3.3 排序不等式 课件3

课件15张PPT。 1．顺序和、乱序和、反序和
设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn为b1，b2，…，bn的任一排列，称
为这两个实数组的顺序积之和(简称 )，称
为这两个实数组的反序积之和(简称 )．称 为这两个实数组的乱序
积之和(简称 )．
a1b1＋a2b2＋顺序和a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1
反序和a1c1＋a2c2＋…＋ancn乱序和…＋anbn 2．排序不等式(排序原理)
定理：(排序原理，又称为排序不等式)　设a1≤a2
≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn为b1，b2，…，bn的任一排列，则有
≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤ ，等号成立
(反序和等于顺序和)?a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn.
排序原理可简记作： ．a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1a1b1＋a2b2＋…＋anbn反序和≤乱序和≤顺序和 利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．
2．设x≥1，求证：1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.
证明：∵x≥1，∴1≤x≤x2≤……≤xn.
由排序原理得12＋x2＋x4＋…＋x2n
≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1
即1＋x2＋x4＋…＋x2nn≥(n＋1)xn. ①
又因为x，x2，…，xn,1为1，x，x2，…，xn的一个排列
由排序原理得：1·x＋x·x2＋…＋xn－1·xn＋xn·1
≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1
得x＋x3＋…＋x2n－1＋xn≥(n＋1)xn ②
将①②相加得1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn. 在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况，要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．