3.1 二维形式的柯西不等式 同步练习1（含答案）

3.1
二维形式的柯西不等式
同步练习
一、选择题
1．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，则a－b的取值范围是
(　)．
A．[－2，2]
B．[－2，2]
C．[－，]
D．[－，]
解析　∵(a2＋b2)[12＋(－1)2]≥(a－b)2，
∴|a－b|≤＝2，∴a－b∈[－2，2]．
答案　A
2．已知4x2＋5y2＝1，则2x＋y的最大值是
(　)．
A.
B．1
C．3
D．9
解析　∵2x＋y＝2x·1＋y·1
≤
·＝·＝.
∴2x＋y的最大值为.
答案　A
3．已知x，y∈R＋，且xy＝1，则的最小值为
(　)．
A．4
B．2
C．1
D.
解析　≥2＝4，故选A.
答案　A
4．设a、b∈R＋，且a≠b，P＝＋，Q＝a＋b，则
(　)．
A．P>Q
B．P≥Q
C．PD．P≤Q
解析　∵(a＋b)
＝[()2＋()2]
≥2＝(a＋b)2
∵a>0，b>0，∴a＋b>0.∴≥＝(a＋b)．
又∵a≠b，而等号成立的条件是·＝·，
即a＝b，∴>a＋b.即P>Q.
答案　A
二、填空题
5．函数y＝＋2的最大值是________．
解析　根据柯西不等式，知y＝1×＋2×≤×＝.
答案　
6．设a，b，c，d，m，n都是正实数，P＝＋，Q＝·
，则P与Q的大小________．
解析　由柯西不等式，得
P＝＋≤×＝·
＝Q.
答案　P≤Q
7．函数y＝2cos
x＋3的最大值为________．
解析　y＝2cos
x＋3＝2cos
x＋3≤＝.
当且仅当＝，即tan
x＝±时，函数有最大值.
答案　
8．函数y＝2＋的最大值为________．
解析　y＝2＋＝＋1·
≤·＝·＝3.
当且仅当·1＝·取等号．
即2－2x＝4x＋2，∴x＝0时取等号．
答案　3
三、解答题
9．若2x＋3y＝1，求4x2＋9y2的最小值，并求出最小值点．
解　由柯西不等式(4x2＋9y2)(12＋12)≥(2x＋3y)2＝1，
∴4x2＋9y2≥.
当且仅当2x·1＝3y·1，即2x＝3y时取等号．
由　得
∴4x2＋9y2的最小值为，最小值点为.
10．设a，b∈R＋，若a＋b＝2，求＋的最小值．
解　∵(a＋b)
＝[()2＋()2]
≥2＝(1＋1)2＝4.
∴2≥4，即≥2.
当且仅当·＝·，即a＝b时取等号，
∴当a＝b＝1时，＋的最小值为2.
11．已知a2＋b2＝1，a，b∈R，求证：|acos
θ＋bsin
θ|≤1.
证明　∵(acos
θ＋bsin
θ)2≤(a2＋b2)(cos2θ＋sin2θ)
＝1·1＝1，∴|acos
θ＋bsin
θ|≤1.