3.1 二维形式的柯西不等式 课件5

课件17张PPT。(ac＋bd)2|ac＋bd||ac|＋|bd| 2．柯西不等式的向量形式
定理2：设α，β是两个向量，则 ，当且仅当β是 ，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．
[注意]　柯西不等式的向量形式中α·β≤|α||β|，取等号“＝”的条件是β＝0或存在实数k，使α＝kβ.零向量|α·β|≤|α|·|β| 利用柯西不等式证明不等式的关键在于利用已知条件和所证不等式，构造柯西不等式的基本形式，从而利用柯西不等式证明，但应注意等号成立的条件．1．已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：|ax＋by|≤1
证明：由柯西不等式得
(ax＋by)2≤(a2＋b2)(x2＋y2)＝1，
∴|ax＋by|≤1. [例2]　求函数y＝3sin α＋4cos α的最大值．
[思路点拨]　函数的解析式是两部分的和，若能化为ac＋bd的形式就能用柯西不等式求其最大值． ①变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；
②有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；
③而有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一．4．已知2x2＋y2＝1，求2x＋y的最大值．
5．已知2x＋3y＝1，求4x2＋9y2的最小值．