1.1.3 三个正数的算术—几何平均不等式 教案

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1.1.3
三个正数的算术—几何平均不等式
教案
教学目标
1．能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题；
2．了解基本不等式的推广形式.
教学重、难点
重点：三个正数的算术-几何平均不等式
难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题
教学过程
一、引入：
思考：类比基本不等式的形式，猜想对于3个正数a，b，c，可能有怎样的不等式成立？
类比基本不等式的形式，猜想对于3个正数a，b，c，可能有：若，那么，当且仅当a=b=c时，等号成立．
二、给出定理
和的立方公式：
立方和公式：
定理3
如果，那么当且仅当a=b=c时，等号成立．
(三个正数的算术平均不小于它们的几何平均)
说明：(1)若三个正数的积是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时，它们的和有最小值．
(2)若三个正数的和是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时，它们的积有最大值．
定理推广：n个正数的算术—几何平均不等式：
三、例题解析
例5
已知，求证
例6如图1.1-5(课本第9页)，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？
四、小结：
回顾基本不等式及三个正数的算术—几何平均不等式以及它们的限制条件，应用它们时的注意点.
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