课题：1.5三角函数的应用 课型：新授课 年级：九年级
教学目标：
1．经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.
2．能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.
3．通过把实际问题转化为数学问题过程中感受数学与生活的联系，增强学生的数学应用意识；在学习过程中通过小组合作交流，培养学生的合作交流能力与数学表达能力．
教学重点与难点：
重点：经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用．
难点：根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图．
教法与学法指导：
教法：1.创设情境法.通过播放视频，创设教学情境，激发学生学习兴趣.
2.设疑启发法.通过设置疑问，启学生思维，引导学生分析问题.
3.观察对比法.通过归纳类比，让学生由感性认识上升到理性认识.
学法：1.自主探索法.学生通过独立思考，探索分析，提高数学分析能力.
2.合作学习法.学生通过小组讨论，交流等学习过程，加强合作交流，提高学习效果.
教学准备：
教师准备：多媒体课件。
学生准备：计算器。
教学过程：
一、合作探究，导入新课
直角三角形就像一个万花筒，为我们展现出了一个色彩斑澜的世界.我们在欣赏了它神秘的“勾股”、知道了它的边的关系后，接着又为我们展现了在它的世界中的边角关系，它使我们现实生活中不可能实现的问题，都可迎刃而解.它在航海、工程等测量问题中有着广泛应用，例如测旗杆的高度、树的高度、塔高等. 下面我们就来看一个问题(多媒体演示).
活动内容1：海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁．今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处．之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是如何想的?与同伴进行交流.
处理方式：首先我们可将小岛A确定，货轮B在小岛A的南偏西55°的B处，根据“上北下南，左西右东”，B在A的“下偏左”55°位置.C在B的正东方，即C在B的右边.且在A南偏东25°处，即C在A的“下偏左”25°位置．
在Rt△ABD中，∵tan55°＝，∴BD＝ADtan55°.
在Rt△ACD中，∵tan25°＝，∴CD＝ADtan25°．
设AD＝x，则BD＝tan55°x，CD＝tan25°x.
∵BC＝BD－CD, ∴tan55°x－tan25°x＝20，
解得，x＝≈20.79，即AD≈20.79海里．
设计意图：“学数学、用数学”应是我们每位数学教师在教学中时刻不忘的数学宗旨.我们教育的学生，不只要学会知识，更重要的是会用知识.将实际问题抛给学生，引导学生想象问题情境，将自己置身于问题情境中，才能顺利的转化为数学问题，从而学会用数学知识解决实际问题.
二、分析探索, 新知学习
活动内容1：回答下列问题.
如图，小明想测量塔CD的高度．他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为60°，那么该塔有多高？(小明的身高忽略不计，结果精确到1m)
处理方式：（自主解决问题）
（鼓励学生展示一下自己的过程）
（实物投影展示）法1：由题意可知∠DAC＝30°，∠DBC=60°，AB＝50m．
因为CD是两个直角三角形Rt△ADC和Rt△BDC的公共边，
所以，设CD=x，在Rt△ADC中，∵tan30°＝，∴AC＝，即AC＝x.
法2:在Rt△BDC中，∵tan60°＝，∴BC＝，即BC＝x.
又∵AB＝AC－BC＝50m，∴x －x＝50．
解得，x＝25≈43，∴CD≈43m.即塔CD的高度约为43m．
（实物投影展示）∵∠DAC＝30°，∠DBC=60°，∴∠ADB＝30°，
∴∠DAC＝∠ADB，∴AB＝BD＝50.
在Rt△BDC中，∵sin60°＝，
∴CD＝sin60°BD＝50×＝25≈43m.
即塔CD的高度约为43m．
设计意图：直角三角形的边角关系在航海，工程等测量问题中有着广泛应用，通过“想一想”的问题进一步让学生巩固如何用直角三角形的边角关系这一知识解决实际问题，提高学生的建模，转化能力.
三、拓展升华, 变式思考
活动内容1：在这个问题中，小明的身高忽略不计，而在实际测量时，应该考虑小明的身高，更准确一点应考虑小明在测量时，眼睛离地面的距离．如果小明测量时，眼睛离地面的距离为1.6m，其他数据不变，此时塔的高度为多少？你能画出示意图吗？
处理方式：（3分钟时间思考，交流，并实物投影展示.）如图所示，由前面的解答过程可知CC＇≈43m，则CD＝43＋1.6＝44.6m，即如果考虑小明的高度，塔的高度为44.6m．
以开放题的形式呈现，让学生从多角度思考问题，既能培养学生的数学思维能力，又能调动学生学习数学的积极性.学生情绪高涨，讨论热烈.进而得出推论。而且让学生归纳表述结论，可培养学生的抽象概括能力及语言表达能力.
设计意图：通过问题的变式训练让学生了解更贴近实际生活的数学问题，也为第5节“测量物体的高”做准备.
四、学以致用，感悟新知
某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40°减至35°，已知原楼梯长为4m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？(结果精确到0.01m)
处理方式：学生对于具体的问题通过自主思考、小组交流、学生展讲、教师点拨后基本能形成比较好的解题思路.学生书写过程不规范,教师给出规范的步骤.(1) 若AC代表原楼梯长，则楼高，楼梯在地面的长度分别是谁？40°的角是哪个角？(2)在楼梯改造过程中，楼高是否发生了变化？即Rt△ABC中的哪条边不变？
解：由条件可知，在Rt△ABC中，sin40°＝，即AB＝4sin40°m，原楼梯占地长BC＝4cos40°m．
调整后，在Rt△ADB中，sin35°＝，则AD＝（m），楼梯占地长DB＝m．
∴调整后楼梯加长AD－AC＝－4≈0.48（m）．
楼梯比原来多占DC＝DB－BC＝－4cos40°≈0.61（m）．
设计意图：实际问题的解决难点在于建立数学模型. 即是否能画出符合题意的图形，并结合图形寻找问题中的已知量和未知量.在这个问题中，学生理解的难点在于改造后的楼梯究竟是怎样的.因此，我先引导学生明确在楼梯改造过程中，楼高没有发生变化.有了这样一步引导，再让学生自主解决问题就不难了..
五、小结归纳，形成体系
本节课我们运用三角函数解决了与直角三角形有关的实际问题，提高了我们分析和解决实际问题的能力．同学们在解决问题的过程中还存在哪些疑问和困惑？
处理方式：教师指导学生总结本节课所学基本内容和存在疑惑点，建议学生积极发言，教师了解学生的掌握情况及存在问题. 解题中需要把实际问题转化为数学问题.要注意两个转化：1.是把实际问题的图形转化为数学图形；2.是把已知条件转化为数学图形中的边角关系. 若所转化的图形不是直角三角形，可添加辅助线构造直角三角形.
设计意图：本节课比较抽象，有部分学生跟不上，在小结时，可给学生一些时间和空间，让学生在自己的圈子里畅所欲言，更好的总结、归纳本课的学习情况.
六、达标检测，反馈提高
A组：
1.如图，一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB＝5 m，现再在C点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少?
2.如图,水库大坝的截面是梯形ABCD.坝顶AD＝6m，坡长CD＝8m.坡底BC＝30m，
∠ADC=135°.
(1)求∠ABC的大小：
(2)如果坝长100 m.那么建筑这个大坝共需多少土石料?(结果精确到0.01 m3)
B组
3．如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时.接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均受到影响.
(1)问：B处是否会受到台风的影响?请说明理由.
(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?(供选用数据：≈1.4，
≈1.7)
处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．
设计意图：分层设练，使学生知识、技能螺旋式的上升，也是一种思维与能力的训练．
七、布置作业，课堂延伸
必做题：课本第20页 第1、2题.
选做题：课本第21页 第2、3题.
板书设计：
§1.5三角函数的应用
例1
例2
投
影
区
学 生 活 动 区
课件15张PPT。北师大版九年级数学（下） 1.5 三角函数的应用学习目标1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用。 2.能够把实际问题转化为数学问题， 能够借助计算器进行有关三角函数的计算，并能进一步对结果的意义进行说明，发展数学应用意识和解决问题的能力。
3.通过把实际问题转化为数学问题过程中感受数学与生活的联系，增强学生的数学应用意识；在学习过程中通过小组合作交流，培养学生的合作交流能力与数学表达能力．船有无触礁的危险 如图,海中有一个小岛A,该岛四周10海里内暗礁.今有货轮由西向东航行,开始在A岛南偏西550的B处,往东行驶20海里后到达该岛的南偏西250的C处.之后,货轮继续向东航行. 你认为货轮继续向东
航行途中会有触礁的危险吗?你是怎样想的？与同伴进行交流？引例ACD25°55°B船有无触礁的危险 如图,海中有一个小岛A,该岛四周10海里内暗礁.今有货轮由西向东航行,开始在A岛南偏西550的B处,往东行驶20海里后到达该岛的南偏西250的C处.之后,货轮继续向东航行.要解决这个问
题,我们可以将其数学化,如图:引例25°55°真知在实践中诞生解:要知道货轮继续向东航行途中有无触礁的危险,只要过点A作AD⊥BC的延长线于点D,如果AD>10海里,则无触礁的危险.根据题意可知,∠BAD=550,∠CAD=250,BC= 20海里.设AD=x,则答:货轮继续向东航行途中没有触礁的危险.古塔究竟有多高 如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为300,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为600,那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1m).要解决这问题,我们仍需将其数学化.请与同伴交流你是怎么想的? 准备怎么去做?现在你能完成这个任务吗?想一想行家看“门道”答:该塔约有43m高.解:如图,根据题意可知,∠A=300,∠DBC=600, AB=50m.设CD=x,则∠ADC=600,∠BDC=300,楼梯加长了多少 某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的400减至350,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01m).做一做联想的功能 如图,根据题意可知,∠A=350,∠BDC=400,DB=4m.求(1)AB-BD的长；(2)AD的长.答:调整后的楼梯会加长约0.48m.楼梯多占约0.61m.回味无穷 本节课我们运用三角函数解决了与直角三角形有关的实际问题，提高了我们分析和解决实际问题的能力．同学们在解决问题的过程中还存在哪些疑问和困惑？ 要注意两个转化：
1.是把实际问题的图形转化为数学图形；
2.是把已知条件转化为数学图形中的边角关系. 钢缆长几何 如图,一灯柱AB被一钢缆CD固定.CD与地面成400夹角,且DB=5m.现再在CD上方2m处加固另一根钢缆ED,那么,钢缆ED的长度为多少?(结果精确到0.01m).小试牛刀大坝中的数学计算2 如图,水库大坝的截面是梯形ABCD,坝顶AD=6m,坡长CD=8m.坡底BC=30m,∠ADC=1350.
(1)求坡角∠ABC的大小;
(2)如果坝长100m,那么修建这个大坝共需多少土石方(结果精确到0.01m3 ).练一练解:如图,(1)求坡角∠ABC的大小； 过点D作DE⊥BC于点E,过点A作AF⊥BC于点F.则∴∠ABC≈17°.答:坡角∠ABC约为17°.计算需要空间想象力如图,(2)如果坝长100m,那么修建这个大坝共需多少土石方(结果精确到0.01m3 ).再求体积!先算面积!答:修建这个大坝共需土石方约10182.34m3.结束寄语 实际中的许多问题都能转化成三角形的问题，我们学习和利用三角函数就是拿到了求解三角形边角问题的金钥匙，使问题的解决更方便、更快捷.
