1.2.1 绝对值三角不等式 同步练习2（含答案）

1.2.1
绝对值三角不等式
同步练习
一、选择题
1．若集合A＝{x||2x－1|<3}，B＝，则A∩B是
(　)．
A.
B．{x|2C.
D.
解析　∵A＝{x|－2<2x<4}＝{x|－1B＝{x|(2x＋1)(x－3)>0}＝.
∴A∩B＝.
答案　D
2．若实数a，b满足ab>0，则
①|a＋b|>|a|
②|a＋b|<|b|
③|a＋b|<|a－b|
④|a＋b|>|a－b|
这四个式子中正确的是
(　　)．
A．①②
B．①③
C．①④
D．②④
答案　C
3．如果存在实数x，使cos
α＝＋成立，那么实数x的集合是
(　　)．
A．{－1，1}
B．{x|x<0，或x＝1}
C．{x|x>0，或x＝－1}
D．{x|x≤－1，或x≥1}解析　由|cos
α|≤1，所以≤1.
又＝＋≥1.
∴＋＝1，当且仅当|x|＝1时成立，即x＝±1.
答案　A
4．函数y＝|x＋1|＋|x－2|的最小值及取得最小值时x的值分别是
(　　)．
A．1，x∈[－1，2]
B．3，0
C．3，x∈[－1，2]
D．2，x∈[1，2]
解析　运用含绝对值不等式的基本性质有|x＋1|＋|x－2|＝|x＋1|＋|2－x|≥|x＋1＋2－x|＝3.
当且仅当(x＋1)(2－x)≥0时等号成立，即取得最小值的充要条件，∴－1≤x≤2.
答案　C
二、填空题
5．已知|a＋b|＜－c(a、b、c∈R)，给出下列不等式：
①a＜－b－c；②a＞－b＋c；③a＜b－c；④|a|＜|b|－c；⑤|a|＜－|b|－c.
其中一定成立的不等式是________(注：把成立的不等式的序号都填上)．
解析　∵|a＋b|＜－c，
∴c＜a＋b＜－c，
∴a＜－b－c，a＞－b＋c，①②成立，
|a|－|b|＜|a＋b|＜－c，
∴|a|＜|b|－c，④成立．
答案　①②④
6．函数y＝|x＋2|－|x－2|的最大值是________．
解析　y＝|x＋2|－|x－2|≤|x＋2－x＋2|＝4.
答案　4
7．对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________．
解析　|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.
答案　5
8．若|x－4|＋|x＋5|>a对于x∈R均成立，则a的取值范围为__________．
解析　∵|x－4|＋|x＋5|＝|4－x|＋|x＋5|
≥|4－x＋x＋5|＝9.
∴当a<9时，不等式对x∈R均成立．
答案　(－∞，9)
三、解答题
9．已知|x＋1|<，|y－2|<，|z＋3|<，
求证：|x＋2y＋z|<ε.
证明　|x＋2y＋z|＝|x＋1＋2(y－2)＋z＋3|
≤|x＋1|＋|2(y－2)|＋|z＋3|＝|x＋1|＋2|y－2|＋|z＋3|
<＋＋＝ε.∴|x＋2y＋z|<ε.
10．已知|A－a|＜，|B－b|＜，|C－c|＜.
求证：|(A＋B＋C)－(a＋b＋c)|＜s.
证明　|(A＋B＋C)－(a＋b＋c)|＝|(A－a)＋(B－b)＋(C－c)|≤|(A－a)＋(B－b)|＋|C－c|≤|A－a|＋|B－b|＋|C－c|.
∵|A－a|＜，|B－b|＜，|C－c|＜，
∴|A－a|＋|B－b|＋|C－c|＜＋＋＝s.
11．已知f(x)＝ax2＋bx＋c，且当|x|≤1时，|f(x)|≤1，
求证：
(1)|c|≤1；
(2)|b|≤1.
证明　(1)由|f(0)|≤1，得|c|≤1.
(2)由|f(1)|≤1，得|a＋b＋c|≤1，
由|f(－1)|≤1，得|a－b＋c|≤1，
∴|b|＝
≤(|a＋b＋c|＋|a－b＋c|)≤1.