1.2矩形的性质与判定 同步练习（含答案解析）

《1.2
矩形的性质与判定》
　
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．矩形具有而菱形不具有的性质是（　　）
A．对角线相等
B．两组对边分别平行
C．对角线互相平分
D．两组对角分别相等
2．下列关于矩形的说法中正确的是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．矩形的对角线相等且互相平分
C．对角线互相平分的四边形是矩形
D．矩形的对角线互相垂直且平分
3．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠ACB=30°，AB=2，则OC的长为（　　）
A．2
B．3
C．2
D．4
4．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形OCED的周长为（　　）
A．4
B．8
C．10
D．12
5．如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（　　）
A．△AFD≌△DCE
B．AF=AD
C．AB=AF
D．BE=AD﹣DF
6．如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（　　）
A．4.8
B．5
C．6
D．7.2
7．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（　　）
A．
B．
C．
D．
8．如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（　　）
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
9．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD=2，DE=2，则四边形OCED的面积（　　）
A．2
B．4
C．4
D．8
10．如图，在矩形ABCD中，AD=AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：
①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC﹣CF=2HE；⑤AB=HF，
其中正确的有（　　）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
　
二、填空题
11．如图，在矩形ABCD中，AB=3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为　　．
12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=　　度．
13．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件　　，使四边形DBCE是矩形．
14．如图，在矩形ABCD中，AD=4，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为　　．
15．已知矩形的对角线AC与BD相交于点O，若AO=1，那么BD=　　．
16．如图，矩形ABCD中，对角线AC=2，E为BC边上一点，BC=3BE，将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，B点恰好落在对角线AC上的B′处，则AB=　　．
17．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连结AE，如果∠ADB=30°，则∠E=　　度．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，M为斜边AB上一动点，过M作MD⊥AC，过M作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小值为　　．
　
三、解答题
19．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．
20．如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．
（1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）．
（2）连结BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由．
21．已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．
22．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB=AO，求∠ABD的度数．
23．如图，将 ABCD的边AB延长到点E，使BE=AB，连接DE，交边BC于点F．
（1）求证：△BEF≌△CDF；
（2）连接BD、CE，若∠BFD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
24．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积．
25．如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点．
（1）求证：CP=AQ；
（2）若BP=1，PQ=2，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积．
26．阅读下面材料：
在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？
小敏在思考问题是，有如下思路：连接AC．
结合小敏的思路作答
（1）若只改变图1中四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题方法解决一下问题：
（2）如图2，在（1）的条件下，若连接AC，BD．
①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；
②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．
　
《1.2
矩形的性质与判定》
参考答案与试题解析
　
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．矩形具有而菱形不具有的性质是（　　）
A．对角线相等
B．两组对边分别平行
C．对角线互相平分
D．两组对角分别相等
【考点】矩形的性质；菱形的性质．
【分析】根据矩形与菱形的性质求解即可求得答案．注意矩形与菱形都是平行四边形．
【解答】解：∵矩形具有的性质是：对角线相等且互相平分，两组对边分别平行，两组对角分别相等；菱形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，两组对角分别相等；
∴矩形具有而菱形不具有的性质是：对角线相等．
故选A．
【点评】此题考查了矩形与菱形的性质．注意熟记定理是解此题的关键．
　
2．下列关于矩形的说法中正确的是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．矩形的对角线相等且互相平分
C．对角线互相平分的四边形是矩形
D．矩形的对角线互相垂直且平分
【考点】矩形的判定与性质．
【分析】根据矩形的性质和判定定理逐个判断即可．
【解答】解：A、对角线相等的平行四边形才是矩形，故本选项错误；
B、矩形的对角线相等且互相平分，故本选项正确；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故本选项错误；
D、矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误；
故选B．
【点评】本题考查了矩形的性质和判定的应用，能熟记矩形的性质和判定定理是解此题的关键．
　
3．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠ACB=30°，AB=2，则OC的长为（　　）
A．2
B．3
C．2
D．4
【考点】矩形的性质．
【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=2AB=4，再根据矩形的对角线互相平分解答．
【解答】解：在矩形ABCD中，∠ABC=90°，
∵∠ACB=30°，AB=2，
∴AC=2AB=2×2=4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=OA=AC=2．
故选A．
【点评】本题考查了矩形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．
　
4．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形OCED的周长为（　　）
A．4
B．8
C．10
D．12
【考点】矩形的性质；菱形的判定与性质．
【专题】计算题；矩形
菱形
正方形．
【分析】由四边形ABCD为矩形，得到对角线互相平分且相等，得到OD=OC，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形DECO为平行四边形，利用邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形DECO为菱形，根据AC的长求出OC的长，即可确定出其周长．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，
∴OA=OB=OC=OD=2，
∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形DECO为平行四边形，
∵OD=OC，
∴四边形DECO为菱形，
∴OD=DE=EC=OC=2，
则四边形OCED的周长为2+2+2+2=8，
故选B
【点评】此题考查了矩形的性质，以及菱形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．
　
5．如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（　　）
A．△AFD≌△DCE
B．AF=AD
C．AB=AF
D．BE=AD﹣DF
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定．
【分析】先根据已知条件判定△AFD≌△DCE（AAS），再根据矩形的对边相等，以及全等三角形的对应边相等进行判断即可．
【解答】解：（A）由矩形ABCD，AF⊥DE可得∠C=∠AFD=90°，AD∥BC，
∴∠ADF=∠DEC．
又∵DE=AD，
∴△AFD≌△DCE（AAS），故（A）正确；
（B）∵∠ADF不一定等于30°，
∴直角三角形ADF中，AF不一定等于AD的一半，故（B）错误；
（C）由△AFD≌△DCE，可得AF=CD，
由矩形ABCD，可得AB=CD，
∴AB=AF，故（C）正确；
（D）由△AFD≌△DCE，可得CE=DF，
由矩形ABCD，可得BC=AD，
又∵BE=BC﹣EC，
∴BE=AD﹣DF，故（D）正确；
故选B．
【点评】本题主要考查了矩形和全等三角形，解决问题的关键是掌握矩形的性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对边相等．解题时注意：在直角三角形中，若有一个锐角等于30°，则这个锐角所对的直角边等于斜边的一半．
　
6．如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（　　）
A．4.8
B．5
C．6
D．7.2
【考点】矩形的性质．
【分析】首先连接OP，由矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，可求得OA=OD=5，△AOD的面积，然后由S△AOD=S△AOP+S△DOP=OA PE+OD PF求得答案．
【解答】解：连接OP，
∵矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，
∴S矩形ABCD=AB BC=48，OA=OC，OB=OD，AC=BD=10，
∴OA=OD=5，
∴S△ACD=S矩形ABCD=24，
∴S△AOD=S△ACD=12，
∵S△AOD=S△AOP+S△DOP=OA PE+OD PF=×5×PE+×5×PF=（PE+PF）=12，
解得：PE+PF=4.8．
故选：A．
【点评】此题考查了矩形的性质以及三角形面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法以及掌握整体数学思想的运用是解题的关键．
　
7．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．
【分析】连接BF，根据三角形的面积公式求出BH，得到BF，根据直角三角形的判定得到∠BFC=90°，根据勾股定理求出答案．
【解答】解：连接BF，
∵BC=6，点E为BC的中点，
∴BE=3，
又∵AB=4，
∴AE==5，
∴BH=，
则BF=，
∵FE=BE=EC，
∴∠BFC=90°，
∴CF==．
故选：D．
【点评】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
　
8．如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（　　）
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
【考点】矩形的性质；平行线的性质．
【分析】首先过点D作DE∥a，由∠1=60°，可求得∠3的度数，易得∠ADC=∠2+∠3，继而求得答案．
【解答】解：过点D作DE∥a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ADC=90°，
∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣60°=30°，
∵a∥b，
∴DE∥a∥b，
∴∠4=∠3=30°，∠2=∠5，
∴∠2=90°﹣30°=60°．
故选C．
【点评】此题考查了矩形的性质以及平行线的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
　
9．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD=2，DE=2，则四边形OCED的面积（　　）
A．2
B．4
C．4
D．8
【考点】矩形的性质；菱形的判定与性质．
【专题】计算题；矩形
菱形
正方形．
【分析】连接OE，与DC交于点F，由四边形ABCD为矩形得到对角线互相平分且相等，进而得到OD=OC，再由两组对边分别平行的四边形为平行四边形得到ODEC为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形ODEC为菱形，得到对角线互相平分且垂直，求出菱形OCEF的面积即可．
【解答】解：连接OE，与DC交于点F，
∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，即OA=OB=OC=OD，
∵OD∥CE，OC∥DE，
∴四边形ODEC为平行四边形，
∵OD=OC，
∴四边形ODEC为菱形，
∴DF=CF，OF=EF，DC⊥OE，
∵DE∥OA，且DE=OA，
∴四边形ADEO为平行四边形，
∵AD=2，DE=2，
∴OE=2，即OF=EF=，
在Rt△DEF中，根据勾股定理得：DF==1，即DC=2，
则S菱形ODEC=OE DC=×2×2=2．
故选A
【点评】此题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解本题的关键．
　
10．如图，在矩形ABCD中，AD=AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：
①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC﹣CF=2HE；⑤AB=HF，
其中正确的有（　　）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．
【专题】几何图形问题．
【分析】①根据角平分线的定义可得∠BAE=∠DAE=45°，然后利用求出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AE=AB，从而得到AE=AD，然后利用“角角边”证明△ABE和△AHD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DH，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ADE=∠AED=67.5°，根据平角等于180°求出∠CED=67.5°，从而判断出①正确；
②求出∠AHB=67.5°，∠DHO=∠ODH=22.5°，然后根据等角对等边可得OE=OD=OH，判断出②正确；
③求出∠EBH=∠OHD=22.5°，∠AEB=∠HDF=45°，然后利用“角边角”证明△BEH和△HDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BH=HF，判断出③正确；
④根据全等三角形对应边相等可得DF=HE，然后根据HE=AE﹣AH=BC﹣CD，BC﹣CF=BC﹣（CD﹣DF）=2HE，判断出④正确；
⑤判断出△ABH不是等边三角形，从而得到AB≠BH，即AB≠HF，得到⑤错误．
【解答】解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=AB，
∵AD=AB，
∴AE=AD，
在△ABE和△AHD中，
，
∴△ABE≌△AHD（AAS），
∴BE=DH，
∴AB=BE=AH=HD，
∴∠ADE=∠AED=（180°﹣45°）=67.5°，
∴∠CED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，
∴∠AED=∠CED，故①正确；
∵AB=AH，
∵∠AHB=（180°﹣45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB（对顶角相等），
∴∠OHE=67.5°=∠AED，
∴OE=OH，
∵∠DHO=90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°﹣45°=22.5°，
∴∠DHO=∠ODH，
∴OH=OD，
∴OE=OD=OH，故②正确；
∵∠EBH=90°﹣67.5°=22.5°，
∴∠EBH=∠OHD，
在△BEH和△HDF中，
，
∴△BEH≌△HDF（ASA），
∴BH=HF，HE=DF，故③正确；
∵HE=AE﹣AH=BC﹣CD，
∴BC﹣CF=BC﹣（CD﹣DF）=BC﹣（CD﹣HE）=（BC﹣CD）+HE=HE+HE=2HE．故④正确；
∵AB=AH，∠BAE=45°，
∴△ABH不是等边三角形，
∴AB≠BH，
∴即AB≠HF，故⑤错误；
综上所述，结论正确的是①②③④共4个．
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．
　
二、填空题
11．如图，在矩形ABCD中，AB=3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为　3　．
【考点】矩形的性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质．
【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA=AB=OB=3，得出BD=2OB=6，由勾股定理求出AD即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，
∴OA=OB，
∵AE垂直平分OB，
∴AB=AO，
∴OA=AB=OB=3，
∴BD=2OB=6，
∴AD===3；
故答案为：3．
【点评】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
　
12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=　22.5　度．
【考点】矩形的性质．
【分析】首先证明△AEO是等腰直角三角形，求出∠OAB，∠OAE即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OA=OB═OC，
∴∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，
∴∠AOE=∠OAC+∠OCA=2∠OAC，
∵∠EAC=2∠CAD，
∴∠EAO=∠AOE，
∵AE⊥BD，
∴∠AEO=90°，
∴∠AOE=45°，
∴∠OAB=∠OBA==67.5°，
∴∠BAE=∠OAB﹣∠OAE=22.5°．
故答案为22.5°．
【点评】本题考查矩形的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是发现△AEO是等腰直角三角形这个突破口，属于中考常考题型．
　
13．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件　EB=DC　，使四边形DBCE是矩形．
【考点】矩形的判定；平行四边形的性质．
【分析】利用平行四边形的判定与性质得到四边形DBCE为平行四边形，结合“对角线相等的平行四边形为矩形”来添加条件即可．
【解答】解：添加EB=DC．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD=BC，
∴DE∥BC，
又∵DE=AD，
∴DE=BC，
∴四边形DBCE为平行四边形．
又∵EB=DC，
∴四边形DBCE是矩形．
故答案是：EB=DC．
【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质．解题时，也可以根据“有一内角为直角的平行四边形为矩形”填空．
　
14．如图，在矩形ABCD中，AD=4，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为　4或2　．
【考点】矩形的性质；等腰三角形的性质；勾股定理．
【专题】分类讨论．
【分析】要求直线AD上满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个时的AB长，则需要分类讨论：①当AB=AD时；②当AB＜AD时，③当AB＞AD时．
【解答】解：①如图，当AB=AD时
满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，
△P1BC，△P2BC是等腰直角三角形，△P3BC是等腰直角三角形（P3B=P3C），
则AB=AD=4．
②当AB＜AD，且满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个时，如图，
∵P2是AD的中点，
∴BP2==，
易证得BP1=BP2，
又∵BP1=BC，
∴=4
∴AB=2．
③当AB＞AD时，直线AD上只有一个点P满足△PBC是等腰三角形．
故答案为：4或2．
【点评】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型．
　
15．已知矩形的对角线AC与BD相交于点O，若AO=1，那么BD=　2　．
【考点】矩形的性质．
【分析】根据矩形的性质：矩形的对角线互相平分且相等，求解即可．
【解答】解：在矩形ABCD中，
∵角线AC与BD相交于点O，AO=1，
∴AO=CO=BO=DO=1，
∴BD=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了矩形的性质，解答本题的关键是掌握矩形的对角线互相平分且相等的性质．
　
16．如图，矩形ABCD中，对角线AC=2，E为BC边上一点，BC=3BE，将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，B点恰好落在对角线AC上的B′处，则AB=　　．
【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．
【分析】先根据折叠得出BE=B′E，且∠AB′E=∠B=90°，可知△EB′C是直角三角形，由已知的BC=3BE得EC=2B′E，得出∠ACB=30°，从而得出AC与AB的关系，求出AB的长．
【解答】解：由折叠得：BE=B′E，∠AB′E=∠B=90°，
∴∠EB′C=90°，
∵BC=3BE，
∴EC=2BE=2B′E，
∴∠ACB=30°，
在Rt△ABC中，AC=2AB，
∴AB=AC=×2=，
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质和翻折问题，明确翻折前后的图形全等是本题的关键，同时还运用了直角三角形中如果一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角是30°这一结论，是常考题型．
　
17．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连结AE，如果∠ADB=30°，则∠E=　15　度．
【考点】矩形的性质．
【分析】连接AC，由矩形性质可得∠E=∠DAE、BD=AC=CE，知∠E=∠CAE，而∠ADB=∠CAD=30°，可得∠E度数．
【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AC=BD，且∠ADB=∠CAD=30°，
∴∠E=∠DAE，
又∵BD=CE，
∴CE=CA，
∴∠E=∠CAE，
∵∠CAD=∠CAE+∠DAE，
∴∠E+∠E=30°，即∠E=15°，
故答案为：15．
【点评】本题主要考查矩形性质，熟练掌握矩形对角线相等且互相平分、对边平行是解题关键．
　
18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，M为斜边AB上一动点，过M作MD⊥AC，过M作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小值为　　．
【考点】矩形的判定与性质；垂线段最短．
【分析】连接CM，先证明四边形CDME是矩形，得出DE=CM，再由三角形的面积关系求出CM的最小值，即可得出结果．
【解答】解：连接CM，如图所示：
∵MD⊥AC，ME⊥CB，
∴∠MDC=∠MEC=90°，
∵∠C=90°，
∴四边形CDME是矩形，
∴DE=CM，
∵∠C=90°，BC=3，AC=4，
∴AB===5，
当CM⊥AB时，CM最短，此时△ABC的面积=AB CM=BC AC，
∴CM的最小值==，
∴线段DE的最小值为；
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形面积的计算方法；熟练掌握矩形的判定与性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
　
三、解答题
19．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．
【考点】矩形的判定；菱形的性质．
【专题】证明题．
【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，再根据平行四边形的判定定理得四边形AODE为平行四边形，由矩形的判定定理得出四边形AODE是矩形．
【解答】证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD=90°，
∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE为平行四边形，
∴四边形AODE是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定以及菱形的性质，还考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
　
20．如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．
（1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）．
（2）连结BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由．
【考点】矩形的性质；作图—基本作图．
【专题】矩形
菱形
正方形．
【分析】（1）分别以B、D为圆心，比BD的一半长为半径画弧，交于两点，确定出垂直平分线即可；
（2）连接BE，DF，四边形BEDF为菱形，理由为：由EF垂直平分BD，得到BE=DE，∠DEF=∠BEF，再由AD与BC平行，得到一对内错角相等，等量代换及等角对等边得到BE=BF，再由BF=DF，等量代换得到四条边相等，即可得证．
【解答】解：（1）如图所示，EF为所求直线；
（2）四边形BEDF为菱形，理由为：
证明：∵EF垂直平分BD，
∴BE=DE，∠DEF=∠BEF，
∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠BFE，
∴∠BEF=∠BFE，
∴BE=BF，
∵BF=DF，
∴BE=ED=DF=BF，
∴四边形BEDF为菱形．
【点评】此题考查了矩形的性质，菱形的判定，以及作图﹣基本作图，熟练掌握性质及判定是解本题的关键．
　
21．已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题；图形的全等；矩形
菱形
正方形．
【分析】由四边形ABCD为矩形，得到四个角为直角，再由EF与FD垂直，利用平角定义得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到三角形BEF与三角形CFD全等，利用全等三角形对应边相等即可得证．
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，
∵EF⊥DF，
∴∠EFD=90°，
∴∠EFB+∠CFD=90°，
∵∠EFB+∠BEF=90°，
∴∠BEF=∠CFD，
在△BEF和△CFD中，
，
∴△BEF≌△CFD（ASA），
∴BF=CD．
【点评】此题考查了矩形的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解本题的关键．
　
22．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB=AO，求∠ABD的度数．
【考点】矩形的性质．
【分析】首先证明OA=OB，再证明△ABO是等边三角形即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，
∴AO=OB，
∵AB=AO，
∴AB=AO=BO，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠ABD=60°．
【点评】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握矩形的性质是解题的关键，属于基础题，中考常考题型．
　
23．如图，将 ABCD的边AB延长到点E，使BE=AB，连接DE，交边BC于点F．
（1）求证：△BEF≌△CDF；
（2）连接BD、CE，若∠BFD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）先根据平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥CD，再由BE=AB得出BE=CD，根据平行线的性质得出∠BEF=∠CDF，∠EBF=∠DCF，进而可得出结论；
（2）根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，∠A=∠DCB，再由AB=BE，可得CD=EB，进而可判定四边形BECD是平行四边形，然后再证明BC=DE即可得到四边形BECD是矩形
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=CD，AB∥CD．
∵BE=AB，
∴BE=CD．
∵AB∥CD，
∴∠BEF=∠CDF，∠EBF=∠DCF，
在△BEF与△CDF中，
∵，
∴△BEF≌△CDF（ASA）；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，∠A=∠DCB，
∵AB=BE，
∴CD=EB，
∴四边形BECD是平行四边形，
∴BF=CF，EF=DF，
∵∠BFD=2∠A，
∴∠BFD=2∠DCF，
∴∠DCF=∠FDC，
∴DF=CF，
∴DE=BC，
∴四边形BECD是矩形．
【点评】此题主要考查的值矩形的判定及平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对边相等；对角相等；对角线互相平分．
　
24．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积．
【考点】矩形的性质；平行四边形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．
【分析】（1）首先由矩形的性质和折叠的性质证得AB=CD，AD∥BC，∠ANF=90°，∠CME=90°，易得AN=CM，可得△ANF≌△CME（ASA），由平行四边形的判定定理可得结论；
（2）由AB=6，AC=10，可得BC=8，设CE=x，则EM=8﹣x，CM=10﹣6=4，在Rt△CEM中，利用勾股定理可解得x，由平行四边形的面积公式可得结果．
【解答】（1）证明：∵折叠，
∴AM=AB，CN=CD，∠FNC=∠D=90°，∠AME=∠B=90°，
∴∠ANF=90°，∠CME=90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，AD∥BC，
∴AM=CN，
∴AM﹣MN=CN﹣MN，
即AN=CM，
在△ANF和△CME中，
，
∴△ANF≌△CME（ASA），
∴AF=CE，
又∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：∵AB=6，AC=10，∴BC=8，
设CE=x，则EM=8﹣x，CM=10﹣6=4，
在Rt△CEM中，
（8﹣x）2+42=x2，
解得：x=5，
∴四边形AECF的面积的面积为：EC AB=5×6=30．
【点评】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、平行四边形的判定定理和勾股定理等，综合运用各定理是解答此题的关键．
　
25．如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点．
（1）求证：CP=AQ；
（2）若BP=1，PQ=2，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积．
【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）由矩形的性质得出∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，证出∠E=∠F，AE=CF，由ASA证明△CFP≌△AEQ，即可得出结论；
（2）证明△BEP、△AEQ是等腰直角三角形，得出BE=BP=1，AQ=AE，求出PE=BP=，得出EQ=PE+PQ=3，由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出AQ=AE=3，求出AB=AE﹣BE=2，DQ=BP=1，得出AD=AQ+DQ=4，即可求出矩形ABCD的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠E=∠F，
∵BE=DF，
∴AE=CF，
在△CFP和△AEQ中，，
∴△CFP≌△AEQ（ASA），
∴CP=AQ；
（2）解：∵AD∥BC，
∴∠PBE=∠A=90°，
∵∠AEF=45°，
∴△BEP、△AEQ是等腰直角三角形，
∴BE=BP=1，AQ=AE，
∴PE=BP=，
∴EQ=PE+PQ=+2=3，
∴AQ=AE=3，
∴AB=AE﹣BE=2，
∵CP=AQ，AD=BC，
∴DQ=BP=1，
∴AD=AQ+DQ=3+1=4，
∴矩形ABCD的面积=AB AD=2×4=8．
【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
　
26．阅读下面材料：
在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？
小敏在思考问题是，有如下思路：连接AC．
结合小敏的思路作答
（1）若只改变图1中四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题方法解决一下问题：
（2）如图2，在（1）的条件下，若连接AC，BD．
①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；
②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．
【考点】矩形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的判定与性质．
【分析】（1）如图2，连接AC，根据三角形中位线的性质得到EF∥AC，EF=AC，然后根据平行四边形判定定理即可得到结论；
（2）由（1）知，四边形EFGH是平行四边形，且FG=BD，HG=AC，于是得到当AC=BD时，FG=HG，即可得到结论；
（3）根据平行线的性质得到GH⊥BD，GH⊥GF，于是得到∠HGF=90°，根据矩形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：（1）是平行四边形，
证明：如图2，连接AC，
∵E是AB的中点，F是BC的中点，
∴EF∥AC，EF=AC，
同理HG∥AC，HG=AC，
综上可得：EF∥HG，EF=HG，
故四边形EFGH是平行四边形；
（2）AC=BD．
理由如下：
由（1）知，四边形EFGH是平行四边形，且FG=BD，HG=AC，
∴当AC=BD时，FG=HG，
∴平行四边形EFGH是菱形，
（3）当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形；
理由如下：
同（2）得：四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，GH∥AC，
∴GH⊥BD，
∵GF∥BD，
∴GH⊥GF，
∴∠HGF=90°，
∴四边形EFGH为矩形．
【点评】此题主要考查了中点四边形，关键是掌握三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
　
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