1.2.2 绝对值不等式的解法 课件4

课件30张PPT。2．绝对值不等式的解法 1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法
只需将ax＋b看成一个整体，即化成|x|≤a，|x|≥a(a>0)型
不等式求解．
|ax＋b|≤c(c>0)型不等式的解法：先化为 ，
再由不等式的性质求出原不等式的解集．
不等式|ax＋b|≥c(c>0)的解法：先化为 或
，再进一步利用不等式性质求出原不等式的解集．－c≤ax＋b≤cax＋b≥cax＋b≤－c 2．|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法
①利用绝对值不等式的 求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键．几何意义 ②以绝对值的 为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符号内多项式的正、负性，进而去掉绝对值符号是解题关键．
③通过构造函数，利用函数的图像求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图像(有时需要考查函数的增减性)是解题关键．
零点 [例1]　解下列不等式：
(1)|5x－2|≥8；(2)2≤|x－2|≤4.
[思路点拨]　利用|x|>a及|x|0)型不等式的解法求解．
|ax＋b|≥c和|ax＋b|≤c型不等式的解法：
①当c>0时，|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c，
|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c.
②当c＝0时，|ax＋b|≥c的解集为R，|ax＋b| ③当c<0时，|ax＋b|≥c的解集为R，|ax＋b|≤c的解集为?.1．解下列不等式：
(1)|3－2x|<9；(2)|x－x2－2|>x2－3x－4；
(3)|x2－3x－4|>x＋1
解：(1)∵|3－2x|<9，∴|2x－3|<9.
∴－9<2x－3<9.
即－6<2x<12.
∴－3 ∴原不等式的解集为{x|－3x＋1或x2－3x－4<－x－1，
∴x2－4x－5>0或x2－2x－3<0.
解得x>5或x<－1或－1∴不等式的解集是(5，＋∞)∪(－∞，－1)∪(－1,3)．　　[例2]　解不等式|x－3|－|x＋1|<1.
[思路点拨]　解该不等式，可采用三种方法：(1)利用绝对值的几何意义；(2)利用各绝对值的零点分段讨论；(3)构造函数，利用函数图像分析求解． |x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式
的三种解法：分区间(分类)讨论法、图像法和几何法．
分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和
图像法直观，但只适用于数据较简单的情况．2．解不等式|x－2|－|x＋7|≤3.
解：令x＋7＝0，x－2＝0得x＝－7，x＝2.
①当x<－7时，
不等式变为－x＋2＋x＋7≤3，
∴9≤3.∴ 解集为空集．
②当－7≤x≤2时，
不等式变为－x＋2－x－7≤3，
即x≥－4.∴－4≤x≤2.③当x>2时，
不等式变为x－2－x－7≤3，
即－9≤3恒成立，∴x>2.
∴原不等式的解集为[－4，＋∞]．3．解不等式|2x－1|＋|3x＋2|≥8. [例3]　已知不等式|x＋2|－|x＋3|>m.
(1)若不等式有解；
(2)若不等式解集为R；
(3)若不等式解集为?，分别求出m的范围．
[思路点拨]　解答本题可以先根据绝对值|x－a|的意义或绝对值不等式的性质求出|x＋2|－|x＋3|的最大值和最小值，再分别写出三种情况下m的范围． [解]　法一：因|x＋2|－|x＋3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(－2)，B(－3)距离的差．
即|x＋2|－|x＋3|＝|PA|－|PB|.
由图像知(|PA|－|PB|)max＝1，
(|PA|－|PB|)min＝－1.
即－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.
(1)若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可，即m<1，m的范围为(－∞，1)； (2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最小值还小，即m＜－1，m的范围为(－∞，－1)；
(3)若不等式的解集为?，m只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最大值即可，即m≥1，m的范围为[1，＋∞)
法二：由|x＋2|－|x＋3|≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1，|x＋3|－|x＋2|≤|(x＋3)－(x＋2)|＝1，
可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.
(1)若不等式有解，则m∈(－∞，1)．
(2)若不等式解集为R，则m∈(－∞，－1)．
(3)若不等式解集为?，则m∈[1，＋∞)． 问题(1)是存在性问题，只要求存在满足条件的x即可；不等式解集为R或为空集时，不等式为绝对不等式或矛盾不等式，属于恒成立问题，恒成立问题f(x)a恒成立?f(x)min>a.4．把本例中的“>”改成“<”，即|x＋2|－|x＋3| 求出m的范围．
解：由例题知－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1，所以
(1)若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最小值大即可，即m∈(－1，＋∞)；
(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值大即可，即m∈(1，＋∞)
(3)若不等式的解集为?，m只要不大于|x＋2|－|x＋3|的最小值即可，即m∈(－∞，－1]5．把本例中的“－”改成“＋”，即|x＋2|＋|x＋3|>m时，分
别求出m的范围．
解：|x＋2|＋|x＋3|≥|(x＋2)－(x＋3)|＝1，
即|x＋2|＋|x＋3|≥1.
(1)若不等式有解，m为任何实数均可，
即m∈R；
(2)若不等式解集为R，即m∈(－∞，1)
(3)若不等式解集为?，这样的m不存在，即m∈?.