1.1.2
基本不等式
同步练习
一、选择题
1.若a,b∈R+,且a+b=2,则+的最小值为
( ).
A.1
B.2
C.
D.4
答案 B
2.函数y=log2(x>1)的最小值为
( ).
A.-3
B.3
C.4
D.-4
解析 x>1,x-1>0,
y=log2=log2
≥log2(2+6)=log28=3.
答案 B
3.若a,b,c>0且(a+b)(a+c)=4-2,则2a+b+c的最小值为
( ).A.-1
B.+1
C.2+2
D.2-2
解析 (a+b)+(a+c)≥2
=2=2-2.
当且仅当a+b=a+c,即b=c时等号成立.
答案 D
4.在下列函数中最小值是2的是
( ).
A.y=+(x∈R且x≠0)
B.y=lg
x+(1<x<10)
C.y=3x+3-x(x∈R)
D.y=sin
x+
解析 A中的函数式,与都不一定是正数,故可排除A;B中的函数式,lg
x与都是正数且乘积为定值,运用基本不等式取等号的条件是lg
x=,即x=10与10,3-x=>0,∴运用基本不等式取等号的条件是3x=,而x=0成立,故选C.D中,∵0x∈(0,1),而>1,sin
x≠.
答案 C
二、填空题
5.设0<a<1,0<b<1且a≠b,则下列数中
①a2+b2;②2ab;③2;④+;⑤a+b
最大的数是________;最小的数是________.
答案 ④ ②
6.若x,y,z∈R+,则x-2y+3z=0,的最小值是________.
解析 由x-2y+3z=0,得y=,将其代入,得≥=3,当且仅当x=3z时取“=”.
答案 3
7.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x为________吨.
解析 每年购买次数为次.
所以总费用=·4+4x≥2=160.
当且仅当=4x,即x=20时等号成立.
答案 20
8.对任意锐角θ,都有+≥λ恒成立,则λ的最大值为________.
解析 由二元均值不等式,得
+≥2
=≥2.
答案 2
三、解答题
9.已知a,b∈(0,+∞),求证:(a+b)≥4.
证明 ∵a>0,b>0,∴a+b≥2>0,
当且仅当a=b时,取等号.
①
+≥2>0,当且仅当=,即a=b时取等号.②
①×②,得(a+b)≥2·2=4,
当且仅当a=b时,取等号.
10.已知直线l过点(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A、B两点,求当△AOB的面积最小时,直线l的方程.
解 如图所示,设直线l的斜率为k,
则其方程为y-2=k(x-3).
当x=0时,y=-3k+2;
当y=0时,x=-+3.
∴S△AOB=(-3k+2)
=.
∵直线l与x轴和y轴的正半轴分别相交,
∴k<0,得-9k>0,->0.
∴S△AOB=
≥=12.
当且仅当-9k=-,即k=-时,S△AOB有最小值12.
因此所求直线l的方程为2x+3y-12=0.
11.某游泳馆出售冬季游泳卡,每张240元,其使用规定:不记名,每卡每次只限一人,每天只限一次.某班有48名同学,老师打算组织同学们集体去游泳,除需购买若干张游泳卡外,每次游泳还需包一辆汽车,无论乘坐多少名同学,每次的包车费均为40元.
若使每个同学游8次,每人最少应交多少元钱?
解 设买x张游泳卡,总开支为y元,则
每批去x名同学,共需去批,
总开支又分为:①买卡所需费用240x,
②包车所需费用×40.
∴y=240x+×40(0<x≤48,x∈Z).
∴y=240≥240×2
=3
840,
当且仅当x=,即x=8时取等号.
故每人最少应交=80(元).