15.4第2课时 角平分线的性质及判定 课件

课件31张PPT。第2课时 角平分线的性质及判定复习提问1、角平分线的定义一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。复习提问 2、点到直线距离:从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。3、角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等用符号语言表示为：AOBP12∵ ∠1= ∠2
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴PD=PE
(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。复习提问判断下列各题是否正确地使用了角的平分线的性质?
(1)如图① ，∵AC平分∠BAD
∴DC=BC
(2)如图② ，∵BC⊥AB,DC⊥AD
∴DB=DC
(3)如图②，∵AD平分∠BAC，
且DB⊥AB，DC⊥AC
∴BD=CD图①图②错误错误正确如图， ∵ OC是∠AOB的平分线，
又 ________________
∴PD=PE (
)PD⊥OA，PE⊥OB 角的平分线上的点
到角的两边的距离相等OP 是 的平分线PD= PE （到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平 分线上）
∵AB用符号语言表示为： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。4、角平分线的判定复习提问定理 1 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。定理 2 角的内部到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上。∵PD = PE用途：证线段相等用途：判定一条射线是角平分线由上面两个定理可知：角平分线上的点到角的两边的距离相等；反过来，到角的两边的距离相等的点都在这个角平分线上。练习1：填空：
(1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB
∴___________
(___________________________________________)
(2). ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE
∴__________
(_ ______________________________________________)∠1= ∠2DC=DE到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。角平分线上的点到角的两边的距离相等AD平分∠BAC 如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗?你能由上面的探究得出作已知角的平分线的方法吗?探究：E角的平分线的作法证明： 在△ACD和△ACB中
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
CA=CA（公共边）
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应边相等）
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
尺规作角的平分线观察领悟作法，探索思考证明方法：AＢＯ画法：　　１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．　　２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 1/2 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．３．作射线ＯＣ．射线ＯＣ即为所求．AＢ为什么OC是角平分线呢？ Ｏ想一想：已知：OM=ON，MC=NC。
求证：OC平分∠AOB。证明：在△OMC和△ONC中，
OM=ON，
MC=NC，
OC=OC，
∴ △OMC≌ △ONC（SSS）
∴∠MOC=∠NOC
即：OC平分∠AOB 1、在△OAB中，OE是它的角平分线，且EA=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足为C，D.
求证：AC=BD.例题讲解 2、 在△ABC中， ∠ C=90 ° ，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，BC＝7，DE＝3.
求BD的长。 3、 如图，在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF； 求证：CF=EB巩固提高4、已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上
∴PD=PE
（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）
同理 PE=PF.
∴ PD=PE=PF.
即点P到边AB、BC、 CA的距离相等
ABCMNP怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？例题讲解5、如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分线ＢＤ与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于点Ｐ．
求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在直线的距离相等．ＡＢＣＤＥＰFGHＢＰ更上一层楼！巩固提高，8 . 如图，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 度，BE= 。60BF9. 如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，∠1=∠2，且AC=6cm，那么线段BE是△ABC的　　　 ，AE+DE=　　　。
角的平分线6cm练习10.已知△ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB,且
BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？ABCDE你会吗？1、 已知：如图，∠C = ∠C′= 90° ，AC = AC ′
求证（1） ∠ABC = ∠ABC ′ ；（2）BC=BC ′
（要求不用三角形全等的判定）B例题讲解我们利用折纸和尺规作图的方法都发现三角形的三条角平分线相交于一点，你能证明这个结论吗？2、如图，设△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，你能证明点P在∠BAC的平分线上吗？CABPNM证明:过点P分别作BC，AC，AB的垂线，垂足分别是E，F，D，
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD=PE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）
同理，PE=PF， ∴PD=PF
∴点P在△BAC的平分线上（在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上）。
∴△ABC三条角平分线相交于点P。3.已知：如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F。
求证：点F在∠DAE的平分线上。你会吗？变式4.如图，直线l1、 l2 、 l3 表示三条互相交叉的公路，现要造一个垃圾中转站，
要求它到这三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( )
A 1处
B 2处
C 3处
D 4处变式 5、已知，如图， ∠B=∠C= ，M是BC的中点，
DM平分∠ADC。
求证：AM平分∠DAB。证明：过M作ME⊥AD于EE∵ ∠B=∠C=
∴ MC⊥DC， MB⊥AB
又∵ DM平分∠ADC
∴ME=MC
∵MC=MB
∴ME=MB
∴AM平分∠DAB（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）（角平分线上的 点 到角两边的距离相等）
例题讲解6.已知：如图，O是三条角平分线的交点，OD⊥BC于D，OD=3， △ABC的周长为15，求则S△ABC 。7、如图， AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
DF⊥AC，垂足分别是E、F，连接EF，EF与AD
交于G。求证：
（1） DE=DFBFEDCAG（2）AE=AF（3） AD⊥EF例题讲解8、三角形三条______________的交点，到三边距离相等。9、三角形三条______________的交点，到三个顶点的距离相等。练一练10、如图，P是△ABC的∠A和∠B的平分线的交点，过P做AB、AC、BC的垂线垂足分别是M、N、H，则：
（1）PH与PN的数量关系是___________
（2）CP________ ∠ACB (填平分或不平分）作业：11、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.12.如图在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的延长线于N
求证：BM=CN作业：小结：3、三角形角平分线的交点性质：2、角的平分线的判定： 三角形的三条角平分线交于一点。4、角的平分线的辅助线作法：见角平分线就作两边垂线段。1、角的平分线的性质：5、三角形的五心：垂心、重心、外心、内心、旁心