2.1 比较法 课件3

课件14张PPT。第二讲 证明不等式的基本方法
2.1 比较法1．了解用作差比较法证明不等式．
2．了解用作商比较法证明不等式．
3．提高综合应用知识解决问题的能力．要比较两个实数的大小，只要考查它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：
a＞b?a－b________0
a＝b?a－b________0
a＜b?a－b________0
思考1　比较两个代数式值的大小： x2与x2－x＋1.
＞＝＜解析：当x＝1时，x2＝x2－x＋1；当x＞1时，x2＞x2－x＋1；当x＜1时，x2＜x2－x＋1.思考2　比较两个代数式值的大小： x2＋x＋1与(x＋1)2.解析：当x＝0时，x2＋x＋1＝(x＋1)2；
当x＞0时，x2＋x＋1＜(x＋1)2；
当x＜0时，x2＋x＋1＞(x＋1)2.题型一 作差比较法证明不等式例1 　已知a＜b＜c，求证：a2b＋b2c＋c2a＜ab2＋bc2＋ca2.证明：因为a＜b＜c，
所以a－b＜0，b－c＜0，a－c＜0，
所以(a2b＋b2c＋c2a)－(ab2＋bc2＋ca2)
＝(a2b－ca2)＋(b2c－bc2)＋(ac2－ab2)
＝(b－c)[a2－a(b＋c)＋bc]
＝(b－c)(a－b)(a－c)＜0，
所以a2b＋b2c＋c2a＜ab2＋bc2＋ca2.变 式训 练1．已知a，b∈R＋，求证：
(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1)(n∈N*)．证明：(a＋b)(an＋bn)－2(an＋1＋bn＋1)
＝an＋1＋abn＋anb＋bn＋1－2an＋1－2bn＋1
＝an(b－a)＋bn(a－b)＝(a－b)(bn－an)，
又∵a，b∈R＋，n∈N*，
∴当a≥b时，a－b≥0，bn－an≤0，
∴(a－b)(bn－an)≤0，
∴(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1)．当a＜b时，a－b＜0，bn－an＞0，
∴(a－b)(bn－an)＜0，
∴(a＋b)(an＋bn)＜2(an＋1＋bn＋1)．
∴(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1)(n∈N*)．题型二 作商比较法证明不等式变 式训 练