2.2轴对称的性质 同步练习(含答案解析)

《2.2
轴对称的性质》
一、选择题
1．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A=78°，∠C′=48°，则∠B的度数为（　　）
A．48°
B．54°
C．74°
D．78°
2．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（　　）
A．40°
B．30°
C．20°
D．10°
3．如图，在△ABC中，AB=AC，AB+BC=8．将△ABC折叠，使得点A落在点B处，折痕DF分别与AB、AC交于点D、F，连接BF，则△BCF的周长是（　　）
A．8
B．16
C．4
D．10
4．P是∠AOB内一点，分别作点P关于直线OA、OB的对称点P1、P2，连接OP1、OP2，则下列结论正确的是（　　）
A．OP1⊥OP2
B．OP1=OP2
C．OP1⊥OP2且OP1=OP2
D．OP1≠OP2
5．如图是经过轴对称变换后所得的图形，与原图形相比（　　）
A．形状没有改变，大小没有改变
B．形状没有改变，大小有改变
C．形状有改变，大小没有改变
D．形状有改变，大小有改变
　
二、填空题
6．成轴对称的两个图形　　．
7．如果两个图形关于某直线成轴对称，那么对称轴是对称点　　的垂直平分线．
8．设A、B两点关于直线MN对称，则　　垂直平分　　．
9．画轴对称图形，首先应确定　　，然后找出　　．
10．如图，如果△ABC沿直线MN折叠后，与△A'B'C完全重合，我们就说△ABC与△A'B'C'关于直线MN　　；直线MN是　　；点A与点A'叫做　　点，图中还有类似的点是　　，图中还有相等的线段和角，分别为　　．
11．如图，Rt△AFC和Rt△AEB关于虚线成轴对称，现给出下列结论：
①∠1=∠2；
②△ANC≌△AMB；
③CD=DN．
其中正确的结论是　　．（填序号）
12．如图，∠A=30°，∠C′=60°，△ABC
与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B=　　．
13．如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C，D分别落在点C′，D′处，C′E交AF于点G，若∠CEF=70°，则∠GFD′=　　°．
　
三、解答题
14．画出如图轴对称图形的对称轴．
15．画出如图图形关于直线l的轴对称图形．
16．画出如图图形关于直线l的轴对称图形．
17．把如图图形补成以直线l为对称轴的轴对称图形．
18．如图，在公路a的同侧，有两个居民小区A、B，现需要在公路边建一个液化气站P，要使液化气站到A、B两小区的距离和最短，这个液化气站应建在哪一处？请在图中作出来．（不写作法）
19．画出下列△ABC关于直线l的轴对称图形．
20．如图，作四边形ABCD关于直线l的轴对称四边形，并回答：如果这两个四边形的原图形与其轴对称图形的对应线段或延长线相交，那么交点位置如何？
　
《2.2
轴对称的性质》
参考答案与试题解析
　
一、选择题
1．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A=78°，∠C′=48°，则∠B的度数为（　　）
A．48°
B．54°
C．74°
D．78°
【考点】轴对称的性质；三角形内角和定理．
【分析】由对称得到∠C=∠C′=48°，由三角形内角和定理得∠B=54°，由轴对称的性质知∠B=∠B′=54°．
【解答】解：∵在△ABC中，∠A=78°，∠C=∠C′=48°，
∴∠B=180°﹣78°﹣48°=54°
∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，
∴∠B=∠B′=54°．
故选B．
【点评】本题考查轴对称的性质及三角形内角和定理；把已知条件转化到同一个三角形中利用内角和求解是正确解答本题的关键．
　
2．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（　　）
A．40°
B．30°
C．20°
D．10°
【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）．
【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠A′DB=∠CA'D﹣∠B，又折叠前后图形的形状和大小不变，∠CA'D=∠A=50°，易求∠B=90°﹣∠A=40°，从而求出∠A′DB的度数．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，
∴∠B=90°﹣50°=40°，
∵将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠CA'D=∠A，
∵∠CA'D是△A'BD的外角，
∴∠A′DB=∠CA'D﹣∠B=50°﹣40°=10°．
故选：D．
【点评】本题考查图形的折叠变化及三角形的外角性质．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．解答此题的关键是要明白图形折叠后与折叠前所对应的角相等．
　
3．如图，在△ABC中，AB=AC，AB+BC=8．将△ABC折叠，使得点A落在点B处，折痕DF分别与AB、AC交于点D、F，连接BF，则△BCF的周长是（　　）
A．8
B．16
C．4
D．10
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】由将△ABC折叠，使得点A落在点B处，折痕DF分别与AB、AC交于点D、F，可得BF=AF，又由在△ABC中，AB=AC，AB+BC=8，易得△BCF的周长等于AB+BC，则可求得答案．
【解答】解：∵将△ABC折叠，使得点A落在点B处，
∴AF=BF，
∵AB=AC，AB+BC=8，
∴△BCF的周长是：BC+CF+BF=BC+CF+AF=BC+AC=BC+AB=8．
故选A．
【点评】此题考查了折叠的性质．此题难度不大，解题的关键是掌握折叠前后图形的对应关系，注意等量代换，注意数形结合思想的应用．
　
4．P是∠AOB内一点，分别作点P关于直线OA、OB的对称点P1、P2，连接OP1、OP2，则下列结论正确的是（　　）
A．OP1⊥OP2
B．OP1=OP2
C．OP1⊥OP2且OP1=OP2
D．OP1≠OP2
【考点】轴对称的性质．
【专题】压轴题．
【分析】作出图形，根据轴对称的性质求出OP1、OP2的数量与夹角即可得解．
【解答】解：如图，∵点P关于直线OA、OB的对称点P1、P2，
∴OP1=OP2=OP，
∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2，
∴∠P1OP2=∠AOP+∠AOP1+∠BOP+∠BOP2，
=2（∠AOP+∠BOP），
=2∠AOB，
∵∠AOB度数任意，
∴OP1⊥OP2不一定成立．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称的性质，是基础题，熟练掌握性质是解题的关键，作出图形更形象直观．
　
5．如图是经过轴对称变换后所得的图形，与原图形相比（　　）
A．形状没有改变，大小没有改变
B．形状没有改变，大小有改变
C．形状有改变，大小没有改变
D．形状有改变，大小有改变
【考点】轴对称的性质．
【分析】根据轴对称不改变图形的形状与大小解答．
【解答】解：∵轴对称变换不改变图形的形状与大小，
∴与原图形相比，形状没有改变，大小没有改变．
故选：A．
【点评】本题考虑轴对称的性质，是基础题，熟记轴对称变换不改变图形的形状与大小是解题的关键．
　
二、填空题
6．成轴对称的两个图形　全等　．
【考点】轴对称的性质．
【分析】根据轴对称图形的性质分别填空得出即可．
【解答】解：成轴对称的两个图形全等．
故答案为：全等．
【点评】此题主要考查了轴对称的性质，正确把握轴对称图的性质是解题关键．
　
7．如果两个图形关于某直线成轴对称，那么对称轴是对称点　连线　的垂直平分线．
【考点】轴对称的性质；线段垂直平分线的性质．
【分析】利用轴对称的性质直接回答即可．
【解答】解：如果两个图形关于某直线成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线．
故答案为：连线．
【点评】本题考查了轴对称的性质及线段的垂直平分线的性质，解题的关键是牢记有关的定义及性质，难度不大．
　
8．设A、B两点关于直线MN对称，则　直线MN　垂直平分　线段AB　．
【考点】轴对称的性质．
【专题】应用题．
【分析】此题考查了轴对称图形的性质2，即：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线（中垂线）．
【解答】解：根据性质2，可知直线MN垂直平分线段AB．
故应填直线MN；线段AB．
【点评】本题考查轴对称的性质与运用，对应点所连的线段被对称轴垂直平分．
　
9．画轴对称图形，首先应确定　对称轴　，然后找出　对称轴点　．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的性质填空．
【解答】解：画轴对称图形，首先应确定
对称轴，然后找出
对称轴点．
故答案是：对称轴；
对称点．
【点评】考查的是作简单平面图形轴对称后的图形，其依据是轴对称的性质，基本作法：①先确定图形的关键点；②利用轴对称性质作出关键点的对称点；③按原图形中的方式顺次连接对称点．
　
10．如图，如果△ABC沿直线MN折叠后，与△A'B'C完全重合，我们就说△ABC与△A'B'C'关于直线MN　对称　；直线MN是　对称轴　；点A与点A'叫做　对称　点，图中还有类似的点是　点B与点B'，点C与点C'　，图中还有相等的线段和角，分别为　AB=A'B'、AC=A'C、BC=B'C；∠A=∠A'、∠B=∠B'、∠C=∠C'　．
【考点】翻折变换（折叠问题）；轴对称的性质．
【分析】折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
【解答】解：∵△ABC沿直线MN折叠后，与△A'B'C完全重合，
∴△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，直线MN是对称轴，点A与点A'叫做对称点；
图中还有类似的点是点B与点B'，点C与点C'；
图中还有相等的线段和角，分别为AB=A'B'、AC=A'C、BC=B'C；∠A=∠A'、∠B=∠B'、∠C=∠C'．
故答案为：对称，对称轴，对称，点B与点B'，点C与点C'，AB=A'B'、AC=A'C、BC=B'C；∠A=∠A'、∠B=∠B'、∠C=∠C'．
【点评】本题主要考查了折叠问题，翻折变换实质上就是轴对称变换．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后的图形全等，对应边和对应角相等．
　
11．如图，Rt△AFC和Rt△AEB关于虚线成轴对称，现给出下列结论：
①∠1=∠2；
②△ANC≌△AMB；
③CD=DN．
其中正确的结论是　①②　．（填序号）
【考点】轴对称的性质．
【分析】首先利用轴对称的性质分别判断正误即可．
【解答】解：①∵Rt△AFC和Rt△AEB关于虚线成轴对称，
∴∠MAD=∠NAD，∠EAD=∠FAD，
∴∠EAD﹣∠MAD=∠FAD﹣∠NAD，
即：∠1=∠2，故正确；
②∵Rt△AFC和Rt△AEB关于虚线成轴对称，
∴∠B=∠C，AC=AB，
在△ANC与△AMB中，
，
∴△ANC≌△AMB，故正确；
③易得：CD=BD，
但在三角形DNB中，DN不一定等于BD，
故错误．
故答案为：①②．
【点评】本题考查轴对称的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
　
12．如图，∠A=30°，∠C′=60°，△ABC
与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B=　90°　．
【考点】轴对称的性质；三角形内角和定理．
【专题】探究型．
【分析】先根据轴对称的性质得出△ABC≌△A′B′C′，由全等三角形的性质可知∠C=∠C′，再由三角形内角和定理可得出∠B的度数．
【解答】解：∵△ABC
与△A′B′C′关于直线l对称，
∴△ABC≌△A′B′C′，
∴∠C=∠C′=60°，
∵∠A=30°，
∴∠B=180°﹣∠A﹣∠C=180°﹣30°﹣60°=90°．
故答案为：90°．
【点评】本题考查的是轴对称的性质及三角形内角和定理，熟知以上知识是解答此题的关键．
　
13．如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C，D分别落在点C′，D′处，C′E交AF于点G，若∠CEF=70°，则∠GFD′=　40　°．
【考点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）．
【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠EFG，再根据平角的定义求出∠EFD，然后根据折叠的性质可得∠EFD′=∠EFD，再根据图形，∠GFD′=∠EFD′﹣∠EFG，代入数据计算即可得解．
【解答】解：矩形纸片ABCD中，AD∥BC，
∵∠CEF=70°，
∴∠EFG=∠CEF=70°，
∴∠EFD=180°﹣70°=110°，
根据折叠的性质，∠EFD′=∠EFD=110°，
∴∠GFD′=∠EFD′﹣∠EFG，
=110°﹣70°，
=40°．
故答案为：40．
【点评】本题考查了平行线的性质，以及折叠变换，根据两直线平行，内错角相等求出∠EFG是解题的关键，另外，根据折叠前后的两个角相等也很重要．
　
三、解答题
14．画出如图轴对称图形的对称轴．
【考点】作图-轴对称变换．
【分析】根据轴对称图形的意义，如果一个图形沿着一条直线对折之后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此解答即可．
【解答】解：如图所示．
【点评】本题考查了轴对称图形的对称轴的确定，根据轴对称图形的对称轴两边的部分关于对称轴折叠能够完全重合作图即可．
　
15．画出如图图形关于直线l的轴对称图形．
【考点】作图-轴对称变换．
【分析】根据轴对称图形的性质分别找出各点关于直线l的对称点，然后顺次连接即可．
【解答】解：如图所示．
【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
　
16．画出如图图形关于直线l的轴对称图形．
【考点】作图-轴对称变换．
【分析】根据轴对称图形的性质分别找出各点关于直线l的对称点，然后顺次连接即可．
【解答】解：如图所示．
【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
　
17．把如图图形补成以直线l为对称轴的轴对称图形．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的特点：沿一条直线对折后，直线两旁的部分能完全重合画图即可．
【解答】解：如图所示：
．
【点评】此题主要考查了作图﹣轴对称变换，其依据是轴对称的性质．
基本作法：①先确定图形的关键点；②利用轴对称性质作出关键点的对称点；③按原图形中的方式顺次连接对称点．
　
18．如图，在公路a的同侧，有两个居民小区A、B，现需要在公路边建一个液化气站P，要使液化气站到A、B两小区的距离和最短，这个液化气站应建在哪一处？请在图中作出来．（不写作法）
【考点】作图—应用与设计作图；轴对称-最短路线问题．
【分析】作A点关于直线a的对称点A′，连接A′B交直线a于点P，此处即为液化气站位置．
【解答】解：如图所示：
，
点P即为所求．
【点评】此题主要考查了垂直平分线的作法以及两点之间线段最短的知识，解答此题的关键是熟知轴对称的性质以及线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等这一性质．
　
19．画出下列△ABC关于直线l的轴对称图形．
【考点】作图-轴对称变换．
【分析】（1）首先确定A、B、C三点关于l的对称点，然后再连接即可；
（2）首先确定A、B、C三点关于l的对称点，然后再连接即可．
【解答】解：如图所示：
．
【点评】此题主要考查了作图﹣﹣轴对称变换，在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：
①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；
③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
　
20．如图，作四边形ABCD关于直线l的轴对称四边形，并回答：如果这两个四边形的原图形与其轴对称图形的对应线段或延长线相交，那么交点位置如何？
【考点】作图-轴对称变换．
【分析】分别得出对应点关于直线l的对称点，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：四边形A′B′C′D′即为所求，
，
这两个四边形的原图形与其轴对称图形的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．
【点评】此题主要考查了轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键．
　
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