3.1 二维形式的柯西不等式 同步练习2（含答案）

3.1
二维形式的柯西不等式
同步练习
1．已知a，b∈R，a2＋b2＝4，则3a＋2b的最大值为(　　)
A．4　
B．2　
C．8　
D．9
答案：B
2．设x，y，m，n>0，且＋＝1，则u＝x＋y的最小值是(　　)
A．(＋)2
B.＋
C．m＋n
D．(m＋n)2
答案：A
3．已知a，b>0，且a＋b＝1，则＋的最小值为________．
．解析：∵＋＝(a＋b)＝[()2＋()2]≥2＝2＝＋.
答案：＋
4．若3x＋4y＝2，求x2＋y2的最小值及最小值点．
解析：由柯西不等式有(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，得25
(x2＋y2)≥4，
∴x2＋y2≥，当且仅当＝时等号成立，为求最小值点，需解
∴
因此，当x＝，y＝时，x2＋y2的最小值为，最小值点为.
5．若直线＋＝1通过点M(cos
α，sin
α)，则(　　)
A．a2＋b2≤1
B．a2＋b2≥1
C.＋≤1
D.＋≥1
答案：D
6．函数y＝2＋的最大值为______．
答案：3
7．已知2x2＋y2＝1，则2x＋y的最大值是______．
答案：　
8．已知x，y∈R，且xy＝1，则的最小值为(　　)
A．4
B．2
C．1
D.
答案：A
9．已知a＋b＝1，求证：a2＋b2＝1.
证明：由柯西不等式，得(a＋b)2≤[a2＋(1－a2)][b2＋(1－b2)]＝1.
当且仅当＝时，上式取等号，
∴ab＝·，a2b2＝(1－a2)(1－b2)．
于是a2＋b2＝1.
10．设a＋b＝，求证：a8＋b8≥.
证明：a8＋b8＝(12＋12)[(a4)2＋(b4)2]
≥(1×a4＋1×b4)2
＝(a4＋b4)2＝2
＝×{(12＋12)[(a2)2＋(b2)2]}2
≥(1×a2＋1×b2)2＝(a2＋b2)2
＝2
≥×(a＋b)2＝.
∴原不等式成立．
11．在半径为R的圆内，求周长最大的内接长方形．
解析：如图，设内接长方形ABCD的长为x，则宽为，于是ABCD的周长l＝2(x＋)＝2(1·x＋1·)，
由柯西不等式有
l≤2[x2＋()2](12＋12)＝2·2R＝4R，等号成立 ＝ x＝R，此时宽为＝R，即长方形ABCD为正方形，故周长最大的内接长方形为正方形，其周长为4R.