1.2.1 绝对值三角不等式 同步练习1（含答案）

1.2.1
绝对值三角不等式
同步练习
1．若|x－a|A．|x－y|<2m
B．|x－y|<2n
C．|x－y|D．|x－y|答案：D
2．设ab>0，下面四个不等式：
①|a＋b|>|a|；②|a＋b|<|b|；
③|a＋b|<|a－b|；④|a＋b|>|a|－|b|.
其中正确的是(　　)
A．①②
B．①③
C．①④
D．②④
答案：C
3．若a，b∈R，且|a|≤3，|b|≤2，则|a＋b|的最大值是________，最小值是________．
答案：5　0
4．已知p，q，x∈R，pq≥0，x≠0，则______2(填“≥”，“≤”，“>”或“<”)．
答案：≥
5．若不等式|x－4|＋|x－3|>a对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1)
B．(1，＋∞)
C．(3，4)
D．[3，＋∞)
答案：A　
6．方程|x|＋|logax|＝|x＋logax|(a>1)的解集是________________．
答案：{x|x>1}　
7．函数y＝|x－3|－|x＋1|的最大值是________，最小值是________．
答案：4　－4　
8．|x－A|<，|y－A|<是|x－y|<ε的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．即不充分也不必要条件
答案：A
9．对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，
|x－2y＋1|的最大值是________．
解析：|x－2y＋1|＝|x－1－2(y－2)－2|≤|x－1|＋2|y－2|＋|－2|≤1＋2＋2＝5.
答案：5
10．设A(x1，y1)，B(x2，y2)是平面直角坐标系xOy上的两点，现定义点A到点B的一种折线距离为ρ(A，B)＝|x2－x1|＋|y2－y1|，对于平面xOy上给定的不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若点C(x，y)是平面xOy上的点，
试证明：ρ(A，C)＋ρ(C，
B)≥ρ(A，B)．
证明：由绝对值不等式知，
ρ(A，C)＋ρ(C，B)＝|x－x1|＋|x2－x|＋|y－y1|＋|y2－y|
≥|(x－x1)＋(x2－x)|＋|(y－y1)＋(y2－y)|＝|x2－x1|＋|y2－y1|
＝ρ(A，B)．
当且仅当(x－x1)·(x2－x)≥0且(y－y1)·(y2－y)≥0时等号成立．
11．已知实数x，y满足：|x＋y|<，|2x－y|<，求证：|y|<.
证明：∵3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)＋(y－2x)|≤2|x＋y|＋|2x－y|，
由题意设|x＋y|<，|2x－y|<，
∴3|y|<2×＋＝.
∴|y|<.
12．求证：≥－.
证明：
(1)当|a|≤|b|时，由≥0，
－≤0，知不等式成立
(2)当|a|>|b|时．
－＝－＝×
＝×≥0.
所以≥－.
小结
1．在掌握本节知识过程中，要充分认识和理解绝对值的意义和性质：
设a∈R，则|a|＝
|a|≥0，－|a|≤a≤|a|，|a|2＝a2.
2．绝对值不等式的性质定理的推广：
|a1＋a2＋a3|≤|a1|＋|a2|＋|a3|；
|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|；
|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.
3．在应用含绝对值的不等式求某些函数的最值时，一定要注意等号成立的条件：
|a＋b|＝|a|＋|b|(ab≥0)；
|a－b|＝|a|＋|b|(ab≤0)；
||a|－|b||＝|a＋b|(ab≤0)；
||a|－|b||＝|a－b|(ab≥0)．