4.1 数学归纳法 同步练习1（含答案）

4.1 数学归纳法 同步练习
一、选择题
1．用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋＜n(n＞1)．在验证n＝2时成立，左式是 (　　)．
A．1
B．1＋
C．1＋＋
D．1＋＋＋
答案　C
2．用数学归纳法证明等式：1＋2＋3＋…＋n2＝ (n∈N*)，则从n＝k到n＝k＋1时，左边应添加的项为 (　)．
A．k2＋1
B．(k＋1)2
C.
D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2
答案　D
3．某个与正整数n有关的命题，如果当n＝k (k∈N*且k≥1)时该命题成立，则一定可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知n＝5时该命题不成立，那么应有 (　　)．
A．当n＝4时该命题成立 B．当n＝6时该命题成立
C．当n＝4时该命题不成立 D．当n＝6时该命题不成立
答案　C
4．已知f(x)是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k，若f(k)≥k2成立，则f(k＋1)≥(k＋1)2成立，下列命题成立的是 (　)．
A．若f(3)≥9成立，则对于任意的k≥1，均有f(k)≥k2成立
B．若f(4)≥16成立，则对于任意的k≥4，均有f(k)C．若f(7)≥49成立，则对于任意的k<7，均有f(k)D．若f(4)＝16成立，则对于任意的k≥4，均有f(k)≥k2成立
答案　D
二、填空题
5．用数学归纳法证明：“1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2，n∈N＋”，当n＝1时，左端为________．21世纪教育网版权所有
解析　n＝1时，左端＝1×4＝4.
答案　4
6．用数学归纳法证明：“(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·…·3·…·(2n－1)”，从“k到k＋1”左端需增乘的代数式为____________．21教育网
答案　2(2k＋1)
7．观察下列等式
1＝1，
3＋5＝8，
7＋9＋11＝27，
13＋15＋17＋19＝64，
……
请猜想第n个等式是________________________．
答案　(n2－n＋1)＋(n2－n＋3)＋…＋[n2－n＋(2n－1)]＝n3
三、解答题
8．求证：＋＋…＋>(n≥2，n∈N*)．
证明　(1)当n＝2时，左边＝＋＋＋>，不等式成立．
(2)假设n＝k (k≥2，k∈N*)时命题成立，即＋＋…＋>，则当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋＋＋
＝＋＋…＋
＋
>＋
>＋＝，
所以当n＝k＋1时不等式也成立．
由(1)(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N*均成立．
9．求证：＋＋…＋＝＋＋…＋.
证明　(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝，等式成立．
(2)假设当n＝k时，等式成立，即
＋＋…＋＝＋＋…＋.
则当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋
＝＋＋…＋＋
＝＋＋…＋＋＋
＝＋＋…＋＋＋
＝＋＋…＋
＋，
即当n＝k＋1时，等式成立．
根据(1)(2)可知，对一切n∈N*，等式成立．
10．是否存在常数a、b、c，使得等式1×22＋2×32＋…＋n·(n＋1)2＝(an2＋bn＋c)对一切正整数n都成立？
解　假设存在a、b、c使等式成立，令n＝1，2，3，得
解之得a＝3，b＝11，c＝10，故对n＝1，2，3等式，1×22＋2×32＋…＋n (n＋1)2＝(3n2＋11n＋10)成立．用数学归纳法证明：①当n＝1时等式成立．21cnjy.com
②假设n＝k(k∈N*，k≥1)时等式成立，即1×22＋2×32＋…＋k(k＋1)2＝(3k2＋11k＋10)成立．21·cn·jy·com
当n＝k＋1时，左边＝[1×22＋2×32＋…＋k(k＋1)2]＋(k＋1)·(k＋2)2
＝k(k＋1)(3k2＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2
＝(k＋1)(k＋2)[k(3k＋5)＋12(k＋2)]
＝(k＋1)·[(k＋1)＋1]·(3k2＋17k＋24)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]·[3(k＋1)2＋11(k＋1)＋10]，www.21-cn-jy.com
∴n＝k＋1时等式也成立．由①②可知，对n∈N*等式都成立，所以存在a＝3，b＝11，c＝10，题设等式对一切n∈N*都成立．