4.1 数学归纳法 同步练习3（含答案）

4.1 数学归纳法 同步练习
1．用数学归纳法证明n(n＋1)(2n＋1)能被6整除时，由归纳假设推证n＝k＋1时命题成立，需将n＝k＋1时的原式表示成(　　)
A．k(k＋1)(2k＋1)＋6(k＋1)
B．6k(k＋1)(2k＋1)
C．k(k＋1)(2k＋1)＋6(k＋1)2
D．以上都不对
答案：C　
2．下列四个判断中，正确的是(　　)
A．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N*)当n＝1时恒为1
B．式子1＋k＋k2＋…＋kn－1(n∈N*)当n＝1时恒为1＋k
C．式子＋＋＋…＋(n∈N*)当n＝1时恒为1＋＋
D．设f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，则f(k＋1)＝f(k)＋＋＋
答案：C
3．如果命题P(n)对n＝k成立，那么它对n＝k＋2成立，又若P(n)对n＝2成立，则P(n)对所有(　　)21教育网
A．正整数n成立
B．正偶数n成立
C．正奇数n成立
D．大于1的自然数n成立
答案：B　
4．用数学归纳法证明：设f(n)＝1＋＋＋…＋，则n＋f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝nf(n)(n∈N*，且n≥2)第一步要证明的式子是____________．21·cn·jy·com
答案：2＋f(1)＝2f(2)
5．观察等式1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，推测第n个等式应该是____________．
答案：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
6．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f (k)＋(　　)
A. B．π C.π D．2π
答案：B
7．用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝，a≠1，n∈N*”，在验证n＝1成立时，左边计算所得项是(　　)
A．1 B．1＋a
C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3
答案：C　
8．某个命题与正整数n有关，若n＝k (k∈N*)时该命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知当n＝5时该命题不成立，那么可推得(　　)21世纪教育网版权所有
A．当n＝6时该命题不成立
B．当n＝6时该命题成立
C．当n＝4时该命题不成立
D．当n＝4时该命题成立
答案：C
9．函数f(x)由下表定义：
x
2
5
3
1
4
f(x)
1
2
3
4
5
若a0＝5，an＋1＝f(an)，n＝0，1，2，…，则a2 012＝　.
答案：5
10．用数学归纳法证明：对任何正整数n有：
＋＋＋＋…＋＝.
证明：(1)当n＝1时，左边＝，右边＝＝，故左边＝右边，等式成立．
(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即
＋＋＋＋…＋＝
那么当n＝k＋1时，利用归纳假设有：
＋＋＋＋…＋＋
＝＋
＝＋
＝
＝
＝
＝.
所以当n＝k＋1时等式也成立．
综合(1)、(2)知，对任何正整数n，等式成立．
11．观察下列等式：
(1＋1)＝2×1
(2＋1)(2＋2)＝22×1×3
(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5
…
照此规律，第n个等式可为
________________________________.
答案：(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)
12．观察下列等式：
12＝1
12－22＝－3
12－22＋32＝6
12－22＋32－42＝－10
…
照此规律，第n个等式可为
________________________________.
答案：12－22＋32－…＋(－1)n－1n2＝n(n＋1)
13．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为＝n2＋n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：21cnjy.com
三角形数　　N(n，3)＝n2＋n
正方形数　　N(n，4)＝n2
五边形数　　N(n，5)＝n2－n
六边形数　　N(n，6)＝2n2－n
　……
可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10，24)＝______.
解析：先根据给出的几个结论，推测出当k为偶数时，N(n，k)的表达式，然后再将n＝10，k＝24代入，计算N(10，24)的值．
由N(n，4)＝n2，N(n，6)＝2n2－n，…，可以推测：当k为偶数时，N(n，k)＝n2－n，于是N(n，24)＝11n2－10n，故N(10，24)＝11×102－10×10＝1000.www.21-cn-jy.com
答案：1000
14．已知数列{an}与{bn}的通项公式分别是an＝3n－1、bn＝2n，n∈N*，记Tn＝anb1＋an－1b2＋…＋a1bn，n∈N*，用数学归纳法证明：Tn＋12＝－2an＋10bn(n∈N*)．2·1·c·n·j·y
证明：(1)当n＝1时，T1＋12＝a1b1＋12＝16，－2a1＋10b1＝16，故等式成立；
(2)假设当n＝k时等式成立，即Tk＋12＝－2ak＋10bk，则当n＝k＋1时有：
Tk＋1＝ak＋1b1＋akb2＋ak－1b3＋…＋a1bk＋1
＝ak＋1b1＋2(akb1＋ak－1b2＋…＋a1bk)
＝ak＋1b1＋2Tk
＝ak＋1b1＋2(－2ak＋10bk－12)
＝2ak＋1－4(ak＋1－3)＋10bk＋1－24
＝－2ak＋1＋10bk＋1－12.
即Tk＋1＋12＝－2ak＋1＋10bk＋1，因此n＝k＋1时等式也成立．
由 (1)和(2)，可知对任意n∈N*，Tn＋12＝－2an＋10bn成立．
小结
1．学习完全归纳法与不完全归纳法，要注意他们的区别与联系：归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法，由完全归纳法得出的结论是正确的，由不完全归纳法得出的结论有可能是错误的，但是不完全归纳法是人类研究科学、探索真理、发现客观规律的一种重要手段．
2．数学中有很多涉及正整数的命题，由于正整数有无穷多个，因而不可能对所有的正整数一一加以验证．如果只对部分正整数加以验证，结论又不一定正确．数学归纳法的基本思想是先验证使结论成立的最小正整数n0，如果当n＝n0时命题成立(这是基础，是出发点)．再假设当n＝k(k≥n0，k为正整数)时命题正确，根据这个假设，如果能推出n＝k＋1时命题也成立(这是递推的依据)，那么就可以推出对于所有不小于n0的正整数n0＋1，n0＋2，…，命题都正确了．
3．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．
(1)证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．在这一步中，只需验证使命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．
(2)证明了第二步，就获得了递推的依据．第二步中，在推证之前，命题对n＝k是否成立是不清楚的，因此用“假设”两字，这一步的实质是证明命题对n＝k的正确性可以传递到n＝k＋1的情况，有了这一步，再由第一步知命题对n0成立，就可以知道命题对于n0＋1也成立，进而再由第二步可知命题对于n＝(n0＋1)＋1＝n0＋2也成立，…，这样递推下去，可以知道命题对于一切不小于n0的正整数都成立．在第二步中，n＝k命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k＋1时的情况则有待利用命题的已知条件、公理、定理、定义加以证明．
完成一、二两步后，最后要对命题做一个总的结论．