2.1认识一元二次方程 同步练习（含答案解析）

《2.1
认识一元二次方程》
一、选择题
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　）
A．（x+1）2=2（x+1）
B．
C．ax2+bx+c=0
D．x2+2x=x2﹣1
2．若x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，设M=1﹣ac，N=（ax0+1）2，则M与N的大小关系正确的为（　　）
A．M＞N
B．M=N
C．M＜N
D．不确定
3．下列方程中，一元二次方程共有（　　）个
①x2﹣2x﹣1=0；②ax2+bx+c=0；③
+3x﹣5=0；④﹣x2=0；⑤（x﹣1）2+y2=2；⑥（x﹣1）（x﹣3）=x2．
A．1
B．2
C．3
D．4
4．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值是（　　）
A．﹣1
B．1
C．1或﹣1
D．﹣1或0
5．若关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m=0的一个根是x=1，则m的值是（　　）
A．1
B．0
C．﹣1
D．2
6．如果关于x的方程（m﹣3）﹣x+3=0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（　　）
A．±3
B．3
C．﹣3
D．都不对
7．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（　　）
A．1
B．﹣1
C．1或﹣1
D．
8．若关于x的方程x2+（m+1）x+=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m的值是（　　）
A．﹣
B．
C．﹣或
D．1
9．若方程（m﹣3）xn+2x﹣3=0是关于x的一元二次方程，则（　　）
A．m=3，n≠2
B．m=3，n=2
C．m≠3，n=2
D．m≠3，n≠2
10．若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a2=0的一个根，则a的值为（　　）
A．﹣1或4
B．﹣1或﹣4
C．1或﹣4
D．1或4
　
二、填空题
11．若关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m=0的一个根是x=1，则m的值是　　．
12．已知（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m=　　．
13．已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，则2m2﹣4m=　　．
14．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，则a的值是　　．
15．若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0（a≠0）的一个解是x=1，则2016﹣a﹣b的值是　　．
16．关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=2，x2=﹣1，（a，b，m均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b=0的解是　　．
17．己知m是关于x的方程x2﹣2x﹣7=0的一个根，则2（m2﹣2m）=　　．
18．若a是方程x2﹣2x﹣2015=0的根，则a3﹣3a2﹣2013a+1=　　．
　
三、解答题
19．已知方程：（m2﹣1）x2+（m+1）x+1=0，求：
（1）当m为何值时原方程为一元二次方程．
（2）当m为何值时原为一元一次方程．
20．向阳中学数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m﹣2）x﹣1=0提出了下列问题：
（1）是否存在m的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出m的值，并解此方程；
（2）是否存在m的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程．
21．当m是何值时，关于x的方程（m2+2）x2+（m﹣1）x﹣4=3x2
（1）是一元二次方程；
（2）是一元一次方程；
（3）若x=﹣2是它的一个根，求m的值．
22．设a是方程x2﹣2006x+1=0的一个根，求代数式a2﹣2007a+的值．
　
《2.1
认识一元二次方程》
参考答案与试题解析
　
一、选择题
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　）
A．（x+1）2=2（x+1）
B．
C．ax2+bx+c=0
D．x2+2x=x2﹣1
【考点】一元二次方程的定义．
【专题】计算题．
【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．
【解答】解：下列方程中，关于x的一元二次方程是（x+1）2=2（x+1），
故选A．
【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
　
2．若x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，设M=1﹣ac，N=（ax0+1）2，则M与N的大小关系正确的为（　　）
A．M＞N
B．M=N
C．M＜N
D．不确定
【考点】一元二次方程的解．
【分析】把x0代入方程ax2+2x+c=0得ax02+2x0=﹣c，作差法比较可得．
【解答】解：∵x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，
∴ax02+2x0+c=0，即ax02+2x0=﹣c，
则N﹣M=（ax0+1）2﹣（1﹣ac）
=a2x02+2ax0+1﹣1+ac
=a（ax02+2x0）+ac
=﹣ac+ac
=0，
∴M=N，
故选：B．
【点评】本题主要考查一元二次方程的解得概念及作差法比较大小，熟练掌握能使方程成立的未知数的值叫做方程的解是根本，利用作差法比较大小是解题的关键．
　
3．下列方程中，一元二次方程共有（　　）个
①x2﹣2x﹣1=0；②ax2+bx+c=0；③
+3x﹣5=0；④﹣x2=0；⑤（x﹣1）2+y2=2；⑥（x﹣1）（x﹣3）=x2．
A．1
B．2
C．3
D．4
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证．
【解答】解：①x2﹣2x﹣1=0，符合一元二次方程的定义；
②ax2+bx+c=0，没有二次项系数不为0这个条件，不符合一元二次方程的定义；
③+3x﹣5=0不是整式方程，不符合一元二次方程的定义；
④﹣x2=0，符合一元二次方程的定义；
⑤（x﹣1）2+y2=2，方程含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义；
⑥（x﹣1）（x﹣3）=x2，方程整理后，未知数的最高次数是1，不符合一元二次方程的定义．
一元二次方程共有2个．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
　
4．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值是（　　）
A．﹣1
B．1
C．1或﹣1
D．﹣1或0
【考点】一元二次方程的解．
【分析】将x=0代入关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0即可求得a的值．注意，二次项系数a﹣1≠0．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，
∴（a﹣1）×0+0+a2﹣1=0，且a﹣1≠0，
解得a=﹣1；
故选A．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
　
5．若关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m=0的一个根是x=1，则m的值是（　　）
A．1
B．0
C．﹣1
D．2
【考点】一元二次方程的解．
【专题】计算题．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入一元二次方程可得到关于m的一元一次方程，然后解一次方程即可．
【解答】解：把x=1代入x2﹣x﹣m=0得1﹣1﹣m=0，
解得m=0．
故选B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
　
6．如果关于x的方程（m﹣3）﹣x+3=0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（　　）
A．±3
B．3
C．﹣3
D．都不对
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．据此即可得到m2﹣7=2，m﹣3≠0，即可求得m的范围．
【解答】解：由一元二次方程的定义可知，
解得m=﹣3．
故选C．
【点评】要特别注意二次项系数m﹣3≠0这一条件，当m﹣3=0时，上面的方程就是一元一次方程了．
　
7．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（　　）
A．1
B．﹣1
C．1或﹣1
D．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】根据方程的解的定义，把x=0代入方程，即可得到关于a的方程，再根据一元二次方程的定义即可求解．
【解答】解：根据题意得：a2﹣1=0且a﹣1≠0，
解得：a=﹣1．
故选B．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，特别需要注意的条件是二次项系数不等于0．
　
8．若关于x的方程x2+（m+1）x+=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m的值是（　　）
A．﹣
B．
C．﹣或
D．1
【考点】一元二次方程的解．
【分析】由根与系数的关系可得：x1+x2=﹣（m+1），x1 x2=，又知一个实数根的倒数恰是它本身，则该实根为1或﹣1，然后把±1分别代入两根之和的形式中就可以求出m的值．
【解答】解：由根与系数的关系可得：
x1+x2=﹣（m+1），x1 x2=，
又知一个实数根的倒数恰是它本身，
则该实根为1或﹣1，
若是1时，即1+x2=﹣（m+1），而x2=，解得m=﹣；
若是﹣1时，则m=．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义和一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要会把代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
　
9．若方程（m﹣3）xn+2x﹣3=0是关于x的一元二次方程，则（　　）
A．m=3，n≠2
B．m=3，n=2
C．m≠3，n=2
D．m≠3，n≠2
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程未知数的最高次数是2和二次项的系数不等于0解答即可．
【解答】解：∵方程（m﹣3）xn+2x﹣3=0是关于x的一元二次方程，
∴m﹣3≠0，n=2，
解得，m≠3，n=2，
故选：C．
【点评】本题考查的是一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．
　
10．若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a2=0的一个根，则a的值为（　　）
A．﹣1或4
B．﹣1或﹣4
C．1或﹣4
D．1或4
【考点】一元二次方程的解．
【分析】把x=﹣2代入已知方程，列出关于a的新方程，通过解新方程可以求得a的值．
【解答】解：根据题意，将x=﹣2代入方程x2+ax﹣a2=0，得：
4﹣3a﹣a2=0，即a2+3a﹣4=0，
左边因式分解得：（a﹣1）（a+4）=0，
∴a﹣1=0，或a+4=0，
解得：a=1或﹣4，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
　
二、填空题
11．若关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m=0的一个根是x=1，则m的值是　0　．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入一元二次方程得到关于m的一次方程，然后解此一元一次方程即可得到m的值．
【解答】解：把x=1代入方程x2﹣x﹣m=0得1﹣1﹣m=0，
解得m=0．
故答案为：0；
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
　
12．已知（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m=　﹣1　．
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】直接利用一元二次方程的定义得出|m|=1，m﹣1≠0，进而得出答案．
【解答】解：∵方程（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，
∴|m|=1，m﹣1≠0，
解得：m=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握未知数的次数与系数是解题关键．
　
13．已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，则2m2﹣4m=　6　．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】推理填空题．
【分析】根据m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，通过变形可以得到2m2﹣4m值，本题得以解决．
【解答】解：∵m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，
∴m2﹣2m﹣3=0，
∴m2﹣2m=3，
∴2m2﹣4m=6，
故答案为：6．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
　
14．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，则a的值是　﹣1　．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=0代入已知方程就可以求得a的值．注意，二次项系数a﹣1≠0．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+（a2﹣1）=0的一个根是0，
∴x=0满足该方程，且a﹣1≠0．
∴a2﹣1=0，且a≠1．
解得a=﹣1．
故答案是：﹣1．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
　
15．若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0（a≠0）的一个解是x=1，则2016﹣a﹣b的值是　2021　．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】计算题．
【分析】先根据一元二次方程的解的定义把x=1代入ax2+bx+5=0得a+b=﹣5，再变形2016﹣a﹣b得到2016﹣（a+b），然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：把x=1代入ax2+bx+5=0得a+b+5=0，
所以a+b=﹣5，
所以2016﹣a﹣b=2016﹣（a+b）=2016﹣（﹣5）=2021．
故答案为2021．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
　
16．（2016 常州模拟）关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=2，x2=﹣1，（a，b，m均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b=0的解是　x3=0，x4=﹣3　．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．
【解答】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=2，x2=﹣1，（a，m，b均为常数，a≠0），
∴方程a（x+m+2）2+b=0变形为a[（x+2）+m]2+b=0，即此方程中x+2=2或x+2=﹣1，
解得x=0或x=﹣3．
故答案为：x3=0，x4=﹣3．
【点评】此题主要考查了方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算．
　
17．己知m是关于x的方程x2﹣2x﹣7=0的一个根，则2（m2﹣2m）=　14　．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】把x=m代入已知方程来求（m2﹣2m）的值．
【解答】解：把x=m代入关于x的方程x2﹣2x﹣7=0，得
m2﹣2m﹣7=0，
则m2﹣2m=7，
所以2（m2﹣2m）=2×7=14．
故答案是：14．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
　
18．若a是方程x2﹣2x﹣2015=0的根，则a3﹣3a2﹣2013a+1=　﹣2014　．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】把x=a代入程x2﹣2x﹣2015=0得到a2﹣2a=2015，a2=2015+2a，然后将其代入整理后的所求代数式进行求值即可．
【解答】解：∵a是方程x2﹣2x﹣2015=0的根，
∴a2﹣2a﹣2015=0，
∴a2﹣2a=2015，a2=2015+2a，
∴a3﹣3a2﹣2013a+1，
=a（a2﹣2013）﹣3a2+1，
=a（2a+2015﹣2013）﹣3a2+1，
=2a2+2a﹣3a2+1，
=﹣（a2﹣2a）+1，
=﹣2015+1，
=﹣2014．
故答案是：﹣2014．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．根据题意将所求的代数式变形是解题的难点．
　
三、解答题
19．已知方程：（m2﹣1）x2+（m+1）x+1=0，求：
（1）当m为何值时原方程为一元二次方程．
（2）当m为何值时原为一元一次方程．
【考点】一元二次方程的定义；一元一次方程的定义．
【分析】（1）根据是整式方程中含有一个未知数且未知数的最高次的次数是二次的方程，且一元二次方程的二次项的系数不能为零，可得答案；
（2）根据一元一次方程是整式方程中含有一个未知数且未知数的最高次的次数是一次的方程，可得二次项系数为零，一次项系数不能为零，可得答案．
【解答】解：（1）当m2﹣1≠0时，（m2﹣1）x2+（m+1）x+1=0是一元二次方程，
解得m≠±1，
当m≠±1时，（m2﹣1）x2+（m+1）x+1=0是一元二次方程；
（2）当m2﹣1=0，且m+1≠0时，（m2﹣1）x2+（m+1）x+1=0是一元一次方程，
解得m=±1，且m≠﹣1，
m=﹣1（不符合题意的要舍去），m=1．
答：当m=1时，（m2﹣1）x2+（m+1）x+1=0是一元一次方程．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
　
20．向阳中学数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m﹣2）x﹣1=0提出了下列问题：
（1）是否存在m的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出m的值，并解此方程；
（2）是否存在m的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程．
【考点】一元二次方程的定义；一元一次方程的定义．
【分析】（1）根据一元二次方程的定义可得，可求得m的值，进一步可求出方程的解；
（2）当m2+1=1或m+1=0时方程为一元一次方程，求出m的值，进一步解方程即可．
【解答】解：
（1）根据一元二次方程的定义可得，解得m=1，此时方程为2x2﹣x﹣1=0，解得x1=1，x2=﹣；
（2）由题可知m2+1=1或m+1=0时方程为一元一次方程
当m2+1=1时，解得m=0，此时方程为﹣x﹣1=0，解得x=﹣1，
当m+1=0时，解得m=﹣1，此时方程为﹣3x﹣1=0，解得x=﹣．
【点评】本题主要考查一元二次和一元一次方程的定义，对（2）中容易漏掉m2+1=1的情况．
　
21．当m是何值时，关于x的方程（m2+2）x2+（m﹣1）x﹣4=3x2
（1）是一元二次方程；
（2）是一元一次方程；
（3）若x=﹣2是它的一个根，求m的值．
【考点】一元二次方程的定义；一元一次方程的定义．
【分析】（1）根据二次项系数不为0解答；
（2）根据二次项系数为0，一次项系数不为0解答；
（3）根据题意列出关于m的一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：原方程可化为（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣4=0，
（1）当m2﹣1≠0，即m≠±1时，是一元二次方程；
（2）当m2﹣1=0，且m﹣1≠0，即m=﹣1时，是一元一次方程；
（3）x=﹣2时，原方程化为：2m2﹣m﹣3=0，
解得，m1=，m2=﹣1（舍去）．
【点评】本题考查的是一元一次方程的定义、一元二次方程的定义和一元二次方程的解法，掌握概念、正确解出一元二次方程是解题的关键．
　
22．设a是方程x2﹣2006x+1=0的一个根，求代数式a2﹣2007a+的值．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】先把x=a代入方程，可得a2﹣2006a+1=0，进而可得可知a2﹣2006a=﹣1，进而可求a2﹣2007a=﹣a﹣1，a2+1=2006a，然后把a2﹣2005a与a2+1的值整体代入所求代数式求值即可．
【解答】解：把x=a代入方程，可得：a2﹣2006a+1=0，
所以a2﹣2006a=﹣1，a2+1=2006a，
所以a2﹣2007a=﹣a﹣1，
所以a2﹣2007a+=﹣a﹣1+=﹣1，即a2﹣2007a+=﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是注意解与方程的关系，以及整体代入．
　
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