3.1 二维形式的柯西不等式 教案

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3.1
二维形式的柯西不等式
教案
教学目标
认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义，并会证明二维柯西不等式及向量形式.
教学重、难点
重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式.
难点：理解几何意义.
教学过程
一、复习准备：
1.提问：二元均值不等式有哪几种形式？
答案：及几种变式.
2.练习：已知a、b、c、d为实数，求证
证法：(比较法)=….=
二、讲授新课：
1.柯西不等式：
①提出定理1：若a、b、c、d为实数，则.
→
即二维形式的柯西不等式
→
什么时候取等号？
②讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？
证法二：(综合法)
.
(要点：展开→配方)
证法三：(向量法)设向量，，则，.
∵
，且，则.∴…..
证法四：(函数法)设，则
≥0恒成立.
∴
≤0，即…..
③讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？
变式：
或
或.
④提出定理2：设是两个向量，则.
即柯西不等式的向量形式(由向量法提出
)
→
讨论：上面时候等号成立？(是零向量，或者共线)
⑤练习：已知a、b、c、d为实数，求证.
证法：(分析法)平方
→
应用柯西不等式
→
讨论：其几何意义？(构造三角形)
2.教学三角不等式：
①
出示定理3：设，则.
分析其几何意义
→
如何利用柯西不等式证明
→
变式：若，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？
三、应用举例：
例1：已知a，b为实数，求证
例2：求函数的最大值。
课堂练习：1.证明:
(x2+y4)(a4+b2)≥(a2x+by2)2
2.求函数的最大值.
例3.设a，b是正实数，a+b=1，求证
四、巩固练习：
1.练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式
2.已知x+2y=1，
求x2+y2的最小值.
五、课堂小结：
1.二维柯西不等式的代数形式、向量形式；
2.三角不等式的两种形式(两点、三点)
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