1.1.3 三个正数的算术-几何平均不等式 同步练习（含答案）

1.1.3
三个正数的算术—几何平均不等式
同步练习
1．函数y＝x2(1－5x)(0≤x≤)的最大值是(　　)
A．4
B.
C.
D.
答案：C
2．若x>0，则4x＋的最小值是
(　　)
A．9
B．3
C．13
D．不存在
答案：B　
3．已知a.b.c∈R＋则(＋＋)(＋＋)≥________.
答案：9
4．设a，b∈R＋，且a＋b＝3，则ab2的最大值是________．
答案：4
5．已知a，b，c为正数，求证：
(a＋b＋c)(
a2＋b2＋c2)≥9abc.
证明：∵a，b，c为正数，
∴a＋b＋c≥3，a2＋b2＋c2≥3
∴(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)≥3×3
＝9.
∴(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2)≥9abc，
当且仅当a＝b＝c时等号成立．
6．若实数x，y满足xy＞0，且x2y＝2，则xy＋x2的最小值是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：C
7．求函数y＝3x＋(x>0)的最值．
解析：∵x>0，
∴y＝3x＋＝＋＋≥3＝3.当且仅当＝＝，即x＝时取符号．
∴当x＝时，函数y的最小值为3.
8．θ为锐角，求y＝sin
θ·cos2θ的最大值．
分析：本题的目标函数为积结构，故应创设各因子和为定值，要特别注意sin2θ＋cos2θ＝1的应用．
解析：∵y2＝sin2θcos2θcos2θ
　
＝×2sin2θ(1－sin2θ)(1－sin2θ)
　≤()3＝.
当且仅当2sin2θ＝1－sin2θ，即sin
θ＝时取等号．
∴ymax＝.
9．已知正数a，b满足ab2＝1，求a＋b的最小值．
解析：因为a，
b是正数，ab2＝1，
所以a＋b＝a＋＋≥3＝.
故a＋b的最小值是，
当且仅当即时取到最小值．
10．已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋2≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立．
证明：因为a，b，c均为正数，由均值不等式得
a2＋b2＋c2≥3(abc)，①
＋＋≥3(abc)－，
所以2≥9(abc)－.②
故a2＋b2＋c2＋2≥3(abc)＋9(abc)－.
又3(abc)＋9(abc)－≥2＝6，③
所以原不等式成立．
当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．
当且仅当3(abc)＝9(abc)－时，③式等号成立．
故当且仅当a＝b＝c＝3时，原不等式等号成立．
11．请你设计一个帐篷，它下部的形状是高为1
m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3
m的正六棱锥(如下图所示)．试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大为多少？
分析：利用正六棱锥的体积公式列关系式，然后利用算术－几何平均不等式求最值，也可求导求最值．
解析：设OO1为x
m，则1＜x＜4.由题设可得正六棱锥底面边长为＝，于是底面正六边形的面积为6××()2＝(8＋2x－x2)，帐篷的体积为
V(x)＝(8＋2x－x2)·
＝(4－x)(x＋2)(x＋2)
＝(8－2x)(x＋2)(x＋2)
≤3
＝×64
＝16.
当且仅当8－2x＝x＋2，即x＝2时取等号．
故当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为2
m时帐篷的体积最大，其值为16
m2.