2.3 反证法与放缩法 教案

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2.3
反证法与放缩法
教案
教学目标
1、理解掌握反证法放缩法的基本原理和思路
2、会用上述方法证明一些简单的不等式
教学重、难点
重点：掌握反证法放缩法的基本原理和思路
难点：用反证法放缩法证明一些简单的不等式
教学过程
一、思考导入
前面我们曾经研究过不等式的基本性质.那么怎样证明性质⑥“如果a>b>0，那么”？
老师引导学生完成证明过程：
假设不成立，那么必有，或.
如果，那么a=b；如果，那么由性质⑤有ab>0矛盾.于是，成立.
像这样先假设要证明的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到矛盾，说明假设不正确，从而间接说明原命题成立的方法，叫做反证法.
二、典例分析：
例1、已知且试证：中至少有一个小于2.
例2、已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求证：a>0，b>0，c>0.
在证明不等式过程中，有时为了证明的需要，可对有关式子适当进行放大或缩小实现证明，这种方法称为放缩法.21世纪教育网版权所有
例3、已知a，b，c，d R+，求证
用放缩放证明不等式，关键是放、缩适当.例如上述过程中，如果把和式的4项分母依次缩为a，b，c，d，，那么和放大为4，显然太大了.21cnjy.com
例4、已知，求证
上面介绍了不等式证明的几种常用方法，除以上方法外，还有其他一些方法，如在第四讲中要介绍的数学归纳法等.应该注意，不等式证明与数学上所有其他证明问题一样，没有一种适用于所有问题的统一方法，应该对具体问题的特点作具体分析，选择合适的方法.
三、课堂小结
1、反证法证题的步骤：
若A成立，求证B成立.
共分三步：(1)提出与结论相反的假设；如负数的反面是非负数，正数的反面是非正数即0和负数(2)从假设出发，经过推理，得出矛盾；(必须由假设出发进行推理否则不是反证法或证错)(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.21教育网
矛盾：与定义、公理、定理、公式、性质等一切已有的结论矛盾甚至自相矛盾.
2、放缩法的意义：放缩法发理论依据是不等式的传递性：若，则
放缩法的操作：若求证，先证再证恰有
需注意：(1)只有同方向才可以放缩，反方向不可
(2)不能放(缩)得太大(小)，否则不会有最后的
四、当堂达标
用放缩法证明：.
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