2.1 比较法 同步练习2（含答案）

2.1
比较法
同步练习
一、选择题
1．若a，b为不等的正数，则(abk＋akb)－(ak＋1＋bk＋1)
(k∈N
)的符号
(　　)．
A．恒正
B．恒负
C．与k的奇偶性有关
D．与a，b大小无关
解析　(abk＋akb)－ak＋1－bk＋1
＝bk(a－b)＋ak(b－a)＝(a－b)(bk－ak)
∵a>0，
b>0，若a>b，则ak>bk，∴(a－b)(bk－ak)<0；
若a答案　B
2．设a、b、c、d、m、n∈R＋，P＝＋，Q＝·，则有
(　　)．
A．P≥Q
B．P≤Q
C．P>Q
D．P解析　采用先平方后作差法
∵P2－Q2＝(ab＋cd＋2)－
＝2－ad－bc＝－2≤0，
∴P2≤Q2，又∵P>0，Q>0，
∴P≤Q.
答案　B
3．对x1>x2>0，0系为
(　　)．
A．x1x2>y1y2
B．x1x2＝y1y2
C．x1x2D．不能确定，与a有关
答案　C
4．已知a，b都是实数，那么“a2>b2”是“a>b”的
(　　)．
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析　当a2>b2时，a2－b2>0，即(a＋b)(a－b)>0，当a，b同为正时，有a>b；当a、b同为负时，ab2时，不一定有a>b成立．反之，当a>b时，也不一定有a2>b2，例如1>－2，而12<(－2)2.
答案　D
二、填空题
5．若c＞a＞b＞0，比较大小：________(填“＞”
“＝”或“＜”)
解析　∵c＞a＞b＞0，∴c－b＞c－a＞0，
∴＞＞0，
又∵a＞b＞0，∴＞.
答案　＞
6．设m＝，n＝，那么它们的大小关系是m________n.
解析　＝＝
＝＝1，∴m＝n.
答案　＝
7．下列四个不等式：①a<0④0解析　< <0 b－a与ab异号，①②④均能使b－a与ab异号．
答案　①②④
8．设a>5，则－与－的大小关系是_________________．
解析　因为a>5，只需比较＋与2的大小，两数平方，即比较与a－4的大小，再平方，只需比较a2－8a＋15与a2－8a＋16的大小．
答案　－<－
三、解答题
9．设a、b∈(0，＋∞)，且a≠b，比较＋与a＋b的大小．
解　＋－(a＋b)＝(a3－b3)
＝(a＋b)(a－b)2(a2＋ab＋b2)，
∵a、b∈(0，＋∞)，且a≠b，
∴a＋b，(a－b)2，(a2＋ab＋b2)，均为正数，
∴＋－(a＋b)>0，∴＋>a＋b.
10．设m∈R，a>b>1，f(x)＝，比较f(a)与f(b)的大小．
解　f(a)－f(b)＝－＝.
∵a>b>1，∴b－a<0，a－1>0，b－1>0，
∴<0.
当m>0时，<0，f(a)当m<0时，>0，f(a)>f(b)；
当m＝0时，＝0，f(a)＝f(b)．
11．设a，b是非负实数，求证：a3＋b3≥(a2＋b2)．
证明　由a，b是非负实数，作差得
a3＋b3－(a2＋b2)＝a2(－)＋b2(－)
＝(－)[()5－()5]．
当a≥b时，≥，从而()5≥()5，
得(－)[()5－()5]≥0；
当a得(－)[()5－()5]>0.
所以a3＋b3≥(a2＋b2)．