2.3 反证法与放缩法 同步练习1（含答案）

2.3
反证法与放缩法
同步练习
1．用反证法证明“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个偶数”时，下列假设中正确的是(　　)
A．假设a，b，c都是偶数
B．假设a，b，c都不是偶数
C．假设a，b，c至多有一个偶数
D．假设a，b，c至多有两个偶数
答案：B
2．在求证“数列，，不可能为等比数列”时最好采用(　)
A．分析法　
B．综合法
C．反证法
D．直接法
答案：C
3．设M＝＋＋＋…＋，则(　　)
A．M＝1
B．M<1
C．M>1
D．M与1大小关系不定
答案：B
4．a，b，c，d∈R，a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，则abcd的最小值等于(　　)
A.
B．－
C.
D．－
答案：B
5．A＝1＋＋＋…＋与(n∈N
)的大小关系为________．
解析：n∈N
，当n＝1时，A＝＝1；
当n>1时，A＝1＋＋＋…＋>1＋＋＋…＋＝1＋(－1)＋(－)＋…＋(－)＝.
综上可知，A≥.
答案：A≥
6．设a，b，c∈R＋，则三个数a＋，b＋，c＋(　　)
A．都大于2
B．都小于2
C．至少有一个不大于2
D．至少有一个不小于2
答案：D
7．若正数a，b满足ab≥1＋a＋b，则a＋b的最小值为________．
答案：2＋2
8．A＝1＋＋＋…＋与2的大小关系是________．
解析：A＝1＋＋＋…＋<1＋＋＋…＋＝1＋＋＋…＋＝2－<2.
答案：A＜2
9．已知x，y>0，且x＋y>2.
证明：，中至少有一个小于2.
证明：(反证法)设≥2，≥2，则
由①②式可得2＋x＋y≥2(x＋y)，
即x＋y≤2与题设矛盾．
∴，中至少有一个小于2.
10．若数列{xn}的通项公式为xn＝，求证：x1·x3·x5·…·x2n－1<.
证明：∵＝＝，
x1·x3·x5·…·x2n－1＝××…×<＝.
∴x1·x3·x5·…·x2n－1<
.
11．数列{an}的通项公式an＝4n(n＋1)．
(1)记＝＋，求证：对一切正整数n，有＋＋＋…＋<.
(2)求证：对一切正整数n，有＋＋＋…＋<.
答案：(1)证明：方法一　＝＝－，
所以＝＋＝.
于是＋＋＋…＋＝＋－＋…＋＋＝1＋－－<.
方法二　＝＋＝＋＝＝.
于是＋＋＋…＋＝＋－＋…＋＋－＝1＋－－<.
(2)证明：所证明的不等式为
＋＋＋…＋<.
方法一　首先证明<－(n≥2)．
∵< < 7n2＋7n<8n2＋8n－2 n2＋n－2>0 (n－1)(n＋2)>0.
∴当n≥2时，
＋＋…＋<＋＋…＋<＋×＝.
当n＝1时，<.
综上所述，对一切正整数n，有
＋＋＋…＋<.
方法二　<＝＝.
当n≥3时，＋＋…＋<＋＋＋＋…＋＋<＋＋<＋＋＝.
当n＝1时，<；
当n＝2时，＋<＋＝.
综上所述，对一切正整数n，有
＋＋＋…＋<.
12．若数列{an}的通项公式为an＝n2，n∈N
，求证：对一切正整数n，有＋＋…＋<.
证明：①当n＝1时，＝1<，∴原不等式成立．
②当n＝2时，
＋＝1＋<，∴原不等式成立．
③当n≥3时，
∵n2>(n－1)·(n＋1)，∴<.
＋＋…＋＝＋＋…＋＋<1＋＋＋…＋＋＝1＋＋＋＋…＋＋＝1＋1－＋－＋－＋…＋－－＝1＋＝＋－－<.
∴当n≥3时，∴原不等式成立．
综上，对一切正整数n，有＋＋…＋<.
13．正项数列{an}的通项公式an＝2n，令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn.求证：对于任意的n∈N
，都有Tn<.
证明：由于an＝2n，bn＝.
则bn＝＝.
Tn＝1－＋－＋－＋…＋－＋－＝1＋－－<＝.
14．设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1(n∈N
)，且a1，a2＋5，a3成等差数列．
(1)求a1的值；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)求证：对一切正整数n，有＋＋…＋<.
解析：(1)2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，2Sn＋1＝an＋2－2n＋2＋1
相减得：an＋2＝3an＋1＋2n＋1
而2S1＝a2－3 a2＝2a1＋3，则a3＝3a2＋4＝6a1＋13
故a1，a2＋5，a3成等差数列
a1＋a3＝2(a2＋5) a1＝1.
(2)a1＝1，a2＝5，得an＋1＝3an＋2n对 n∈N
均成立．
an＋1＝3an＋2n an＋1＋2n＋1＝3(an＋2n)得
an＋2n＝3(an－1＋2n－1)＝32(an－2＋2n－2)＝…＝3n－1(a1＋2) an＝3n－2n.
(3)当n＝1时，＝1<；
当n≥2时，
n≥2>2 3n>2×2n an>2n <.
＋＋…＋<1＋＋＋…＋＝1＋－<，
由上式得：对一切正整数n，有
＋＋…＋<.
15．设an是函数f(x)＝x3＋n2x－1(n∈N
)的零点，且0证明：先证明左边的不等式：
因为a＋n2an－1＝0.
由0所以an>.所以
a1＋a2＋…＋an>＋＋…＋.
以下证明＋＋…＋≥.①
因为an>≥＝－，
所以
a1＋a2＋…＋an>＋＋＋…＋＝1－＝.
不等式①对应任何n∈N
都成立．所以
a1＋a2＋…＋an>.
再证明右边的不等式：
当n＝1时，f(x)＝x3＋x－1.
由于f＝3＋－1＝－<0，
f＝3＋－1＝>0，
所以由(1)知0因为当n≥2时，<＝－，
所以当n≥2时，
a1＋a2＋a3＋a4＋…＋an<＋＋＋＋…＋＝1＋－<.
所以当n∈N
时，都有a1＋a2＋…＋an<.
综上所述，