2.3 反证法与放缩法 课件5

课件18张PPT。 1．不等式的证明方法——反证法
(1)反证法证明的定义：先假设要证明的命题不成立，然后由 出发，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行 ，得到和命题的条件
(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明 不成立，从而证明原命题成立．
(2)反证法证明不等式的一般步骤：①假设命题不成立；②依据假设推理论证；③推出矛盾以说明 ，从而断定原命题成立．此假设正确的推理假设假设不成立 2．不等式的证明方法——放缩法
放缩法证明的定义：
证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值 或 ，简化不等式，从而达到证明的目的．
3．放缩法的理论依据主要有
(1)不等式的传递性；
(2)等量加不等量为 ；
(3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．放大缩小不等量 (1)反证法适用范围：凡涉及不等式为否定性命题，唯一性、存在性命题可考虑反证法．如证明中含“至多”，“至少”，“不能”等词语的不等式．
(2)注意事项：在对原命题进行否定时，应全面、准确，不能漏掉情况，反证法体现了“正难则反”的策略，在解题时要灵活应用．1．实数a，b，c不全为0的等价条件为 (　　)
A．a，b，c均不为0
B．a，b，c中至多有一个为0
C．a，b，c中至少有一个为0
D．a，b，c中至少有一个不为0
解析：“不全为0”是对“全为0”的否定，与其等价的是
“至少有一个不为0”．
答案：D2．证明：三个互不相等的正数a、b、c成等差数列，则a，
b，c不可能成等比数列．
证明：假设a，b，c成等比数列，则b2＝ac.
又∵a、b、c成等差数列
∴a＝b－d，c＝b＋d(其中d公差)．
∴ac＝b2＝(b－d)(b＋d)．∴b2＝b2－d2.
∴d2＝0，∴d＝0.这与已知中a、b、c互不相等矛盾．
∴假设不成立．∴a、b、c不可能成等比数列．3．已知函数y＝f(x)在R上是增函数，且f(a)＋f(－b) f(－a)，求证：a证明：假设ab.
当a＝b时，－a＝－b则有f(a)＝f(b)，f(－a)＝f(－b)，于是f(a)＋f(－b)＝f(b)＋f(－a)与已知矛盾．
当a>b时，－a<－b，由函数y＝f(x)的单调性可得f(a)>f(b)，f(－b)>f(－a)
于是有f(a)＋f(－b)>f(b)＋f(－a)与已知矛盾．故假设不成立．
∴a (2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法，利用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，或者把和式中各项或某项换以较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的．5．设f(x)＝x2－x＋13，a，b∈[0,1]，求证：
|f(a)－f(b)|<|a－b|.
证明：|f(a)－f(b)|＝|a2－a－b2＋b|
＝|(a－b)(a＋b－1)|＝|a－b||a＋b－1|
∵0≤a≤1,0≤b≤1　∴0≤a＋b≤2，
－1≤a＋b－1≤1，|a＋b－1|≤1.
∴|f(a)－f(b)|≤|a－b|.