4.2 用数学归纳法证明不等式 课件4

(共22张PPT)
1．利用数学归纳法证明不等式
在不等关系的证明中，方法多种多样，其中数学归纳法是常用的方法之一．在运用数学归纳法证明不等式时，由n＝k成立，推导n＝k＋1成立时，常常要与其他方法，如 、 、 、 等结合进行．
比较法
分析法
综合法
放缩法
2．归纳—猜想—证明的思想方法
数学归纳法作为一种重要的证明方法，常常体现在“归纳—猜想—证明”这一基本思想方法中．一方面可用数学归纳法证明已有的与自然数有关的结论；更重要的是，要用不完全归纳法去发现某些结论、规律并用 证明其正确性，形成“观察—归纳—猜想—证明”的思想方法．
数学归纳法
[证明]　(1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4；右边＝1，
左边>右边；
当n＝2时，左＝22＋2＝6，右＝22＝4，所以左边>右边；
当n＝3时，左＝23＋2＝10，右＝32＝9，所以左边>右边．
因此当n＝1,2,3时，不等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥3且k∈N＋)时，不等式成立．
当n＝k＋1时，
2k＋1＋2
＝2·2k＋2
＝2(2k＋2)－2>2k2－2
＝k2＋2k＋1＋k2－2k－3
＝(k2＋2k＋1)＋(k＋1)(k－3)(因k≥3，则k－3≥0，
k＋1>0)≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2.
所以2k＋1＋2>(k＋1)2.故当n＝k＋1时，原不等式也成立．
根据(1)(2)，原不等式对于任何n∈N都成立．
利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由n＝k到n＝k＋1的变形．为满足题目的要求，常常要采用
“凑”的手段，一是凑出假设的形式，便于用假设；二是凑出结论的形式，再证明．
[例2]　设f(n)>0(n∈N＋)，对任意自然数n1和n2总有f(n1＋n2)＝f(n1)f(n2)，又f(2)＝4.
(1)求f(1)，f(3)的值．
(2)猜想f(n)的表达式，并证明你的猜想．
[思路点拨]　利用f(n1＋n2)＝f(n1)f(n2)可求出f(1)，f(3)再猜想f(n)，利用数学归纳法给出证明．
[解]　(1)由于对任意自然数n1和n2，
总有f(n1＋n2)＝f(n1)·f(n2)．
取n1＝n2＝1，得f(2)＝f(1)·f(1)，即f2(1)＝4.
∵f(n)>0(n∈N＋)，
∴f(1)＝2.
取n1＝1，n2＝2，得f(3)＝23.
(2)由f(1)＝21，f(2)＝4＝22，f(3)＝23，
猜想f(n)＝2n.
证明：①当n＝1时f(1)＝2成立；
②假设n＝k时，f(k)＝2k成立．
f(k＋1)＝f(k)·f(1)＝2k·2＝2k＋1，
这就是说当n＝k＋1时，猜想也成立．
由①②知猜想正确，即f(n)＝2n.
利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是：观察——归纳——猜想——证明．即先通过观察部分项的特点．进行归纳，判断并猜想出一般结论，然后用数学归纳法进行证明．
4．在数列{an}、{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an、bn、an＋1
成等差数列，bn、an＋1、bn＋1成等比数列(n∈N＋)．
(1)求a2、a3、a4及b2、b3、b4的值，由此猜测{an}、{bn}的通项公式；
(2)证明你的结论．
解：(1)由条件得2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1.
由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.
猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2.
(2)用数学归纳法证明：①当n＝1时，由上知结论成立．
②假设当n＝k时，结论成立．
即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2，
那么当n＝k＋1时，ak＋1＝2bk－ak＝
2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)．
bk＋1＝ ＝(k＋2)2.
所以当n＝k＋1时， 结论也成立．
由①②，可知an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2对一切正整数都成立．