4.1 数学归纳法 课件3
图片预览
文档简介
课件27张PPT。第四讲 数学归纳法证明不等式
4.1 数学归纳法1．了解数学归纳法的原理及其使用范围．
2．会用数学归纳法证明一些简单问题．
3．掌握数学归纳法证明的两个步骤和一个结论．1．数学归纳法是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在____________时成立，这是递推的基础；第二步是假设在____________________时命题成立，再证明________时命题也成立，这是递推的依据．实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限．证明时，关键是k＋1步的推证，要有目标意识．
2．从试验、观察出发，用不完全归纳法作出________，再用数学归纳法进行________，这是探索性问题的证法，数列中经常用到(试值→猜想→证明)．n＝n0(n0∈N*)n＝k(k≥n0，k∈N*)n＝k＋1归纳猜想严格证明题型一 证明恒等问题变 式训 练所以当n＝k＋1时，等式仍然成立
由(1)、(2)可知，对于?n∈N*，等式恒成立．
点评：用数学归纳法证明恒等式应注意：明确初始值n0的取值并验证n＝n0时命题的真假(必不可少)．明确从“假设n＝k时命题正确”到写出“n＝k＋1时”命题形式是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项，明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等．简言之：两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉. 题型二 证明整除问题例2 求证：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除，n∈N*.由归纳假设，上式中的两项均能被a2＋a＋1整除，故n＝k＋1时命题成立．
由(1)(2)知，对n∈N*，命题成立．
点评：证明整除性问题的关键是“凑项”，而采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题获证． 栏目链接变 式训 练2．用数学归纳法证明(3n＋1)·7n－1能被9整除(n∈N*)．分析：证明一个与n有关的式子f(n)能被一个数a〔或一个代数式g(n)〕整除，主要是找到f(k＋1)与f(k)的关系，设法找到式子f1(k)，f2(k)，使得f(k＋1)＝f(k)·f1(k)＋a·f2(k)，就可证得命题成立．
证明：(1)当n＝1时，原式＝(3×1＋1)×7－1＝27，能被9整除，命题成立．
(2)假设当n＝k(k≥1)时， 栏目链接变 式训 练(3k＋1)·7k－1能被9整除，则当n＝k＋1时，
[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1＝[21(k＋1)＋7]·7k－1
＝[(3k＋1)＋(18k＋27)]·7k－1
＝[(3k＋1)·7k－1]＋9(2k＋3)·7k，
∵[(3k＋1)·7k－1]和9(2k＋3)·7k都能被9整除，
∴[(3k＋1)·7k－1]＋9(2k＋3)·7k能被9整除，
即[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1能被9整除，即当n＝k＋1时命题成立．
由(1)(2)可知，对任何n∈N*命题都成立．
分析：本题如果将n＝k＋1时，[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1变为7[(3k＋1)·7k－1]＋3×7k＋1＋6，再去证明3×7k＋1＋6能被9整除，困难就大一些，即为了能利用归纳假设，拼凑结构式以利于出现题目所需要的形式，需要观察式子的特点，不能盲目变形，要有目标．题型一 证明几何或数列问题例3 平面内有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一点，求证：这n个圆将平面分成f(n)＝n2－n＋2(n∈N*)个部分．分析：因为f(n)为n个圆把平面分割成的区域数，那么再有一个圆和这n个圆相交，就有2n个交点，这些交点将增加的这个圆分成2n段弧，且每一段弧又将原来的平面区域一分为二，因此增加一个圆后，平面分成的区域数增加2n个，即f(n＋1)＝f(n)＋2n.有了上述关系，数学归纳法的第二步证明可迎刃而解．
证明：(1)当n＝1时，一个圆将平面分成两个部分，且f(1)＝1－1＋2＝2，所以n＝1时命题成立．
(2)假设n＝k(k≥1)时命题成立，即k个圆抒平面分成f(k)＝k2－k＋2个部分．
则n＝k＋1时，在k＋1个圆中任取一个圆O，剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分，而圆O与k个圆有2k个交点，这2k个点将圆O分成2k段弧，每段弧将原平面一分为二，故得f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2.
∴当n＝k＋1时命题成立．
综上(1)(2)可知，对一切n∈N*命题成立．变 式训 练
4.1 数学归纳法1．了解数学归纳法的原理及其使用范围．
2．会用数学归纳法证明一些简单问题．
3．掌握数学归纳法证明的两个步骤和一个结论．1．数学归纳法是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在____________时成立，这是递推的基础；第二步是假设在____________________时命题成立，再证明________时命题也成立，这是递推的依据．实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限．证明时，关键是k＋1步的推证，要有目标意识．
2．从试验、观察出发，用不完全归纳法作出________，再用数学归纳法进行________，这是探索性问题的证法，数列中经常用到(试值→猜想→证明)．n＝n0(n0∈N*)n＝k(k≥n0，k∈N*)n＝k＋1归纳猜想严格证明题型一 证明恒等问题变 式训 练所以当n＝k＋1时，等式仍然成立
由(1)、(2)可知，对于?n∈N*，等式恒成立．
点评：用数学归纳法证明恒等式应注意：明确初始值n0的取值并验证n＝n0时命题的真假(必不可少)．明确从“假设n＝k时命题正确”到写出“n＝k＋1时”命题形式是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项，明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等．简言之：两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉. 题型二 证明整除问题例2 求证：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除，n∈N*.由归纳假设，上式中的两项均能被a2＋a＋1整除，故n＝k＋1时命题成立．
由(1)(2)知，对n∈N*，命题成立．
点评：证明整除性问题的关键是“凑项”，而采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题获证． 栏目链接变 式训 练2．用数学归纳法证明(3n＋1)·7n－1能被9整除(n∈N*)．分析：证明一个与n有关的式子f(n)能被一个数a〔或一个代数式g(n)〕整除，主要是找到f(k＋1)与f(k)的关系，设法找到式子f1(k)，f2(k)，使得f(k＋1)＝f(k)·f1(k)＋a·f2(k)，就可证得命题成立．
证明：(1)当n＝1时，原式＝(3×1＋1)×7－1＝27，能被9整除，命题成立．
(2)假设当n＝k(k≥1)时， 栏目链接变 式训 练(3k＋1)·7k－1能被9整除，则当n＝k＋1时，
[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1＝[21(k＋1)＋7]·7k－1
＝[(3k＋1)＋(18k＋27)]·7k－1
＝[(3k＋1)·7k－1]＋9(2k＋3)·7k，
∵[(3k＋1)·7k－1]和9(2k＋3)·7k都能被9整除，
∴[(3k＋1)·7k－1]＋9(2k＋3)·7k能被9整除，
即[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1能被9整除，即当n＝k＋1时命题成立．
由(1)(2)可知，对任何n∈N*命题都成立．
分析：本题如果将n＝k＋1时，[3(k＋1)＋1]·7k＋1－1变为7[(3k＋1)·7k－1]＋3×7k＋1＋6，再去证明3×7k＋1＋6能被9整除，困难就大一些，即为了能利用归纳假设，拼凑结构式以利于出现题目所需要的形式，需要观察式子的特点，不能盲目变形，要有目标．题型一 证明几何或数列问题例3 平面内有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一点，求证：这n个圆将平面分成f(n)＝n2－n＋2(n∈N*)个部分．分析：因为f(n)为n个圆把平面分割成的区域数，那么再有一个圆和这n个圆相交，就有2n个交点，这些交点将增加的这个圆分成2n段弧，且每一段弧又将原来的平面区域一分为二，因此增加一个圆后，平面分成的区域数增加2n个，即f(n＋1)＝f(n)＋2n.有了上述关系，数学归纳法的第二步证明可迎刃而解．
证明：(1)当n＝1时，一个圆将平面分成两个部分，且f(1)＝1－1＋2＝2，所以n＝1时命题成立．
(2)假设n＝k(k≥1)时命题成立，即k个圆抒平面分成f(k)＝k2－k＋2个部分．
则n＝k＋1时，在k＋1个圆中任取一个圆O，剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分，而圆O与k个圆有2k个交点，这2k个点将圆O分成2k段弧，每段弧将原平面一分为二，故得f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2.
∴当n＝k＋1时命题成立．
综上(1)(2)可知，对一切n∈N*命题成立．变 式训 练