4.2 用数学归纳法证明不等式 同步练习1（含答案）

4.2 用数学归纳法证明不等式 同步练习
一、选择题
1．用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋1)，第二步证明从“k到k＋1”，左端增加的项数是 (　)．
A．2k－1 B．2k
C．2k－1 D．2k＋1
答案　B
2．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋>成立时，起始值n0至少应取 (　　)．
A．7 B．8
C．9 D．10
解析　1＋＋＋＋＋…＋＝，
n－1＝6，n＝7，故n0＝8.
答案　B
3．已知x∈R＋，不等式x＋≥2，x＋≥3，…，可推广为x＋≥n＋1，则a的值为 (　　)．
A．2n B．n2
C．22(n－1) D．nn
答案　D
4．如果命题P(n)对n＝k成立，则它对n＝k＋2亦成立，又若P(n)对n＝2成立，则下列结论正确的是 (　)．
A．P(n)对所有正整数n成立
B．P(n)对所有正偶整数n成立
C．P(n)对所有正奇整数n成立
D．P(n)对所有比1大的自然数n成立
答案　B
二、填空题
5．用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋1)，第一步要证明的不等式是____________________．21教育网
答案　n＝2时，左边＝1＋＋＝<2＝右边
6．用数学归纳法证明＋cos α＋cos 3α＋…＋cos(2n－1)α＝(k∈Z*，α≠kπ，n∈N＋)，在验证n＝1时，左边计算所得的项是________．21cnjy.com
答案　＋cos α
7．用数学归纳法证明：2n＋1≥n2＋n＋2 (n∈N*)时，第一步应验证________________________．21世纪教育网版权所有
答案　n＝1时，22≥12＋12＋2，即4＝4
8．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＜n(n∈N＋，且n＞1)时，第一步应验证不等式为________．www.21-cn-jy.com
答案　1＋＋＜2
三、解答题
9．用数学归纳法证明：＋＋＋…＋>1 (n>1，n∈N*)．
证明　(1)当n＝2时，＋＋＝＝>1，
即n＝2时命题成立.
(2)设n＝k (k≥2)时，命题成立，
即＋＋＋…＋>1，
当n＝k＋1时，
左边＝＋…＋＋
>1＋(2k＋1)·－＝1＋.
∵k>2，令f(k)＝k2－k－1，对称轴为k＝，
∴(2，＋∞)为t的增区间，
∴f(k)>f(2)，即k2－k－1>22－2－1＝1，
∴>0，∴n＝k＋1时，命题也成立．
由(1)(2)知，当n>1，n∈N*时，命题都成立．
10．设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1(n＝1，2，3，…)．21·cn·jy·com
(1)求a1、a2.
(2)求数列{an}的通项公式．
解　(1)当n＝1时，x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝.当n＝2时，x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－，于是2－a2－a2＝0，解得a2＝.
(2)由题设(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，
即S－2Sn＋1－anSn＝0.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0.(*)
由(1)知S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝.
由(*)可得S3＝.
由此猜想Sn＝，n＝1，2，3，….
下面用数学归纳法证明这个结论．
①n＝1时已知结论成立．
②假设n＝k时结论成立，即Sk＝.
当n＝k＋1时，由(*)得Sk＋1＝，
即Sk＋1＝，故n＝k＋1时结论也成立．
综上，由①②可知，Sn＝对所有正整数n都成立．
于是当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，又n＝1时，a1＝＝，所以{an}的通项公式为an＝，n＝1，2，3，….2·1·c·n·j·y
11．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝＋ (n≥1)．
证明：证明　首先，证明an>成立．
(1)当n＝1时，a1＝2>成立．
(2)假设n＝k (k≥1)时，ak>成立，
当n＝k＋1时，由题意知ak＋1＝＋≥2 ＝，
即ak＋1≥，当且仅当＝即ak＝时，等号成立．
这与ak>矛盾，所以只有ak＋1>.
由(1)，(2)知，不等式an> (n∈N*)成立．
其次，证明不等式an<＋ (n∈N*)成立．
(1)当n＝1时，a1＝2<＋＝1＋，即不等式成立．
(2)假设n＝k (k≥1)时，不等式ak<＋成立．
由题知，当n＝k＋1时，ak＋1＝＋，
由ak<＋，得<＋①
由ak>，得<②
由①，②得＋<＋＋＝＋，
即ak＋1<＋＝＋<＋，
即ak＋1<＋成立．
由(1)，(2)得不等式an<＋ (n∈N*)成立．
综上所述，