课题：第十七讲 解直角三角形 课型：复习课 年级：九年级
教学目标：
1.熟记30°，45°，60°的三角函数值，在理解三角函数定义的基础上进行有关的计算和解答．
2.能够利用直角三角形的边角关系，解决测量、航行、工程技术等生活中的实际问题，提高应用知识的能力．
教学重点与难点：
重点：熟记特殊角的三角函数值，能够利用三角函数进行有关的计算和解答．
难点：能够利用直角三角形的边角关系，解决生活中的实际问题，提高应用知识的能力．
课前准备：教师准备：多媒体课件．
教学过程:
一、知识梳理，建构网络
1. 锐角三角函数：
⑴定义：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA== ；
cosA== ；tanA== ．
⑵ 性质：①若∠A为锐角，则有sin(90°－A)= ，cos(90°－A)= ，
sin2A+cos2A= ，tanA·tan(90°－A)= .
②当∠A度数在0°～90°之间变化时，正弦、正切值随着角度的增大而 ，余弦值随着角度的增大而 ．
2. 30°，45°，60°的三角函数值：
三角函数
30°
45°
60°
备注
sinα
随着角度的增大而增大
cosα
随着角度的增大而减小
tanα
1
随着角度的增大而增大
3. 解直角三角形：
⑴ 由直角三角形中已知的元素，求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．
⑵ 直角三角形边角关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c．
①两锐角之间的关系： ；②三边之间的关系： （勾股定理）； ③边与角之间的关系：sinA= ， cosA= ，tanA= ．
4. 锐角三角函数应用中的相关概念：
⑴ 仰角、俯角：在测量时，视线与水平线所成的角中，
视线在水平线 的角叫仰角，视线在水平线 的角叫俯角．
⑵ 坡度、坡角：坡面的 与水平宽度的比叫做坡面的
坡度（或坡比）；坡面与 的夹角叫做坡角．
⑶ 方向角：如图，过观测点O作一条水平线（一般向右为东）
和一条铅垂线（向上为北），则观测点O与目的地的连线与表示南
北方向的铅垂线的夹角（小于90°）叫做方向角．
处理方式：利用多媒体出示解直角三角形的知识点，以问题串的形式让学生回顾,如有遗忘，借用课本或同学间交流进行补充，需要教师强调的地方教师要结合具体的例子先简单分析，在后面的例题讲解中再着重强调．
设计意图：以问题串的形式让学生回顾解直角三角形的相关知识,如有遗忘，借用课本或同学间交流进行补充，为后面的题组训练打好基础，让学生掌握课堂的主动权，让学生在小组交流讨论中完成建构并从中感受到知识间的内在联系，并在数学学习活动中完成解直角三角形的知识要点复习, 为下一步激活运用这些知识打好基础．
二、专题探究，归纳整合
活动内容1：锐角三角函数的定义
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在
格点上，则sin∠AOB=( )．
A． B． C． D．
处理方式：学生讨论交流，在复习丛书上完成后再展示说明，学生之间互相补充．教师适时点评，然后师生共同总结所考察知识点．
设计意图：通过学生自主探究、合作交流，进一步巩固锐角三角函数的定义．
活动内容2：30°，45°，60°的三角函数值
3．在△ABC中，若，则∠C的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．105°
4．计算，其结果是 ．
处理方式：学生先讨论交流，然后找两名学生利用展台展示说明解决问题的方法，学生之间互相补充．教师适时点评，然后师生共同总结所考察知识点．
设计意图：本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，熟记30°，45°，60°的三角函数值，进而使学生由特殊三角函数值求锐角及由特殊角求三角函数值．
活动内容3：解直角三角形
5．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a ，b ，c ，且a=，b=，
求这个三角形的其他元素．
6．△ABC中,∠C为直角,∠A ,∠B , ∠C所对的边分别为a ，b , c ,且b=3 ,∠A=30°,
求∠B , a , c .
处理方式：学生先讨论交流，然后找两名学生到黑板板演，然后展示说明解题的思路与方法，学生之间互相补充．教师适时点评，然后师生共同总结所考察知识点．
设计意图：本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，使学生回顾解直角三角形的两种情况，理解满足什么条件能解出直角三角形，增强学生的学习兴趣及自信心．
三、典例精析，方法总结
【例1】 在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，求AB的长．
处理方式：让一名学生板演，其余学生认真在丛书上解题，完成后再展示说明，学生之间互相补充．教师适时点评，及时点拨：过点C作CD⊥AB于点D，将△ABC转化为有公共直角边的两个直角三角形是此题的关键，然后利用三角函数即特殊角的三角函数值解决问题．
方法总结：解直角三角形时，除了直角外，还知道两个元素（至少有一个是边），就能求出其余的边和角．一般三角形中，知道三个元素（至少有一个是边），就能求出其余的边和角，此时应将一般三角形转化为直角三角形，同时注意尽量不要破坏所给条件，还需熟记特殊角的三角函数值．
设计意图：本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，加深对解直角三角形及特殊角的三角函数值的理解与掌握．
拓展训练：在△ABC中，∠B=45°，AC=，AB=6．画出示意图，求BC的长(保留根号)
处理方式：学生先自主思考，然后小组内交流讨论，学生展示思路，全班同学共同反馈，教师点拨．教师点拨：已知两边及一边的对角画三角形，有两种情况，这两种情况代表了两种题型，即BC是两条线段的和或差，过点A作AD⊥BC于点D，则BC=BD±CD．最后利用课件归纳利用解直角三角形解决一般三角形的方法（两个基本图形的翻转、旋转及平移），关键是抓住基本图形．
巩固训练：
如图，已知铁塔塔基距楼房的水平距离BD为50米，
由楼顶A望塔顶的仰角为45 o，由楼顶望塔底的俯角为30o，
塔高DC为 米；
如图，大楼AB与大楼CD的水平距离为50米，
某人站在大楼AB的楼顶B处，测得大楼CD顶端D的俯角为30°，测得大楼CD的楼底的俯角为60°，求大楼AB及CD的高度．
【例2】 益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图，新大桥的两端位于A ，B两点，小张为了测量A，B之间的河宽，
在垂直于新大桥AB的直线型道路l 上测得如下数据：∠BDA=76.1°，
∠BCA=68.2°，CD=82米．求AB的长（精确到0.1米．参考数据：
sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0，sin68.2°≈0.93，
cos68.2°≈0.37，tan68.1°≈2.5）．
处理方式：让一名学生板演，教师巡视，解题后，教师放幻灯片，小组兵教兵校对、更正错误．
点拨：设AB=x米，利用锐角三角函数，在Rt△ABC和Rt△ABD中，分别用x表示出AC和AD的长，再根据CD=AC－AD，列出关于x的方程求解．
方法总结：把应用问题转化为直角三角形问题时，一是要选定所需锐角所在的直角三角形，二是正确选择三角函数关系式，不可混淆，三是灵活应用设公共边为未知数，利用三角函数得出方程解答．
设计意图：“学数学、用数学”应是我们每位数学教师在教学中时刻不忘的数学宗旨.我们教育的学生，不只要学会知识，更重要的是会用知识.将实际问题抛给学生，引导学生想象问题情境，将自己置身于问题情境中，才能顺利的转化为数学问题，从而学会用数学知识解决实际问题．
【例3】如图，某海域有两个海拔均为200米的海岛A和海岛B，一勘测飞机在距离海平面垂直高度为1100米的空中飞行，飞行到点C处时测得正前方一海岛顶端A的俯角是60°，然后沿平行于AB的方向水平飞行1.99×104米到达点D处，在D处测得正前方另一海岛顶端B的俯角是45°，求两海岛间的距离AB．
处理方式：学生先自主思考，然后小组内交流讨论，由一位同学展示思路，全班同学共同反馈，教师点拨．教师点拨：首先过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，连接AB，易得四边形ABFE为矩形．根据矩形的性质，可得AB=EF，AE=BF．由题意可知：AE=BF=1100－200=900（米），CD=1.99×104米，然后分别在Rt△AEC与Rt△BFD中，利用三角函数即可求得CE与DF的长，继而求得两海岛间的距离．
方法总结：此题考查了俯角的概念、矩形的性质及解直角三角形的知识．借助已知条件，并充分利用特殊角构造直角三角形是求解此类问题的关键，注意数形结合思想的应用．
设计意图：使学生巩固利用直角三角形的有关知识解决实际问题，考察建立数学模型的能力，转化的数学思想在学习中的应用，提高学生分析问题、解决问题的能力．
四、回顾反思，提炼升华
通过本节课的复习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．
处理方式：给学生2分钟左右的时间，让学生自主交流课堂实践的经历、感受和收获，然后找3个学生尝试谈谈自己的收获，教师利用课件展示解直角三角形的知识树．
设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本讲复习的知识进行梳理，培养学生知识归纳与整理的习惯与能力，通过师生共同总结，增强学生认识，加深学生印象，强化学生记忆．
五、达标测试，反馈提高
1．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（ ）
A．4km B．km C．km D．km
2．交通安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD=30°， ∠CBD=60°．
（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据：，）；
（2）已知本路段对汽车限速为40千米/小时，若测得某辆汽车从到用时为2秒，这辆汽车是否超速？说明理由．
（选做）3．如图，一扇窗户垂直打开，即OM⊥OP，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端在OP上滑动，将窗户OM按图示方向想内旋转35°到达ON位置，此时，点A、C的对应位置分别是点B、D．测量出∠ODB为25°，点D到点O的距离为30cm．
（1）求B点到OP的距离；
（2）求滑动支架的长．（结果精确到1cm．参考数据：sin25°≈0.42， cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，
sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）
处理方式：学生独立完成，对学生错误较多的题目进行讲解．
设计意图：设置的当堂检测便于及时获知学生对本讲知识的掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．
六、布置作业，课后促学
必做题：《新课程初中复习指导丛书》 P88-90第5 、6 、10 、11题.
选做题：《新课程初中复习指导丛书》P90第13题.
板书设计：
第十七讲 解直角三角形
知识梳理 构建网络
典例精析，方法总结
例： 例： 例：
投
影
区
学 生 活 动 区
课件30张PPT。耳(学会倾听)眼(学会观察)口(学会交流)心(学会思考)课改理念下的“聪”字新解说：聪第17讲 解直角三角形新课标初中复习指导丛书数学第四单元 几何初步与三角形知识梳理 它们分别是∠A的正弦、余弦和正切， 统称为∠A的锐角三角函数．锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c， BC＝a，AC＝b，则知识梳理锐角三角函数的性质在Rt△ABC中，∠C＝90°，
AB＝c， BC＝a，AC＝b，则
sinA＝ ____ ；sinB ＝____；
cosA＝ ____； cosB＝____；
tanA＝ ____； tanB＝____.sinA=cosBcosA=sinBtanA·tanB=1sin2A+cos2B=1 正弦值、正切值，随锐角A的增大而增大；余弦值，随锐角A的增大而减小．特殊角的三角函数值表解直角三角形 由直角三角形中已知的元素，求出未知元素的过程，叫做解直角三角形． 在直角三角形的6个元素中，直角是已知元素，如果再知道一条边和第三个元素，这个三角形的所有元素就可以确定下来． 解直角三角形的题型有： ①已知直角三角形的两边的长，解这个直角三角形; ②已知直角三角形的一锐角和一边的长，解这个直角三角形．①两锐角之间的关系： ；
②三边之间的关系： （勾股定理）；
③边与角之间的关系：解直角三角形 ∠A+∠B=90°a2+b2=c2锐角三角函数应用中的相关概念 ⑴仰角、俯角：在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线 的角叫仰角；
视线在水平线 的角叫俯角． ⑵ 坡度、坡角：坡面的 与水平宽度的比叫做坡面的坡度（或坡比）；坡面与 的夹角叫做坡角． ⑶ 方向角：如图，过观测点O作一条水平线（一般向右为东）和一条铅垂线（向上为北），则观测点O与目的地的连线与表示南北方向铅垂线的夹角（小于90°）叫做方向角．O上下铅直高度水平面专题探究，归纳整合锐角三角函数的定义 1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D． 2．如图，在下列网格中，小正方
形的边长均为1，点A，B，O都在
格点上，则sin∠AOB=( )．
A． B． C． D． 专题探究，归纳整合 3．在△ABC中，若
则∠C的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．105° 4．计算 ，
其结果是 ． 2专题探究，归纳整合 5．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C
的对边分别是a，b，c，且a= ，b= ，
求这个三角形的其他元素． 6．△ABC中,∠C为直角,∠A,∠B, ∠C所对的边
分别为a ，b , c ,且b=3 ,∠A=30°,求∠B , a , c .【例1 】如图，在三角形ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC= ， 求AB的长典例精析，方法总结 典例精析，方法总结 解：过点C作CD⊥AB于点D．
在Rt△ACD中，在Rt△BCD中，【例1 】如图，在三角形ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC= ， 求AB的长.典例精析，方法总结 方法总结：解决问题的关键是作出AB边上的高，将一般三角形转化为有公共直角边的两个直角三角形来解决． 拓展训练 在△ABC中，∠B=45°，AC= ，
AB=6. 画出示意图，求BC的长(保留根号).45°BCAD①解决问题的关键是作出BC边上的高及图形的相关变式 ．
②注意抓住基本图形.利用解直角三角形解一般三角形BD 1.如图，已知铁塔塔基距楼房的水平距离
BD为50米，由楼顶A望塔顶的仰角为45 o,由楼
顶望塔底的俯角为30o,塔高DC为 ( )米AC巩固训练1
D问题1楼房AB的高度是多少?问题2楼房CD的高度是多少?巩固训练2典例精析，方法总结 【例2】 益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图，新大桥的两端位于A ，B两点，小张为了测量A，B之间的河宽，在垂直于新大桥AB的直线型道路l 上测得如下数据∠BDA=76.1°∠BCA=68.2°，CD=82米．求AB的长（精确到0.1米．
参考数据：
sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0，
sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.1°≈2.5）． 方法总结：解决本题的关键是利用两个直角三角形的公共边AB，设AB的长并用设出的未知数来表示CD及CA的长，然后利用方程来解决．典例精析，方法总结 典例精析，方法总结 【例3】如图，某海域有两个海拔均为200米的海
岛A和海岛B，一勘测飞机在距离海平面垂直高度
为1100米的空中飞行，飞行到点C处时测得正前方
一海岛顶端A的俯角是60°，然后：沿平行于AB
的方向水平飞行1.99×104米到达点D处，在D处测
得正前方另一海岛顶端B的俯角是45°，
求两海岛间的距离AB．方法总结：过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，连接AB，易得四边形ABFE为矩形．根据矩形的性质，可得AB=EF，AE=BF．由题意可知：AE=BF=1100－200=900（米），CD=1.99×104米，然后分别在Rt△AEC与Rt△BFD中，利用三角函数即可求得CE与DF的长，继而求得两海岛间的距离．典例精析，方法总结 典例精析，方法总结 回顾反思，提炼升华 同学们,经过本节课的回顾与复习,你对这部分知识是否有了新的认识?你还存在哪些困惑?和你的同桌交流一下吧! 我最大的收获是…… 我想进一步研究的问题是……． 我表现不足的地方是……30°，45°，60°的三角函数值 锐角三角函数 锐角三角函数应用中的相关概念 1三角形解直角仰角、俯角方位角坡度、坡角解直角三角形 a2+b2=c2∠A+∠B=∠C
两锐角互余达标测试，反馈提高 1．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（ ） A．4 km
B． km
C． km
D． km 达标测试，反馈提高 ， 2．交通安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD=30°∠CBD=60°．
（1）求AB的长(精确到0.1米，
参考数据： , )；
（2）已知本路段对汽车限速
为40千米/小时，若测得某辆汽
车从到用时为2秒，这辆汽车是
否超速？说明理由．达标测试，反馈提高 （选做）3．如图，一扇窗户垂直打开，即OM
⊥OP，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端在OP上滑动，将窗户OM按图示方向想内旋转35°到达ON位置，此时，点A、C的对应位置分别是点B、D．测量出∠ODB为25°，点D到点O的距离为30cm．
（1）求B点到OP的距离；
（2）求滑动支架的长．
（结果精确到1cm．参考数据：
sin25°≈0.42， cos25°≈0.91，
tan25°≈0.47，sin55°≈0.82，
cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）知识的升华祝你成功！必做题：《新课程初中复习指导丛书》
88-89页第5、6、10、11题.
选做题：《新课程初中复习指导丛书》
90页第13题.
不经历风雨,怎能见彩虹?再见！
