1.2.1 绝对值三角不等式 课件1

课件19张PPT。1．绝对值三角不等式 绝对值三角不等式
(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当 时，等号成立．
几何解释：用向量a，b分别替换a，b.
①当a与b不共线时，有|a＋b|<|a|＋|b|，其几何意义为：
．
②若a，b共线，当a与b 时，|a＋b|＝|a|＋|b|，当a与b
时，|a＋b|<|a|＋|b|.
由于定理1与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对值三角不等式．
③定理1的推广：如果a，b是实数，则||a|－|b||≤|a±b|
≤|a|＋|b|.ab≥0三角形的两边之和大于第三边同向反向 (2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.
当且仅当 时，等号成立．
几何解释：在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，
当点B在点A，C之间时，|a－c| |a－b|＋|b－c|.
当点B不在点A，C之间时：①点B在A或C上时，|a－c|
|a－b|＋|b－c|；
②点B不在A，C上时，|a－c| |a－b|＋|b－c|.
应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值．(a－b)(b－c)≥0＝＝< 含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式||a|－|b|||a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．1．设a、b是满足ab<0的实数，则下列不等式中正确的是
(　　)
A．|a＋b|>|a－b|　　　　　B．|a＋b|<|a－b|
C．|a－b|<||a|－|b|| D．|a－b|<|a|＋|b|
解析：∵ab<0且|a－b|2＝a2＋b2－2ab，
∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab<|a－b|2.
∴(|a|＋|b|)2＝a2＋b2＋2|ab|＝|a－b|2.
故A、D不正确．B正确；又由定理1的推广知C不正确．
答案：B [例2]　(1)求函数y＝|x－3|－|x＋1|的最大值和最小值．
(2)设a∈R，函数f(x)＝ax2＋x－a(－1≤x≤1)．
若|a|≤1，求|f(x)|的最大值．
[思路点拨]　利用绝对值三角不等式或函数思想方法可求解．[解]　(1)法一：||x－3|－|x＋1||
≤|(x－3)－(x＋1)|＝4，
∴－4≤|x－3|－|x＋1|≤4.
∴ymax＝4，ymin＝－4. (1)利用绝对值不等式求函数最值，要注意利用绝对值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式．
(2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键．3．若a，b∈R，且|a|≤3，|b|≤2则|a＋b|的最大值是________，
最小值是________．
解析：|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，
∴1＝3－2≤|a＋b|≤3＋2＝5.
答案：5　14．求函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|的最小值．
解：∵|x－1|＋|x＋1|＝|1－x|＋|x＋1|≥
|1－x＋x＋1|＝2，
当且仅当(1－x)(1＋x)≥0，
即－1≤x≤1时取等号．
∴当－1≤x≤1时，函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|
取得最小值2.5．若对任意实数，不等式|x＋1|－|x－2|>a恒成立，求a的
取值范围．
解：a<|x＋1|－|x－2|对任意实数恒成立，
∴a<[|x＋1|－|x－2|]min.
∵||x＋1|－|x－2||≤|(x＋1)－(x－2)|＝3，
∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3.
∴[|x＋1|－|x－2|]min＝－3.
∴a<－3.即a的取值范围为(－∞，－3)．