2.1 比较法 课件5
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课件23张PPT。 1．作差比较法
(1)作差比较法的理论依据a－b>0? ，a－b<0? ，a－b＝0? .
(2)作差比较法解题的一般步骤：①作差；②变形整理，③判定符号，④得出结论．
其中变形整理是解题的关键，变形整理的目的是为了能够直接判定 ，常用的手段有：因式分解，配方，通分，分子或分母有理化等．a>ba 4(ab＋bc＋ac)>(a＋b＋c)2.
[思路点拨] 作差法证明，注意条件“在同一个三角形中，任意两边之和大于第三边”的应用．[证明] ∵a、b、c是△ABC的三边长．
∴a>0，b>0，c>0，且b＋c－a>0，c＋a－b>0，a＋b－c>0.
∴4(ab＋bc＋ac)－(a＋b＋c)2
＝2(ab＋bc＋ac)－(a2＋b2＋c2)
＝(b＋c－a)a＋(c＋a－b)b＋(a＋b－c)c>0.
∴4(ab＋bc＋ac)>(a＋b＋c)2. (1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少．
(2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．
(3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用配方法判断符号．有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对差式进行分类讨论．1．求证：a2＋b2≥2(a－b－1)；
证明：a2＋b2－2(a－b－1)
＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，
∴a2＋b2≥2(a－b－1)．
2．已知a，b∈R＋，n∈N＋，
求证：(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1)．
证明：∵(a＋b)(an＋bn)－2(an＋1＋bn＋1)
＝an＋1＋abn＋ban＋bn＋1－2an＋1－2bn＋1
＝a(bn－an)＋b(an－bn)
＝(a－b)(bn－an)．(1)若a>b>0时，bn－an<0，a－b＞0，
∴(a－b)(bn－an)<0.
(2)若b>a>0时，bn－an>0，a－b<0.
∴(a－b)(bn－an)<0.
(3)若a＝b>0时，(bn－an)(a－b)＝0.
综上(1)(2)(3)可知，对于a，b∈R＋，n∈N＋，都有(a＋b)
(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1). 当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时，常采用作商比较法，用作商比较法时，如果需要在不等式两边同乘某个数，要注意该数的正负，且最后结果与1比较．4．如果a，b都是正数，且a≠b，
求证a6＋b6>a4b2＋a2b4.
方法二：a6＋b6－a4b2－a2b4
＝a4(a2－b2)＋b4(b2－a2)
＝(a2－b2)(a4－b4)
＝(a2－b2)2(a2＋b2)
∵a≠b，∴(a2－b2)2>0，a2＋b2>0.
∴(a2－b2)2(a2＋b2)>0.
∴a6＋b6>a4b2＋a2b4.
[例3] 甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．如果m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？
[思路点拨] 先用m、n表示甲、乙两人走完全程所用时间，再进行比较． 应用不等式解决实际问题时， 关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决．也即建立数学模型是解应用题的关键，最后利用不等式的知识来解．在实际应用不等关系问题时，常用比较法来判断数的大小关系，若是选择题或填空题则可用特殊值加以判断．5．某人乘出租车从A地到B地，有两种方案；第一种方案：
乘起步价为10元．每千米1.2元的出租车，第二种方案：
乘起步价为8元，每千米1.4元的出租车．按出租车管理
条例，在起步价内．不同型号的出租车行驶的路程是相
等的，则此人从A地到B地选择哪一种方案比较合适？解：设A地到B地距离为m千米．起步价内行驶的路程为a千米．
显然当m≤a时，选起步价为8元的出租车比较便宜．
当m>a时，设m＝a＋x(x>0)，乘坐起步价为10元的出租车费用
为P(x)元．乘坐起步价为8元的出租车费用为Q(x)元，则P(x)＝10＋1.2 x，
Q(x)＝8＋1.4x
∵P(x)－Q(x)＝2－0.2x＝0.2(10－x)
∴当x>10时，P(x)合适．
当x<10时，P(x)>Q(x)，此时选起步价为8元的出租车较为合适．
当x＝10时，P(x)＝Q(x)，两种出租车任选，费用相同．
(1)作差比较法的理论依据a－b>0? ，a－b<0? ，a－b＝0? .
(2)作差比较法解题的一般步骤：①作差；②变形整理，③判定符号，④得出结论．
其中变形整理是解题的关键，变形整理的目的是为了能够直接判定 ，常用的手段有：因式分解，配方，通分，分子或分母有理化等．a>ba
[思路点拨] 作差法证明，注意条件“在同一个三角形中，任意两边之和大于第三边”的应用．[证明] ∵a、b、c是△ABC的三边长．
∴a>0，b>0，c>0，且b＋c－a>0，c＋a－b>0，a＋b－c>0.
∴4(ab＋bc＋ac)－(a＋b＋c)2
＝2(ab＋bc＋ac)－(a2＋b2＋c2)
＝(b＋c－a)a＋(c＋a－b)b＋(a＋b－c)c>0.
∴4(ab＋bc＋ac)>(a＋b＋c)2. (1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少．
(2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．
(3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用配方法判断符号．有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对差式进行分类讨论．1．求证：a2＋b2≥2(a－b－1)；
证明：a2＋b2－2(a－b－1)
＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，
∴a2＋b2≥2(a－b－1)．
2．已知a，b∈R＋，n∈N＋，
求证：(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1)．
证明：∵(a＋b)(an＋bn)－2(an＋1＋bn＋1)
＝an＋1＋abn＋ban＋bn＋1－2an＋1－2bn＋1
＝a(bn－an)＋b(an－bn)
＝(a－b)(bn－an)．(1)若a>b>0时，bn－an<0，a－b＞0，
∴(a－b)(bn－an)<0.
(2)若b>a>0时，bn－an>0，a－b<0.
∴(a－b)(bn－an)<0.
(3)若a＝b>0时，(bn－an)(a－b)＝0.
综上(1)(2)(3)可知，对于a，b∈R＋，n∈N＋，都有(a＋b)
(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1). 当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时，常采用作商比较法，用作商比较法时，如果需要在不等式两边同乘某个数，要注意该数的正负，且最后结果与1比较．4．如果a，b都是正数，且a≠b，
求证a6＋b6>a4b2＋a2b4.
方法二：a6＋b6－a4b2－a2b4
＝a4(a2－b2)＋b4(b2－a2)
＝(a2－b2)(a4－b4)
＝(a2－b2)2(a2＋b2)
∵a≠b，∴(a2－b2)2>0，a2＋b2>0.
∴(a2－b2)2(a2＋b2)>0.
∴a6＋b6>a4b2＋a2b4.
[例3] 甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．如果m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？
[思路点拨] 先用m、n表示甲、乙两人走完全程所用时间，再进行比较． 应用不等式解决实际问题时， 关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决．也即建立数学模型是解应用题的关键，最后利用不等式的知识来解．在实际应用不等关系问题时，常用比较法来判断数的大小关系，若是选择题或填空题则可用特殊值加以判断．5．某人乘出租车从A地到B地，有两种方案；第一种方案：
乘起步价为10元．每千米1.2元的出租车，第二种方案：
乘起步价为8元，每千米1.4元的出租车．按出租车管理
条例，在起步价内．不同型号的出租车行驶的路程是相
等的，则此人从A地到B地选择哪一种方案比较合适？解：设A地到B地距离为m千米．起步价内行驶的路程为a千米．
显然当m≤a时，选起步价为8元的出租车比较便宜．
当m>a时，设m＝a＋x(x>0)，乘坐起步价为10元的出租车费用
为P(x)元．乘坐起步价为8元的出租车费用为Q(x)元，则P(x)＝10＋1.2 x，
Q(x)＝8＋1.4x
∵P(x)－Q(x)＝2－0.2x＝0.2(10－x)
∴当x>10时，P(x)
当x<10时，P(x)>Q(x)，此时选起步价为8元的出租车较为合适．
当x＝10时，P(x)＝Q(x)，两种出租车任选，费用相同．