1.2.1 绝对值三角不等式 课件3

课件20张PPT。第一讲 不等式和绝对值不等式
1.2　绝对值不等式
1．2.1　绝对值三角不等式1．理解绝对值的几何意义．
2．能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：
(1)|a＋b|≤|a|＋|b|；
(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.思考1　求下列各数的绝对值：
(1)3；　　　　　(2)－8；　　　　　(3)0.
380思考2　说出下列不等式等号成立的条件：
(1)|a|＋|b|≥|a＋b|；
(2)|a|－|b|≤|a＋b|；
(3)|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.(1)等号成立的条件是：ab≥0；
(2)等号成立的条件是：ab≤0且a≥b.
(3)等号成立的条件是：(a－b)(b－c)≥03．含有绝对值的不等式的证明中，常常利用|a|≥a，|a|≥－a及绝对值的和的性质．
思考3　当|a|>a时，a∈________；当|a|>－a时，a∈(0，＋∞)．(－ ∞,0)题型一 利用绝对值三角不等式证明不等式例1　若|a－b|＞c，|b－c|＜a，求证：c＜a.证明：由|a－b|＞c及|b－c|＜a得
c－a＜|a－b|－|b－c|≤|(a－b)＋(b－c)|＝
|a－c|＝|c－a|.
由c－a＜|c－a|知c－a＜0，故c＜a.变 式训 练变 式训 练2．已知函数f(x)＝x2－x＋13，|x－a|<1，求证：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．
证明：|f(x)－f(a)|＝|x2－x＋13－(a2－a＋13)|
＝|x2－a2－x＋a|＝|(x－a)(x＋a－1)|
＝|x－a||x＋a－1|<|x＋a－1|
＝|x－a＋2a－1|≤|x－a|＋|2a－1|
<1＋|2a|＋1＝2(|a|＋1)．
∴|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．题型二 利用绝对值三角不等式求最值例2 设a，b∈R且|a＋b＋1|≤1，|a＋2b＋4|≤4，求|a|＋|b|的最大值．解析：|a＋b|＝|(a＋b＋1)－1|≤|a＋b＋1|＋|－1|≤1＋1＝2，
|a－b|＝|3(a＋b＋1)－2(a＋2b＋4)＋5|≤3|a＋b＋1|＋2|a＋2b＋4|＋5≤3×1＋2×4＋5＝16.
①当ab≥0时，|a|＋|b|＝|a＋b|≤2；
②当ab<0时，则a(－b)>0，
|a|＋|b|＝|a|＋|－b|＝|a＋(－b)|≤16.总之，恒有|a|＋|b|≤16.
而a＝8，b＝－8时，
满足|a＋b＋1|＝1，|a＋2b＋4|＝4，且|a|＋|b|＝16.
因此|a|＋|b|的最大值为16.变 式训 练3．求函数y＝|x－3|－|x＋1|的最大值和最小值．分析：若把x－3，x＋1看作两个实数，则所给的代数式符合两个数绝对值的差的形式，因而可以联想到两个数和(差)的绝对值与两个数绝对值的和(差)之间的关系，进而可转化求解，另一思维是：含有这种绝对值函数式表示的是分段函数，所以也可以视为是分段函数求最值．
解析：方法一　∵||x－3|－|x＋1||≤|(x－3)－(x＋1)|＝4，
∴－4≤|x－3|－|x＋1|≤4.
∴ymax＝4，ymin＝－4.方法二　把函数看作分段函数．1