3.2
一般形式的柯西不等式
同步练习
一、选择题
1．设a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝3，则＋＋的最小值为
( )．
A．9
B．3
C.
D．1
解析 [()2＋()2＋()2]·
≥2
即(a＋b＋c)≥32.
又∵a＋b＋c＝3，∴＋＋≥3，最小值为3.
答案 B
2．已知a＋a＋…＋a＝1，x＋x＋…＋x＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值为
( )．
A．1
B．n
C.
D．2
解析 由柯西不等式(a＋a＋…＋a)(x＋x＋…＋x)≥(a1x1＋a2x2＋…＋anxn)2
得1·1≥(a1x1＋a2x2＋…＋anxn)2，
∴a1x1＋a2x2＋…＋anxn≤1.
所求的最大值为1.
答案 A
3．已知a，b，c为正数，则有
( )．
A．最大值9
B．最小值9
C．最大值3
D．最小值3
解析
＝·
≥2＝9.
答案 B
二、填空题
4．已知实数a，b，c，d，e满足a＋b＋c＋d＋e＝8，a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝16，则e的取值范围为________．
解析 4(a2＋b2＋c2＋d2)＝(1＋1＋1＋1)(a2＋b2＋c2＋d2)
≥(a＋b＋c＋d)2，
即4(16－e2)≥(8－e)2，即64－4e2≥64－16e＋e2.
∴5e2－16e≥0，故0≤e≤.
答案
5．设a，b∈R＋，则与的大小关系是________．
解析 ∵＝··
≥(·1＋·1)＝.∴≥.
答案 ≥
三、解答题
6．已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，试求a的最值．
解 由柯西不等式得，有
(2b2＋3c2＋6d2)≥(b＋c＋d)2，
即2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2.
由条件可得，5－a2≥(3－a)2，
解得，1≤a≤2当且仅当＝＝时等号成立，代入b＝，c＝，d＝时，amax＝2.
b＝1，c＝，d＝时，amin＝1.
7．设a1>a2>…>an>an＋1，求证：
＋＋…＋＋>0.
证明 ∵a1－an＋1＝(a1－a2)＋(a2－a3)＋…＋(an－an＋1)，
∴[(a1－a2)＋(a2－a3)＋…＋(an－an＋1)]·
≥(·＋·＋…＋·)2＝n2>1.
∴(a1－an＋1)>1.
即＋＋…＋>，
故＋＋…＋＋>0.
8．设x＋y＋z＝1，求函数u＝2x2＋3y2＋z2的最小值．
解 根据已知条件和柯西不等式，我们有1＝x＋y＋z＝·x＋·y＋1·z≤(2x2＋3y2＋z2)＝·，
故u≥.而等号成立的条件是：
x＝，y＝，z＝λ，
即x＝，y＝，z＝λ，代入条件x＋y＋z＝1得λ＝，
此时，x＝，y＝，z＝，
故当x＝，y＝，z＝时，
函数u＝2x2＋3y2＋z2的最小值是.3.2
一般形式的柯西不等式
同步练习
1．已知a＋a＋…＋a＝1，x＋x＋…＋x＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：A
2．已知x，y，z为正数，x＋y＋z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值为( )
A.
B.
C.
D．不存在
答案：B
3．同时满足2x＋3y＋z＝13…
(1)，4x2＋9y2＋z2－2x＋15y＋3z＝82…(2)的实数x、y、z的值分别为____，____，____.
解析：可令x1＝2x，x2＝3y＋3，x3＝z＋2，
则x1＋x2＋x3＝18且x＋x＋x＝108.
由此及柯西不等式得182＝(x1＋x2＋x3)2≤(x＋x＋x)(12＋12＋12)＝108×3，
上式等号成立的充要条件＝＝ x1＝x2＝x3＝6 x＝3，y＝1，z＝4.
答案：3 1 4
4．已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求＋＋的最大值．
解析：由柯西不等式得：(＋＋)2＝(1×＋1×＋1×)2≤(12＋12＋12)(4a＋1＋4b＋1＋4c＋1)＝3×[4(a＋b＋c)＋3]＝21.
当且仅当a＝b＝c＝时取等号．
∴＋＋的最大值为.
5．a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求证：2＋2＋2≥.
证明：∵(12＋12＋12)
≥2＝2，
而(a＋b＋c)≥(1＋1＋1)2＝9，
即＋＋≥9，
∴2≥100，
∴2＋2＋2≥.
6．设a，b，c为正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.
证明：由柯西不等式得
[()2＋()2＋()2]≥2，
于是(a＋b＋c)≥(a＋b＋c)2，
即＋＋≥a＋b＋c.
7．设a，b，c为正数，且不全相等，求证：＋＋>.
证明：构造两组数，，；，，，则由柯西不等式得
(a＋b＋b＋c＋c＋a)≥(1＋1＋1)2，
即2(a＋b＋c)≥9，
于是＋＋≥.①
由柯西不等式知，①式中等号成立
＝＝ a＋b＝b＋c＝c＋a a＝b＝c.
因题设a，b，c不全相等，故①式中等号不成立．
于是＋＋>.
8．已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为______．
解析：使用柯西不等式求解．
∵a＋2b＋3c＝6，∴1×a＋1×2b＋1×3c＝6.
∴(a2＋4b2＋9c2)(12＋12＋12)≥(a＋2b＋3c)2，即a2＋4b2＋9c2≥12.当且仅当＝＝，即a＝2，b＝1，c＝时取等号．
答案：12
9．设x，y，z∈R，且满足；x2＋y2＋z2＝1，x＋2y＋3z＝，则x＋y＋z＝________.
分析：先利用柯西不等式求出x＋2y＋3z的最值，再结合题目条件得到x＋2y＋3z的值，然后根据等号成立的条件求出x，y，z的值，从而求得x＋y＋z的值．
解析：由柯西不等式可得(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)≥(x＋2y＋3z)2，即(x＋2y＋3z)2≤14，因此x＋2y＋3z≤.因为x＋2y＋3z＝，所以x＝＝，解得x＝，y＝，z＝，于是x＋y＋z＝.
答案：
10．设a，b，c，x，y，z是正数，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，则＝( )
A.
B.
C.
D.
解析：由于(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2等号成立当且仅当＝＝＝t，则a＝tx，b＝ty，c＝tz，t2(x2＋y2＋z2)＝10.由题知t＝，又＝＝＝，所以＝t＝.
答案：C
11．已知函数f
(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1，1]．
(1)求m的值；
(2)若a，b，c∈R＋，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.
解析：(1)因为f(x＋2)＝m－|x|，f(x＋2)≥0等价于|x|≤m.
由|x|≤m有解，得m≥0且其解集为{x|－m≤x≤m}．
又f(x＋2)≥0的解集为[－1，1]，故m＝1.
(2)由(1)知：＋＋＝1，
又a，b，c∈R＋，由柯西不等式得：
a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)≥2＝9，
即a＋2b＋3c≥9.
