弦的直径。21教育网
活动2【讲授】垂径定理
1.引导证明:
猜想是否正确,还有待于证明。引导学生从以下两方面寻找证明思路。
①证明“AE=BE”,可通过连结OA、OB来实现,利用等腰三角形性质证明。
②证明“弧相等”,就是要证明它们“能够完全重合”,可利用圆的对称性证明。
2.归纳定理:
根据上面的证明,请学生自己用文字语文进行归纳,并将其命名为“垂径定理”。
垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。
3.巩固定理:
在下列图形(如图4(a)~(d))中,AB是⊙O的弦,CD是⊙O的弦,它们是否适用于“垂径定理” 若不适用,说明理由;若适用,能得到什么结论。
(a)AB⊥CD于E
(b)E是AB中点
(c)OC⊥AB于E
(d)OE⊥AB于E
(图4)
向学生强调:(1)定理中的两个条件缺一不可;(2)定理的变式图形。
活动3【练习】垂径定理
1.运用定理进行计算。
〖例1〗如图5,在⊙O中,若弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm,求⊙O的半径。
分析:因为已知“圆心O到AB的距离为3cm”,所以要作
辅助线OE⊥AB;因为要求半径,所以还要连结OA。
解:(略)学生口述,教师板书。
(图5)
〖变式一〗在图5中,若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=
。
思考一:若圆的半径为R,一条弦长为a,圆心到弦的距离为d,
则R、a、d三者之间的关系式是
。
〖变式二〗如图6,在⊙O中,半径OC⊥AB,垂足为E,
若CE=2cm,AB=8cm,则⊙O的半径=
。
(图6)
思考二:你能解决本课一开始提出的问题吗 (由学生口述方法)
2.运用定理进行证明
〖例2〗已知:如图7,在以O为圆心的两个同心圆中,
大圆的弦AB交小圆于C、D两点。
求证:AC=BD。
(图7)
分析:①证明两条线段相等,最常用的方法是什么 用这种方法怎样证明
(证明△OAC≌△OBD或证明△OAD≌△OBC)
②此外,还有更简捷的证明方法吗 若有,又怎样证明 (垂径定理)
证法一:连结OA、OB、OC、OD,用“三角形全等”证明。
证法二:过点O作OE⊥AB于E,用“垂径定理”证明。(详见课本P77例2)
注1:通过两种证明方法的比较,选择最优证法。
注2:辅助线“过圆心作弦的垂线段”是第二种证法的关键,也是常用辅助线。
思考:在图7中,若AC=2,AB=10,则圆环的面积是
。
〖变式一〗若将图7中的大圆隐去,还需什么条件,才能保证AC=BD
〖变式二〗若将图7中的小圆隐去,还需什么条件,才能保证AC=BD
〖变式三〗将图7变成图8(三个同心圆),你可以证明哪些线段相等
(图8)
〖例3〗(选讲)如图9,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=1,以C为圆心、CA长为半径画弧,交斜边AB于D,求AD的长。
(答案:2)
(图9)
略解:过点C作CE⊥AB于E,先用勾股定理求得AB=9,再用面积法求得CE=——
,最后用勾股定理求得AE=1,由垂径定理得AD=2。
活动4【作业】垂径定理
已知:在⊙O中,AB、AC是两条互相垂直且相等的弦,OD⊥AB,OE⊥AC,垂足分别为D、E。求证:四边形ADOE是正方形。
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24.2.2
垂径定理
教案
1教学目标
知识目标:
①通过观察实验,使学生理解圆的轴对称性;
②掌握垂径定理,理解其证明,并会用它解决有关的证明与计算问题;
③掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段。
2.能力目标:
①通过定理探究,培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力;
②向学生渗透“由特殊到一般,再由一般到特殊”的基本思想方法。
3.情感目标:
①结合本课教学特点,向学生进行爱国主义教育和美育渗透;
②激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。
2学情分析
学生对数学热情还要加强,理解能力有待提高。
3重点难点
教学重点:垂径定理及其应用。
教学难点:垂径定理的证明。
4教学过程
活动1【导入】垂径定理
复习过渡:
①如图2(a),弦AB将⊙O分成几部分 各部分的名称是什么
②如图2(b),将弦AB变成直径,⊙O被分成的两部分各叫什么
③在图2(b)中,若将⊙O沿直径AB对折,两部分是否重合
实验验证:
让学生将准备好的一张圆形纸片沿任一直径对折,观察两部分是否重合;教师用电脑演示重叠的过程。从而得到圆的一条基本性质——
圆是轴对称图形,过圆心的任意一条直线(或直径所在的直线)都是它的对称轴。
3.运动变换:
①如图3(a),AB、CD是⊙O的两条直径,图中有哪些相等的线段和相等的弧
②如图3(b),当AB⊥CD时,图中又有哪些相等的线段和相等的弧
③如图3(c),当AB向下平移,变成非直径的弦时,图中还有哪些相等的线段和相等的弧 此外,还有其他的相等关系吗 21世纪教育网版权所有
4.提出猜想:根据以上的研究和图3(c),我们可以大胆提出这样的猜想——
5.验证猜想:教师用电脑课件演示图3(c)中沿直径CD对折,这条特殊直径两侧的图形能够完全重合,并给这条特殊的直径命名为——垂直于弦的直径。21教育网
活动2【讲授】垂径定理
1.引导证明:
猜想是否正确,还有待于证明。引导学生从以下两方面寻找证明思路。
①证明“AE=BE”,可通过连结OA、OB来实现,利用等腰三角形性质证明。
②证明“弧相等”,就是要证明它们“能够完全重合”,可利用圆的对称性证明。
2.归纳定理:
根据上面的证明,请学生自己用文字语文进行归纳,并将其命名为“垂径定理”。
垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。
3.巩固定理:
在下列图形(如图4(a)~(d))中,AB是⊙O的弦,CD是⊙O的弦,它们是否适用于“垂径定理” 若不适用,说明理由;若适用,能得到什么结论。
(a)AB⊥CD于E
(b)E是AB中点
(c)OC⊥AB于E
(d)OE⊥AB于E
(图4)
向学生强调:(1)定理中的两个条件缺一不可;(2)定理的变式图形。
活动3【练习】垂径定理
1.运用定理进行计算。
〖例1〗如图5,在⊙O中,若弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm,求⊙O的半径。
分析:因为已知“圆心O到AB的距离为3cm”,所以要作
辅助线OE⊥AB;因为要求半径,所以还要连结OA。
解:(略)学生口述,教师板书。
(图5)
〖变式一〗在图5中,若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=
。
思考一:若圆的半径为R,一条弦长为a,圆心到弦的距离为d,
则R、a、d三者之间的关系式是
。
〖变式二〗如图6,在⊙O中,半径OC⊥AB,垂足为E,
若CE=2cm,AB=8cm,则⊙O的半径=
。
(图6)
思考二:你能解决本课一开始提出的问题吗 (由学生口述方法)
2.运用定理进行证明
〖例2〗已知:如图7,在以O为圆心的两个同心圆中,
大圆的弦AB交小圆于C、D两点。
求证:AC=BD。
(图7)
分析:①证明两条线段相等,最常用的方法是什么 用这种方法怎样证明
(证明△OAC≌△OBD或证明△OAD≌△OBC)
②此外,还有更简捷的证明方法吗 若有,又怎样证明 (垂径定理)
证法一:连结OA、OB、OC、OD,用“三角形全等”证明。
证法二:过点O作OE⊥AB于E,用“垂径定理”证明。(详见课本P77例2)
注1:通过两种证明方法的比较,选择最优证法。
注2:辅助线“过圆心作弦的垂线段”是第二种证法的关键,也是常用辅助线。
思考:在图7中,若AC=2,AB=10,则圆环的面积是
。
〖变式一〗若将图7中的大圆隐去,还需什么条件,才能保证AC=BD
〖变式二〗若将图7中的小圆隐去,还需什么条件,才能保证AC=BD
〖变式三〗将图7变成图8(三个同心圆),你可以证明哪些线段相等
(图8)
〖例3〗(选讲)如图9,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=1,以C为圆心、CA长为半径画弧,交斜边AB于D,求AD的长。
(答案:2)
(图9)
略解:过点C作CE⊥AB于E,先用勾股定理求得AB=9,再用面积法求得CE=——
,最后用勾股定理求得AE=1,由垂径定理得AD=2。
活动4【作业】垂径定理
已知:在⊙O中,AB、AC是两条互相垂直且相等的弦,OD⊥AB,OE⊥AC,垂足分别为D、E。求证:四边形ADOE是正方形。
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