2.2 综合法与分析法 同步练习1（含答案）

2.2
综合法与分析法
同步练习
一、选择题
1．若a>0，b>0，下列不等式中不成立的是
(　　)．
A.＋≥2
B．a2＋b2≥2ab
C.＋≥a＋b
D.＋≥2＋
解析　由∈(0，＋∞)且∈(0，＋∞)，得＋≥2，所以A成立，B显然成立，不等式C可变形为a3＋b3≥a2b＋ab2 (a2－b2)(a－b)≥0.
答案　D
2．已知x>y>z，且x＋y＋z＝0，下列不等式中成立的是
(　　)．
A．xy>yz
B．xz>yz
C．xy>xz
D．x|y|>z|y|
解析　由已知3x>x＋y＋z＝0，
3z0，z<0.
由　得：xy>xz.
答案　C
3．下面对命题“函数f(x)＝x＋是奇函数”的证明不是综合法的是
(　　)．
A． x∈R且x≠0有f(－x)＝(－x)＋＝－＝－f(x)，∴f(x)是奇函数
B． x∈R且x≠0有f(x)＋f(－x)＝x＋＋(－x)＋＝0，∴f(x)＝－f(－x)，
∴f(x)是奇函数
C． x∈R且x≠0，∵f(x)≠0，∴＝＝－1，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数
D．取x＝－1，f(－1)＝－1＋＝－2，又f(1)＝1＋＝2
解析　选项A、B、C都是从奇函数的定义出发，证明f(－x)＝－f(x)成立，从而得到f(x)是奇函数，而选项D的证明方法是错误的．
答案　D
4．若a>b>1，P＝，Q＝(lg
a＋lg
b)，R＝lg，则
(　　)．
A．RB．PC．QD．P解析　∵lg
a>lg
b>0，
∴(lg
a＋lg
b)>，即Q>P.
又∵a>b>1，∴>，
∴lg>lg＝(lg
a＋lg
b)．
即R>Q，∴P答案　B
二、填空题
5．若直线ax＋2by－2＝0(a＞0，b＞0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则＋的最小值为________．
解析　直线始终平分圆的周长，所以直线过圆心(2，1)，即a＋b＝1，所以＋＝3＋＋≥3＋2.
答案　3＋2
6．已知a，b，c∈R＋，则＋＋与＋＋的大小关系是________．
解析　因为＋≥2，＋≥2，＋≥2，三式相加可得＋＋≥＋＋.
答案　＋＋≥＋＋
7．设a、b、c∈R，且a、b、c不全相等，则不等式a3＋b3＋c3≥3abc成立的一
个充要条件是______________．
解析　a3＋b3＋c3－3abc
＝(a＋b＋c)(a2＋b2＋c2－ab－ac－bc)
＝(a＋b＋c)[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]，
而a、b、c不全相等 (a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2>0，
∴a3＋b3＋c3≥3abc a＋b＋c≥0.
答案　a＋b＋c≥0
8．已知a>b>c，则与的大小关系为______________．
解析　∵a－b>0，b－c>0，
∴≤＝.
∴≤.
答案　≤
三、解答题
9．已知|a|<1，|b|<1，求证：<1.
证明　要证<1，只需证|a＋b|<|1＋ab|，
也只需证a2＋2ab＋b2<1＋2ab＋a2b2，
即证(1－a2)－b2(1－a2)>0，
也就是(1－a2)
(1－b2)>0，
∵|a|<1，|b|<1，∴最后一个不等式显然成立．
因此原不等式成立．
10．(1)已知a，b，c∈R，且a＋b＋c＝1，求证：a2＋b2＋c2≥；
(2)a，b，c为互不相等的正数，且abc＝1，
求证：＋＋>＋＋.
证明　(1)∵a＋b＋c＝1，∴(a＋b＋c)2＝1，
由a2＋b2≥2ab得
a2＋b2＋c2＝(a2＋b2＋b2＋c2＋c2＋a2＋a2＋b2＋c2)
≥(a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac)
＝(a＋b＋c)2＝.
(2)法一　由左式推证右式
∵abc＝1，且a，b，c为互不相等的正数，
∴＋＋＝bc＋ac＋ab＝＋＋
>＋＋(基本不等式)
＝＋＋.
∴＋＋>＋＋.
法二　由右式推证左式
∵a，b，c为互不相等的正数，且abc＝1，
∴＋＋＝
＋
＋
<＋＋(基本不等式)＝＋＋.
11．已知{an}是首项为2，公比为的等比数列，Sn为它的前n项和．
(1)用Sn表示Sn＋1；
(2)是否存在自然数c和k，使得＞2成立．
解　(1)∵Sn＝4，
∴Sn＋1＝4＝Sn＋2，(n∈N＋)．
(2)要使＞2，
只要＜0，
因为Sk＝4＜4，
所以Sk－＝2－Sk＞0(k∈N＋)，
故只要Sk－2＜c＜Sk(k∈N＋)，
①
因为Sk＋1＞Sk(k∈N＋)
所以Sk－2≥S1－2＝1.
又Sk＜4，故要使①成立，c只能取2或3.
当c＝2时，因为S1＝2，所以当k＝1时，c＜Sk不成立，从而①不成立．
当k≥2时，因为S2－2＝＞c，由Sk＜Sk＋1(k∈N＋)得
Sk－2＜Sk＋1－2.
故当k≥2时，Sk－2＞c，从而①不成立．
当c＝3时，因为S1＝2，S2＝3，
所以当k＝1，k＝2时，c＜Sk不成立，从而①不成立．
因为S3－2＝＞c，又Sk－2＜Sk＋1－2，
所以当k≥3时，Sk－2＞c，从而①不成立．
综上所述，不存在自然数c，k，使＞2成立．