1.1.1 不等式的基本性质 教案

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1.1.1
不等式的基本性质
教案
教学目标
1．理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础.
2．掌握不等式的基本性质，并能加以证明；会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法，反证法证明简单的不等式.
教学重、难点
重点：应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明，特别是反证法.
难点：灵活应用不等式的基本性质.
教学过程
一、引入：
不等关系是自然界中存在着的基本数学关系.《列子 汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢？”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子.要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决.而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用.21世纪教育网版权所有
本专题将介绍一些重要的不等式(含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等)和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等.21cnjy.com
人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的.还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用.www.21-cn-jy.com
生活中为什么糖水加糖甜更甜呢？转化为数学问题：a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么？
分析：起初的糖水浓度为，加入m克糖后的糖水浓度为，只要证>即可.怎么证呢？
二、探究不等式的基本性质：
1、实数的运算性质与大小顺序的关系：
数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：
上面的符号“”表示“等价于”，即可以互相推出.
得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差与0的大小即可.
例1
比较和的大小.
2、探究不等式的基本性质：
由两个数大小关系的基本事实，可以推出不等式的一些基本性质.
①、如果a>b，那么bb.即
②、如果a>b，且b>c，那么a>c，即a>b，b>ca>c.
③、如果a>b，那么a+c>b+c.
④、如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac⑤、如果a>b>0，那么(nN，且n≥2)
⑥、如果a>b>0，那么(nN，且n≥2).
通过语言可以加深理解上述基本性质.例如，性质④可以表述为：不等式两边同乘一个正数，不等号同向；不等式两边同乘一个负数，不等号反向.21·cn·jy·com
老师引导学生用自己的语言叙述上述各条性质，然后请同学们尝试证明以上不等式的基本性质.
三、思考
观察不等式的基本性质，并与等式的基本性质比较，你认为在研究不等式时，需要特别注意什么问题？
事实上，从上述基本性质可以发现，在研究不等式时，需要特别注意“符号问题”，即在作乘(除)法运算时，乘(除)数的符号会影响不等号的方向.21教育网
上述关于不等式的基本事实和基本性质是解决不等式问题的基本依据，研究不等式时，经常以它们作为出发点.例如，利用不等式的基本性质可以得到下列结论：2·1·c·n·j·y
如果a>b，c>d，那么a+c>b+d；
如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
例2
已知a>b>0，c>d>0，求证：.
四、课堂练习：
1：已知
，比较与的大小.
2：已知a>b>0，c五、课堂小结
不等式的基本性质.
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