1.2.1 绝对值三角不等式 同步练习3（含答案）

1.2.1
绝对值三角不等式
同步练习
一、选择题
1.已知实数a，b满足ab<0，则下列不等式成立的是　(　　)
A.|a+b|>|a-b|
B.|a+b|<|a-b|
C.|a-b|<||a|-|b||
D.|a-b|<|a|+|b|
2.若关于x的不等式|x-2|+|x+3|A.(-∞，1]
B.(-∞，1)
C.(-∞，5]
D.(-∞，5)
3.不等式|x+3|+|x-1|≥a2-3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围
为　(　　)
A.[-1，4]
B.(
-∞，-1]∪[4，+∞)
C.(-∞，-2]∪[5，+∞)
D.[-2，5]
4.若不等式x2+|2x-6|≥a对于一切实数x均成立，则实数a的最大值是　(　　)
A.
7
B.
9
C.
5
D.
11
5.对于实数x，y，若|x-1|≤1，|y-2|≤1，则|x-2y+1|的最大值为　(　　)
A.5
B.4
C.
8
D.7
二、填空题
6.已知f(x)=3x+1，若当|x-1|其中能够成立的有　　　　.(填序号)
三、解答题
7.已知函数f(x)=|x-3|-2，g(x)=-|x+1|+4.若函数f(x)-g(x)≥m+1的解集为R，求m的取值范围.
8.已知函数f
(x)=x2-x+13，|x-a|<1.
求证:|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).
9.(能力挑战题)两个加油站A，B位于某城市东akm和bkm处(a答案解析
1.【解析】选B.因为ab<0，所以|a-b|=|a|+|b|，
又|a+b|<|a|+|b|，所以|a+b|<|a|+|b|=|a-b|.
答案:≥
2.【解析】选C.因为|x-2|+|x+3|≥|x-2-x-3|=5，
又关于x的不等式|x-2|+|x+3|所以a≤5.
3.【解析】选A.由绝对值的几何意义易知|x+3|+|x-1|的最小值为4，所以不等式|x+3|+|x-1|≥a2-3a对任意实数x恒成立，只需a2-3a≤4，解得-1≤a≤4.
4.【解析】选C.令f(x)=x2+|2x-6|，
当x≥3时，f(x)=x2+2x-6=(x+1)2-7≥9；
当x<3时，f(x)=x2-2x+6=(x-1)2+5≥5.
综上可知，f(x)的最小值为5，故原不等式恒成立只需a≤5即可，从而a的最大值为5.
5.【解析】选A.由题意得，|x-2y+1|=|(x-1)-2(y-1)|
≤|x-1|+|2(y-2)+2|≤1+2|y-2|+2≤5，
即|x-2y+1|的最大值为5.
6.【解析】因为|f(x)-4|=|3x-3|=3|x-1|所以|x-1|<，又当|x-1|即|x-1|答案:a-3b≥0
答案:④
7.【解题指南】本题关键是转化题中的条件为求f(x)-g(x)的最小值，求解时结合绝对值三角不等式.
【解析】f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6，
因为x∈R，由绝对值三角不等式得f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6=|3-x|+|x+1|-6≥
|(3-x)+(x+1)|-6=4-6=-2，
于是有m+1≤-2，得m≤-3，
即m的取值范围是(-∞，-3].
8.【证明】|f(x)-f(a)|=|x2-x+13-(a2-a+13)|
=|x2-a2-x+a|=|(x-a)(x+a-1)|
=|x-a||x+a-1|<|x+a-1|=|x-a+2a-1|
≤|x-a|+|2a-1|<1+|2a|+1=2(|a|+1)，
所以|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).
【拓展提升】含绝对值不等式的证明
证明含有绝对值的不等式，其思路主要有两条:
(1)恰当地运用|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|进行放缩，并注意不等号的传递性及等号成立的条件.
(2)把含绝对值的不等式等价转化为不含绝对值的不等式，再利用比较法、综合法及分析法等进行证明，其中去掉绝对值符号的常用方法是平方法或分类讨论法.
9.【解析】设卡车行驶在距城市xkm处，它到两加油站的路程之和为ykm.
所以y=|x-a|+|x-b|.
因为|x-a|+|x-b|=|x-a|+|b-x|
≥|(x-a)+(b-x)|=|b-a|=b-a.
当且仅当(x-a)(b-x)≥0即a≤x≤b时取等号.
所以该卡车在两加油站之间时，它到两加油站的路程之和是一样的.