2.3 反证法与放缩法 同步练习2（含答案）

2.3
反证法与放缩法
同步练习
一、选择题
1．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用
(　　)．
①结论相反的判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论．
A．①②
B．①②④
C．①②③
D．②③
解析　由反证法的推理原理可知，反证法必须把结论的相反判断作为条件应用于推理，同时还可应用原条件以及公理、定理、定义等．
答案　C
2．已知p＝a＋，q＝2－a2＋4a－2
(a>2)，则
(　　)．
A．p>q
B．pC．p≥q
D．p≤q
解析　∵p＝(a－2)＋＋2，又a－2>0，
∴p≥2＋2＝4，而q＝2－(a－2)2＋2，
根据a>2，可得q<22＝4，∴p>q.
答案　A
3．不等式a>b与>能同时成立的充要条件是
(　　)．
A．a>b>0
B．a>0>b
C.<<0
D.>>0
解析　充分性易证．下面用反证法说明必要性．
若a，b同号且a>b，则有<，
此时不能保证a>b与>同时成立，
∴a，b只能异号，即a>0>b.
答案　B
4．若f(x)＝x，a，b都为正数，A＝f，G＝f()，H＝f，则(　　)．
A．A≤G≤H
B．A≤H≤G
C．G≤H≤A
D．H≤G≤A
解析　∵a，b为正数，∴≥＝≥＝，
又∵f(x)＝x为单调减函数，
∴f≤f()≤f，∴A≤G≤H.
答案　A
二、填空题
5．已知|a|≠|b|，m＝，n＝，则m，n之间的大小关系是____________．
解析　m＝≤＝1，
n＝≥＝1.
答案　m≤n
6．若|a|<1，|b|<1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是________________．
解析　当(a＋b)(a－b)≥0时，
|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|<2；
当(a＋b)(a－b)<0时，
|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)－(a－b)|＝2|b|<2.
综上，|a＋b|＋|a－b|<2.
答案　|a＋b|＋|a－b|<2
7．设a＞0，b＞0，M＝，N＝＋，则M与N的大小关系是________．
解析　∵a＞0，b＞0，
∴N＝＋＞＋
＝＝M.
∴M＜N.
答案　M＜N
8．已知a，b，c，d都是正数，S＝＋＋＋，则S的取值范围是________．
答案　(1，2)
三、解答题
9．设x>0，y>0，z>0，求证：＋>x＋y＋z.
证明　∵＝
>x＋，①
＝
>z＋，②
∴由①②得：＋>x＋y＋z.
10．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．
解　(1)当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1.
又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，两式相减得an＋1＝an，
所以{an}是首项为1，公比为的等比数列，
所以an＝.
(2)反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap＋1，aq＋1，ar＋1(p＜q＜r，且p，q，r∈N
)，
则2·＝＋，所以2·2r－q＝2r－p＋1.①
又因为p＜q＜r，所以r－q，r－p∈N
.
所以①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立，所以假设不成立，原命题得证．
11．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝nan－2n(n－1)．
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)设数列的前n项和为Tn，求证：≤Tn＜.
(1)解　由Sn＝nan－2n(n－1)得
an＋1＝Sn＋1－Sn＝(n＋1)an＋1－nan－4n，
即an＋1－an＝4.
∴数列{an}是以1为首项，4为公差的等差数列，
∴an＝4n－3.
(2)证明　Tn＝＋＋…＋
＝＋＋＋…＋
＝
＝＜.
又易知Tn单调递增，故Tn≥T1＝，
得≤Tn＜.