4.1 数学归纳法 同步练习2（含答案）

4.1 数学归纳法 同步练习
一、选择题
1．用数学归纳法证明1＋r＋r2＋…＋rn＝(n∈N，r≠1)，在验证n＝0时，左端计算所得项为 (　　)．
A．1 B．r
C．1＋r D．1＋r＋r2
答案　A
2．n条共面直线任何两条不平行，任何三条不共点，设其交点个数为f(n)，则f(n＋1)－f(n)等于 (　　)．
A．n B．n＋1
C.n(n－1) D.n(n＋1)
答案　A
3．设f(n)＝＋＋＋＋…＋ (n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于
(　　)．
A. B.
C.＋ D.＋－
答案　D
4．在数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证 (　　)．
A．n＝1成立 B．n＝2成立
C．n＝3成立 D．n＝4成立
答案　C
5．用数学归纳法证明“A．是正确的
B．归纳假设写法不正确
C．从k到k＋1推理不严密
D．从k到k＋1推理过程未使用归纳假设
答案　D
二、填空题
6．设数列前n项和为Sn，则S1＝________，S2＝________，S3＝________，S4＝________，并由此猜想出Sn＝________.
答案　　　　　
7．已知f(n)＝1＋＋＋…＋ (n∈N*)，用数学归纳法证明不等式f(2n)>时，f(2k＋1)比f(2k)多的项数是________．21教育网
答案　2k
三、解答题
8．已知Sn＝1＋＋＋＋…＋(n>1，n∈N*)．
求证：S2n>1＋(n≥2，n∈N*)．
证明　(1)当n＝2时，S2n＝1＋＋＋＝>1＋，不等式成立.
(2)假设n＝k (k≥2)时不等式成立，即
S2k＝1＋＋＋＋…＋>1＋，
当n＝k＋1时，
S2k＋1＝1＋＋＋＋…＋＋＋…＋
>1＋＋＋…＋>1＋＋
＝1＋＋＝1＋.
故当n＝k＋1时不等式也成立，
综合(1)(2)知，对任意n∈N*，n≥2，
不等式S2n>1＋都成立.
9．平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证：这n条直线把平面分成f(n)＝个部分．
证明　(1)当n＝1时，一条直线把平面分成两部分，
而f(1)＝＝2，∴命题成立．
(2)假设当n＝k (k≥1)时命题成立，即k条直线把平面分成f(k)＝个部分．
则当n＝k＋1时，即增加一条直线l，因为任何两条直线不平行，所以l与k条直线都相交，有k个交点；又因为任何三条直线不共点，所以这k个交点不同于k条直线的交点，且k个交点也互不相同，如此k个交点把直线l分成k＋1段，每一段把它所在的平面区域分成两部分，故新增加了k＋1个平面部分．21·cn·jy·com
∵f(k＋1)＝f(k)＋k＋1＝＋k＋1
＝＝，
∴当n＝k＋1时命题成立．
由(1)(2)可知，当n∈N*时，命题成立．
10．已知函数f(x)＝x3－x2＋＋，且存在x0∈，
使f(x0)＝x0.
(1)证明：f(x)是R上的单调增函数；
(2)设x1＝0，xn＋1＝f(xn)，y1＝，yn＋1＝f(yn)，其中n＝1，2，….证明：xn(3)证明：<.
证明　(1)∵f′(x)＝3x2－2x＋
＝32＋>0，
∴f(x)是R上的单调增函数．
(2)∵0又f(x)是增函数，
∴f(x1)又x2＝f(x1)＝f(0)＝>0＝x1，
y2＝f(y1)＝f＝<＝y1.
综上，x1用数学归纳法证明如下：
①当n＝1时，上面已证明成立．
②假设当n＝k(k≥1)时，有xk当n＝k＋1时，由f(x)是单调增函数，
有f(xk)∴xk＋1由①和②对一切n＝1，2，…，都有
xn(3)＝
＝y＋xnyn＋x－(yn＋xn)＋
≤(yn＋xn)2－(yn＋xn)＋
＝2＋.
由(2)知0∴－∴<2＋＝.