3.3 排序不等式 同步练习（含答案）

3.3 排序不等式 同步练习
1．已知a，b，c∈R＋，则a3＋b3＋c3与a2b＋b2c＋c2a的大小关系是(　　)
A．a3＋b3＋c3>a2b＋b2c＋c2a
B．a3＋b3＋c3≥a2b＋b2c＋c2a
C．a3＋b3＋c3D．a3＋b3＋c3≤a2b＋b2c＋c2a
答案：B
2．车间里有5台机床同时出了故障，从第1台到第5台的修复时间依次为4 min，8 min，6 min，10 min，5 min，每台机床停产1 min损失5元，经合理安排损失最少为(　　)21cnjy.com
A．420元 B．400元
C．450元 D．570元
答案：A
3．某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件、5件及2件，现选择商店中单价为3元、2元和1元的礼品，则最少和最多花的钱数为(　　)21·cn·jy·com
A．19元，24元 B．20元，19元
C．19元， 25元 D．25元，27元
答案：C
4．已知a，b，c为正数，求证：≥abc.
分析：所要证的不等式中a，b，c的“地位”是对称的，因此可以先设出a，b，c的大小．
证明：设a≥b≥c，则≤≤，bc≤ca≤ab，
由排序原理得＋＋≥＋＋，
即≥a＋b＋c.
因为a，b，c为正数，
所以abc＞0，a＋b＋c＞0.
于是≥abc.
5．已知a，b，c≥0，且a2＋b2＋c2＝3，则a＋b＋c的最大值是______．
答案：3
6．设a，b，c∈R＋，求证：a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab.
证明：不妨设a≥b≥c>0，则a4≥b4≥c4，
运用排序不等式有：
a5＋b5＋c5＝a×a4＋b×b4＋c×c4≥ac4＋ba4＋cb4，
又a3≥b3≥c3>0，
且ab≥ac≥bc>0，
所以a4b＋b4c＋c4a＝a3ab＋b3bc＋c3ca≥a3bc＋b3ac＋c3ab，
即a5＋b5＋c5≥a3bc＋b3ac＋c3ab.
7．已知a，b，c为正数，a≥b≥c，求证：
(1)≥≥；
(2)＋＋≥＋＋.
证明：(1)∵a≥b＞0，∴≤，
又∵c＞0，∴＞0，∴≥，
同理∵b≥c＞0，∴≤，
∵a＞0，∴＞0，∴≥，
∴≥≥；
(2)由(1)≥≥，于是由排序原理得
＋＋≥＋＋＝＋＋≥＋＋＝
＋＋.
8．已知a，b，c为正数，且两两不相等，求证：2(a3＋b3＋c3)＞a2(b＋c)＋b2(a＋c)＋c2(a＋b)．21教育网
证明：不妨设a＞b＞c，于是a2＞b2＞c2，
且b＋c＜a＋c＜a＋b，
∴＜
·，
∴a2(b＋c)＋b2(a＋c)＋c2(a＋b)＜
，①
又∵a＞b＞c，a2＞b2＞c2，
∴＞·，
∴2(a3＋b3＋c3)＞，②
由①②得
2(a3＋b3＋c3)＞a2(b＋c)＋b2(a＋c)＋c2(a＋b)．
9．设a，b，c为正数，求证：＋＋≥.
证明：不妨设a≥b≥c(因为所证不等式关于a，b，c对称)
于是a＋b≥c＋a≥c＋b，所以得
a≥b≥c，≥≥.
由排序原理：顺序和≥乱序和，得
＋＋≥＋＋，
＋＋≥＋＋，
将上面两个同向不等式相加，再除以2，即得
＋＋≥.
10．设a，b，c为正数，求证：2≥＋＋.
证明：由对称性，可知不妨设a≥b≥c>0，
于是a＋b≥a＋c≥b＋c，a2≥b2≥c2，≥≥，
由排序原理，可知＋＋≥＋＋，
＋＋≥＋＋，
将上面两个同向不等式相加，可得
2≥＋＋.
11．已知n∈N，求证：(1＋1)1＋…1＋> .
证明：令A＝(1＋1)…＝×××…×，
B＝×××…×，
C＝×××…×.
由于>>，>>，>>，…，>>>0，
∴A>B>C>0，
∴A3>ABC＝3n＋1，
∴A>，
∴原不等式成立．
12．设x＞0，求证：1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.
证明：(1)x≥1时，1≤x≤x2≤…≤xn，
由排序原理得
1×1＋x·x＋x2·x2＋…＋xn·xn≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1，
即1＋x2＋x4＋…＋x2n≥(n＋1)xn，①
又因为x，x2，…，xn， 1为序列1，x，x2，…，xn的一个排列，
∴1·x＋x·x2＋…＋xn－1xn＋xn·1≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1，21世纪教育网版权所有
∴x＋x3＋…＋x2n－1＋xn≥(n＋1)xn，②
①＋②得1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.③
(2)当0＜x＜1时，1＞x≥x2≥…≥xn，①②仍成立，∴③也成立．