课件65张PPT。2.2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系 研究直线与圆的位置关系有两种方法：
(1)几何法：令圆心到直线的距离为d，圆的半径为r.利用d与r的关系判定判断直线与圆的位置关系 (2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一元二次方程，其判别式为Δ.
①Δ＜0? 直线与圆相离；
②Δ=0? 直线与圆相切；
③Δ＞0? 直线与圆相交.【例1】判断下列直线与圆的位置关系，如果有公共点求出它们公共点的坐标.
(1)直线:x+y=0，圆:x2+y2+2x+4y-4=0；
(2)直线:y=x+5，圆:x2+y2+2x-4y+3=0；
(3)直线：x+y=3，圆：x2+y2-4x+2y+4=0.
【审题指导】题中分别给出了直线方程和圆的一般方程，可以用代数法(方程组解的个数)判断位置关系，也可以用几何法(圆心到直线的距离与半径比较)判断.【规范解答】(1)方法一：圆x2+y2+2x+4y-4=0，
方程可化为(x+1)2+(y+2)2=9，圆心坐标为(-1，-2)，
半径为3，圆心到直线的距离
所以直线与圆相交，有两个交点.
由 解得 或
所以直线与圆的两个交点的坐标分别是(-1，1)，(2，-2).方法二:由
消去y得x2-x-2=0.
因为Δ=(-1)2-4×1×(-2)=9＞0，
所以方程组有两解，直线与圆有两个公共点.
以下同方法一.(2)方法一:直线的方程可化为x-y+5=0.
圆的方程可化为(x+1)2+(y-2)2=2，
其圆心坐标为(-1，2)，半径为
圆心到直线的距离
所以直线与圆相切，有一个公共点.
由 解得
所以切点坐标为(-2，3).方法二:由
消去y得x2+4x+4=0.
因为Δ=42-4×1×4=0.
所以直线与圆相切，有1个公共点.
解方程组可得
所以切点坐标为(-2，3).(3)直线方程可化为x+y-3=0.
圆的方程可化为(x-2)2+(y+1)2=1.
其圆心的坐标为(2，-1)，半径为1，圆心到直线的距离
所以直线与圆相离，没有公共点.【变式训练】直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系是( )
(A)相切 (B)相交但直线不过圆心
(C)直线过圆心 (D)相离【解析】选B.方法一：由 消去y整理，得
x2+x=0，即x=0或x=-1，所以直线与圆相交，又圆x2+y2=1的
圆心坐标为(0，0)，且0≠0+1，所以直线不过圆心.
方法二：圆x2+y2=1的圆心坐标为(0，0)，半径长为1，则
圆心到直线y=x+1的距离 因为
所以直线y=x+1与圆x2+y2=1相交但直线不过圆心.1.过圆上一点求圆的切线方程的一般步骤:
(1)求切点与圆心连线的斜率k.
(2)由垂直关系得切线斜率为
(3)代入点斜式方程得切线方程.
当切线方程的斜率k=0或k不存在时，可由图形直接得到切线方程为y=b或x=a.圆的切线方程的求法2.过圆外一点求圆的切线方程的方法:
(1)几何法
设切线方程为y-y0=k(x-x0)，即kx-y-kx0+y0=0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而求出切线方程.
(2)代数法
设切线方程为y-y0=k(x-x0)，即y=kx-kx0+y0，代入圆的方程，得一个关于x的一元二次方程，由Δ=0求得k，切线方程即可求出. 过圆外一点的切线必有两条，当求得一条直线时，另一条一定是斜率不存在的情形.【例2】求过点(1，-7)且与圆x2+y2=25相切的直线方程.
【审题指导】解答此类题目的关键是先判断点与圆的位置关系，在此基础上选择代数法或几何法求切线方程.【规范解答】方法一：由题意知切线斜率存在，设切线的斜率为k，
则切线方程为y+7=k(x-1)，
即kx-y-k-7=0.
解得 或
∴所求切线方程为
或
即4x-3y-25=0或3x+4y+25=0.方法二：由题意知切线斜率存在，设切点为(x0，y0)，
则
解得 或
∴切线方程为4x-3y-25=0或3x+4y+25=0.方法三：由题意知切线斜率存在.
设切线斜率为k，则切线方程为
y+7=k(x-1)，即y=k(x-1)-7，
由 得x2+[k(x-1)-7]2=25，
即(k2+1)x2-(2k2+14k)x+k2+14k+24=0.
∴Δ=(2k2+14k)2-4(k2+1)·(k2+14k+24)=0.
解得 或
∴所求切线方程为 或
即4x-3y-25=0或3x+4y+25=0.【互动探究】把题设中的“点(1，-7)”换成“点(0，5)”，求相应问题.
【解题提示】先判断点与圆的位置关系，然后求解.
【解析】∵点(0，5)恰好在圆x2+y2=25上，
∴过该点的圆的切线方程有且只有一条.
而直线y=5恰好满足题意，故该圆的切线方程为y=5. 弦长问题的求解策略
思路一(代数法)：解直线和圆的相交弦问题，常常采用联立
方程组，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用弦长公
式 (或 )求解.
思路二(几何法)：直线和圆相交求弦长，可用圆心到直线的
距离d、半径r及半弦长 组成的直角三角形求解.
解有关直线与圆的弦长问题一般用几何法.与弦长有关的问题【例3】直线x-2y+5=0与圆x2+y2=8相交于A、B两点，则|AB|=__________.
【审题指导】(代数法)：联立直线x-2y+5=0与圆x2+y2=8的方程消元得到关于x的一元二次方程，利用弦长公式
求解；
(几何法)：求圆心到直线的距离d，利用d、半径r及半弦长
组成的直角三角形解出|AB|.【规范解答】方法一:设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由 消去y得 5x2+10x-7=0.
由根与系数的关系得方法二:因为圆心到直线的距离
所以
答案： 【变式训练】在圆x2+y2-2x-6y=0内，过点E(0，1)的最长弦与最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )【解析】选B.∵圆x2+y2-2x-6y=0可化为(x-1)2+(y-3)2=10.设圆心为M，则M(1，3)，半径 如图，由题意：
AC⊥BD，且BE=DE，
∴BD所在直线方程为
即x+2y-2=0，在Rt△MED中DE2=MD2-ME2=【例】直线l经过点P(5，5)，并和圆C：x2+y2=25相交，截得
弦长为 求l的方程.
【审题指导】当直线l的斜率不存在时，l:x=5与圆C相切，
所以直线l的斜率存在，可设直线l的方程为y-5=k(x-5)，根
据弦长 如果联立方程组，求交点A、B坐标，计
算量较大，通常在这里可采取“设而不求”的方法.【规范解答】据题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y-5=k(x-5)与圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，如图所示，|OH|是圆心到直线l的距离，|OA|是圆的半径，|AH|是弦长|AB|的一半，在Rt△AHO中，
|OA|=5，
解得 或k=2.
∴直线l的方程为x-2y+5=0或2x-y-5=0.【变式备选】已知圆C的圆心与点P(-2，1)关于直线y=x+1对称.直线3x+4y-11=0与圆C相交于A、B两点，且|AB|=6，则圆C的方程为__________.【解析】由于(-2，0)关于直线y=x对称的点为(0，-2)，所以点(-2，1)关于直线y=x+1的对称点坐标为(0，-1)，
即所求圆心为(0，-1)，此点到直线3x+4y-11=0的距离为
由勾股定理求出圆的半径为 所以圆的方程
为x2+(y+1)2=18.
答案：x2+(y+1)2=18【典例】(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，求实数c的取值范围.
【审题指导】该类问题属于“圆定直线变”的问题，求解时应充分结合圆的对称性及数形结合的思想.由题意分析，可把问题转化为坐标原点到直线的距离小于1，从而求出c的取值范围. 【规范解答】如图，圆x2+y2=4的半径为2，圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，问题转化为坐标原点(0，0)到直线12x-5y+c=0的距离小于1.
……………………………………………………………6分
…………………………………………8分
即|c|＜13，
∴-13＜c＜13. …………………………………………12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】讨论直线y=x+b与曲线 的交点个数.
【解题提示】 表示一个半圆，利用数形结合的思想求解.【解析】如图所示，在坐标系内作出曲线 的图
象(半圆).直线l1:y=x-2， 直线l2:
当直线l3:y=x+b夹在l1与l2之间(包括l1、l2)时，l3与曲线
有公共点.进一步观察交点的个数，可有如下结
论:(1)当b＜-2或 时，直线y=x+b与曲线 无公共点；
(2)当-2≤b＜2或 时，直线y=x+b与曲线
仅有一个公共点；
(3)当 时，直线y=x+b与曲线 有两个
公共点.1.直角坐标平面内，过点P(2，1)且与圆x2+y2=4相切的直线
( )
(A)有两条 (B)有且仅有一条
(C)不存在 (D)不能确定
【解析】选A.可以判断点P在圆外，因此，过点P与圆相切的直线有两条.2.过点P(0，1)与圆x2+y2-2x-3=0相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是( )
(A)x=0 (B)y=1
(C)x+y-1=0 (D)x-y+1=0
【解析】选C.点P(0，1)在圆x2+y2-2x-3=0内，圆心为
C(1，0)，截得的弦最长时的直线为CP，方程是
即x+y-1=0.3.设直线l过点(-2，0)，且与圆x2+y2=1相切，则l的斜率是
( )
【解析】选C.由题意知直线l的斜率存在，设直线的方程为
y=k(x+2)，直线l与圆x2+y2=1相切可得
解得 ∴斜率为4.直线 被圆x2+y2-6x-2y-15=0所截得的弦长等于__________.
【解析】由题可知圆的圆心为(3，1)，半径r=5，圆心到直线的距离 所以直线被圆所截得的弦长等于
答案： 5.以点(2，-1)为圆心且与直线x+y=6相切的圆的方程是___________.
【解析】将直线x+y=6化为x+y-6=0，圆的半径
所以圆的方程为
答案：6.已知直线l:3x+4y-12=0与圆C:x2+y2+2x-4y+1=0，试判断它们的公共点的个数.
【解析】圆的方程可化为(x+1)2+(y-2)2=4，
其圆心为C(-1，2)，半径为2.
圆心到直线的距离
故直线与圆的公共点有2个 .一、选择题(每题4分，共16分)
1.若圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴相切于原点，则( )
(A)D=E=0，F≠0 (B)E=F=0，D≠0
(C)D=F=0，E≠0 (D)F=0，D＝0
【解析】选C.∵圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴相切于原点，2.若圆心在x轴上，半径为 的圆O位于y轴左侧，且与直线x+2y=0相切，则圆O的方程是( )
(A)(x- )2+y2=5 (B)(x+ )2+y2=5
(C)(x-5)2+y2=5 (D)(x+5)2+y2=5
【解题提示】由切线的性质：圆心到切线的距离等于半径求解.【解析】选D.设圆心为(a，0)(a＜0)，则
解得a=-5，
所以，所求圆的方程为:(x+5)2+y2=5，故选D.3.由点P(-1，4)向圆x2+y2-4x-6y+12=0引的切线长是( )
(A)3 (B) (C) (D)5
【解析】选A.圆的方程可化为(x-2)2+(y-3)2=1，
则点P(-1，4)到圆心的距离为
∴由点P向圆引的切线长为4.直线y=x+b与曲线 有且仅有一个公共点，则实数b的取值范围是( )
(A)b= (B)-1(C)-1≤b≤1 (D)-【解析】选B.曲线 表示
半圆，如图，作半圆的切线l1
和经过端点A，B的直线l3，l2，
由图可知，当直线y=x+b位于
l2和l3之间时，满足题意.
∴-1而l1与半圆相切，此时可求得
因此b的取值范围是-1直线与圆的一部分有交点时，如果采用代数法去研究，则消元以后转化成了给定区间的二次方程根的分布问题，求解过程相对复杂，而如果采用数形结合及直线与圆的几何法求解，先找出边界，然后结合直线或圆的变化特征求解，相对来说就简单得多了.二、填空题(每题4分，共8分)
5.若直线l过点 且被圆x2+y2=25截得的弦长为8，
直线l的方程是 __________.
【解析】当l的斜率不存在时，其方程为x=-3，显然其截圆
得的弦长为8，符合题意.当l的斜率存在时，设l的方程为
即
由题意可知 解得
即此时l的方程为3x+4y+15=0.
答案：x=-3或3x+4y+15=06.已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的
交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆C的方程为____.
【解析】由题意可得圆心(-1，0)，圆心到直线x+y+3=0的
距离即为圆的半径，故 所以圆的方程为
(x+1)2+y2=2.
答案： (x+1)2+y2=2三、解答题(每题8分，共16分)
7.求过点A(2，4)向圆x2+y2=4所引的切线方程.【解析】因为该点在圆外，设直线斜率为k，则直线的方程为y-4=k(x-2)，即kx-y+4-2k=0，
所以 解得
所以直线方程为:3x-4y+10=0.
又当直线的斜率不存在时x=2也满足题意.
故所求直线的方程为3x-4y+10=0或x=2.
【误区警示】本题在求解直线方程时常因思维不全面而漏掉直线方程x=2.8.已知方程：x2+y2-2mx+2(m-2)y=0.
(1)求半径最小时圆的方程；
(2)判断直线3x+4y-2=0与(1)中圆的位置关系.【解析】(1)原方程可化为
(x-m)2+(y+m-2)2=2(m-1)2+2，
∴当m=1时，半径最小.
此时圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.
(2) 圆心(1，1)到直线3x+4y-2=0的距离为
所以直线和圆相交.【挑战能力】
(10分)已知圆C：x2+y2-8y+12=0，直线l：ax+y+2a=0.
(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；
(2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且 时，
求直线l的方程.【解析】将圆C:x2+y2-8y+12=0化为标准方程为x2+(y-4)2=4，则圆C的圆心为(0，4)，半径为2.
(1)若直线l与圆C相切则有 解得
(2)过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，得
解得a=-7或-1.
∴直线l的方程为7x-y+14=0或x-y+2=0.课件68张PPT。2.2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系1.两圆位置关系的判断方法
(1)几何法：解题步骤
①计算两圆的半径r1，r2；
②计算r1+r2，｜r1-r2｜；
③计算两圆的圆心距d；
④比较d与r1+r2，｜r1-r2｜的大小关系；
⑤给出两圆的位置关系.判断两圆的位置关系 (2)代数法：解题步骤
①联立方程得方程组；
②消元得到关于x或y的一元二次方程；
③计算判别式Δ；
④由判别式Δ＞0得两圆相交；由判别式Δ=0得两圆内切或外切；由判别式Δ＜0得两圆外离或内含.2.判断两圆位置关系应注意的问题
(1)两圆没有公共点不一定外离，也可能内含；
(2)两圆有且仅有一个公共点不一定外切，也可能内切.
由于代数法运算量比较大运用不方便，所以一般用几何法来判断两圆的位置关系.【例1】已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0，与圆C2:x2+y2+2x=0.
(1)当m=1时，圆C1与圆C2什么关系？
(2)是否存在m使得圆C1与圆C2内含？
【审题指导】(1)参数m的值已知，求解时可先找出圆心及半径，然后比较两圆的圆心距d与r1+r2，|r1-r2|的大小关系.(2)假设存在m使得圆C1与圆C2内含，则圆心距d＜｜r1-r2｜.【规范解答】(1)∵m=1，∴两圆的方程分别可化为：
C1:(x-1)2+(y+2)2=9.
C2:(x+1)2+y2=1.
两圆的圆心距
又∵r1+r2=3+1=4，r1-r2=3-1=2，
∴r1-r2＜d＜r1+r2，
所以圆C1与圆C2相交.(2)假设存在m使得圆C1与圆C2内含，
则
即(m+1)2＜0，显然不等式无解.
故不存在m使得圆C1与圆C2内含.【互动探究】在题设条件不变的情况下，问：m=4时，圆C1与圆C2什么关系？
【解题提示】求解时可先找出圆心及半径，然后比较两圆的圆心距d与r1+r2，|r1-r2|的大小关系.【解析】∵m=4，∴两圆的方程分别可化为：
C1:(x-4)2+(y+2)2=9，
C2:(x+1)2+y2=1.
两圆的圆心距
又∵r1+r2=3+1，
∴d＞r1+r2
所以圆C1与圆C2相外离. 两圆相交公共弦所在的直线方程及弦长的求法
(1)可先求得两圆的公共点，进而求得公共弦所在的直线方程，利用两点间距离公式求弦长.
此法易懂，但计算较繁琐，一般选用下面的方法.与两圆的公共弦相关的问题(2)设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0，
圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0，
联立方程组
①-②得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0 ③若两圆交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，可知点A，B的坐标满足方程①，②，同时也满足③，而二元一次方程与直线间的关系又是一一对应的，故③就是过两圆交点的直线方程.求得公共弦所在的直线方程后，可根据弦心距、半径、公共弦的一半所在的直角三角形求公共弦长.【例2】求两圆x2+y2-2x+10y-24=0和x2+y2+2x+2y-8=0的公共弦所在的直线方程及公共弦长.
【审题指导】将两圆方程相减，先得到公共弦所在直线的方程，再将两圆相交问题转化为直线与圆的相交问题求得公共弦长.也可以利用圆的半径长、弦心距及弦长的一半组成直角三角形这一性质求解.【规范解答】联立两圆的方程得方程组
①-②得x-2y+4=0，
此即为两圆公共弦所在直线的方程.方法一：设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组
解得 或
所以
即公共弦长为 方法二：由x2+y2-2x+10y-24=0，
得(x-1)2+(y+5)2=50，
其圆心坐标为(1，-5)，半径为
圆心到直线x-2y+4=0的距离为
设公共弦长为2l，由勾股定理得r2=d2+l2，
即 解得 故公共弦长【变式训练】过点P(2，3)向圆O：x2+y2=1作两条切线PA、PB，则弦AB所在的直线方程为___________.
【解析】由题意知：A、B在以OP为直径的圆上，则圆的方
程为
即x2+y2-2x-3y=0 ①
又x2+y2=1 ②
由②-①得2x+3y=1.
答案：2x+3y=1 过两圆的交点的圆系方程的设法
(1)过两圆交点的圆的方程的求法，可联立两个圆的方程，求出两交点的坐标，再由一个独立的条件，代入圆的一般方程求解.过两圆交点的圆系方程(2)过两圆fi(x，y)=x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0(i=1，2)的交点的圆系方程可设为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+ E2y+F2)=0 (λ≠-1)，即f1(x，y)+λf2(x，y)=0(λ≠-1)(*).
利用过两圆的交点的圆系方程f1(x，y)+ λf2(x，y)=0(λ≠-1)求圆的方程时，要验证λ=-1的情形.【例3】求圆心在直线x-y-4=0上，且经过两圆x2+y2-4x-6=0和x2+y2-4y-6=0交点的圆的方程.
【审题指导】思路一：先求两圆的交点坐标，再设出圆心坐标，根据圆心到两圆交点的距离相等求得参数的值，进而写出圆的方程.
思路二：直接设过交点的圆系方程x2+y2-4x-6+λ(x2+y2-4y-6)=0，然后把方程转化成一般式，把圆心坐标代入
x-y-4=0中，求λ的值.【规范解答】方法一：由
得 或
即两圆的交点坐标为A(-1，-1)，B(3，3).
设所求圆的圆心坐标C为(a，a-4)，由题意可知
|CA|=|CB|，即
解得a=3，∴C(3，-1)，
所以，所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=16.方法二：设经过两圆交点的圆系方程为
x2+y2-4x-6+λ(x2+y2-4y-6)=0(λ≠-1)，
即
∴圆心坐标为
又∵圆心在直线x-y-4=0上，
即
∴所求圆的方程为x2+y2-6x+2y-6=0.【互动探究】在题设不变的情况下，求两圆公共弦所在的直线方程.
【解析】联立两圆的方程
①-②得：y-x=0
两圆公共弦所在的直线方程为y-x=0. 涉及圆与圆相关的轨迹求法
①建立适当的坐标系
②利用圆与圆的位置关系建立等量关系
③对上述等量关系化简
④明确曲线形式，并验证范围的有效性.
轨迹与轨迹方程是不同的，前者是图形后者是方程.与圆有关的轨迹问题【例】已知点F(0，1)，一动圆过点F且与圆x2+(y+1)2=8内切.
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；
(2)设点A(a，0)，点P为曲线C上任一点，求点A到点P距离的最大值d(用a表示).
【审题指导】(1)从题目可得到以下信息：
①动圆过点F；②与圆x2+(y+1)2=8内切，解答本题的关键是通过内切建立等量关系，并适当注意半径间的关系；(2)建立最值函数，利用函数思想求点A到点P距离的最大值的表达式.【规范解答】(1)设圆心坐标为C(x，y)，则动圆的半径为
又动圆与x2+(y+1)2=8内切，
所以有
化简得2x2+y2=2
所以动圆圆心轨迹C的方程为2x2+y2=2.(2)设P(x，y)，
则｜PA｜2=(x-a)2+y2=(x-a)2+2-2x2
=-(x+a)2+2a2+2，
令f(x)=-(x+a)2+2a2+2，x∈[-1，1]，
所以，当-a＜-1，即a＞1时f(x)在[-1，1]上是减函数，[f(x)]max=f(-1)=(a+1)2；
当-1≤-a≤1，即-1≤a≤1时，f(x)在[-1，-a]上是增函数，在[-a，1]上是减函数，
则[f(x)]max=f(-a)=2a2+2；
当-a＞1，即a＜-1时，f(x)在[-1，1]上是增函数，[f(x)]max=f(1)=(a-1)2.
所以，【变式备选】如图所示，圆O1与圆O2的半径都等于1，|O1O2|=4，过动点P分别作圆O1，圆O2的切线PM，PN(M，N为切点)，使得 试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.【解析】以O1O2的中点O为原点，
O1O2所在直线为x轴，O1O2的中垂
线为y轴建立如图所示的平面直
角坐标系，
则O1(-2，0)，O2(2，0).
由已知 得|PM|2=2|PN|2，又因为两圆的半径均为1，
所以|PO1|2-1=2(|PO2|2-1).
设P(x，y)，则(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1]，
即(x-6)2+y2=33，
所以所求动点P的轨迹方程为
(x-6)2+y2=33(或x2+y2-12x+3=0).【典例】(12分)求半径为4，与圆x2+y2-4x-2y-4=0相切，且和直线y＝0相切的圆的方程．
【审题指导】利用与直线y=0相切可知，圆心纵坐标为4或 -4，设出圆的方程，利用两圆相切，要分内切和外切两种情况，求得圆心横坐标，写出圆的方程．【规范解答】由题意，设所求圆C的方程为(x-a)2+
(y-b)2=16，因为圆C与直线y＝0相切，且半径为4，故b=±4，所以圆心坐标为C(a，4)或(a，－4)．又已知圆的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=9，则圆心坐标为A(2，1)，半径为3.若两圆相切，则|CA|=4+3=7，或|CA|=4-3=1.
……………………………………………………………2分①当取C(a，4)时，(a-2)2+(4-1)2=72或(a-2)2+(4-1)2=12
(无解)，故 此时圆的方程为
…………………………………………………6分
②当取C(a，－4)时，(a-2)2+(-4-1)2=72或(a-2)2+
(-4-1)2=12(无解)，故 此时圆的方程为
…………………………………………………10分综上，所求圆的方程为
…………………………………………………………12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】圆O1的方程为：x2+(y+1)2=4，圆O2的圆心坐标为(2，1).
(1)若圆O1与圆O2相外切，求圆O2的方程；
(2)若圆O1与圆O2相交于A、B两点，且 求圆O2的方程.
【解题提示】(1)利用圆与圆的位置关系求圆O2的半
径，进而求出圆的方程.(2)利用 求圆O2的半径，
进而求出圆的方程.【解析】(1)∵圆O1的方程为：x2+(y+1)2=4，
∴圆心O1(0，-1)，半径r1=2.设圆O2的半径为r2，由两圆外切知｜O1O2｜=r1+r2.
又
∴圆O2的方程为(2)设圆O2的方程为
又圆O1的方程为：x2+(y+1)2=4，
两方程的二次项系数相同，
两式相减得两圆公共弦AB所在的直线方程为：
4x+4y+r22-8=0，作O1H⊥AB于H，
则∵r1=2，
又
得r22=4或r22=20.
圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=4
或(x-2)2+(y-1)2=20.1.圆(x-1)2+(y-2)2=5与圆(x-1)2+(y+1)2=1的位置关系是
( )
(A)相离 (B)相外切
(C)相交 (D)相内切
【解析】选C.由题意可知r1-r2＜d=3＜r1+r2，所以两圆相交.2.两圆x2+y2-2y-3=0与x2+y2+2x=0的公共弦所在的直线方程为( )
(A)2x-2y－3＝0 (B)2x-2y+3=0
(C)2x+2y+3=0 (D)2x+2y-3=0
【解析】选C.联立 两方程相减得
2x+2y+3=0，选C.3.已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1，圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称，则圆C2的方程为( )
(A)(x+2)2+(y-2)2=1 (B)(x-2)2+(y+2)2=1
(C)(x+2)2+(y+2)2=1 (D)(x-2)2+(y-2)2=1
【解析】选B.设圆C2的圆心为(a，b)，则依题意，有
解得： 对称圆的半径不变，
故选B.4.圆x2+y2=4与圆x2+(y+m)2=9相外切，则实数m=________.
【解析】由题意可知｜m｜=2+3，∴m=±5.
答案：±55.两圆x2+y2-10x-10y=0与x2+y2+6x+2y-40=0的公共弦长为__________.
【解析】两圆的方程可分别化为：(x-5)2+(y-5)2=50， (x+3)2+(y+1)2=50.由于两圆是等圆且圆心距
由圆的几何性质可得，公共弦长等于
答案：106.判断下列两圆的位置关系.
(1)(x+2)2+(y-2)2=1与(x-2)2+(y-5)2=16；
(2)x2+y2+6x-7=0与x2+y2+6y-27=0.【解析】(1)圆心(-2，2)，(2，5)，半径r1=1，r2=4，
圆心距
r1+r2=5.
∴d=r1+r2，∴两圆外切.
(2)圆心(-3，0)，(0，-3)，半径r1=4，r2=6，
圆心距
r1+r2=10，r2-r1=2.
∵21.圆C1:x2+y2-1=0和圆C2:x2+y2-4x+2y-4=0的位置关系是
( )
(A)内切 (B)外离
(C)外切 (D)相交
【解析】选D.两圆的方程可化为C1:x2+y2=1，C2:(x-2)2+ (y+1)2=9，∵3-1＜d= ＜3+1，∴两圆相交，选D.2.两圆相交于点A(1，3)，B(m，-1)，两圆的圆心均在直线x-y+c=0上，则m+c的值为( )
(A)-1 (B)2 (C)3 (D) 0
【解析】选C.由圆的几何性质可知，A，B两点关于直线
x-y+c=0对称， 解得
∴m+c=3.3.已知圆x2+y2=4与圆x2+y2-6x+6y+14=0关于直线l对称，则直线l的方程是( )
(A)x-2y+1=0 (B)2x-y-1=0
(C)x-y+3=0 (D)x-y-3=0
【解析】选D.两圆关于直线l对称，则直线l为两圆圆心连线的垂直平分线. 【方法技巧】直线与圆的对称问题
解答此类问题的通法是求两圆心连线的中垂线，即先计算两圆心连线的斜率，再求其中点坐标，利用点斜式得出方程.在本题的求解过程中，考虑到两圆关于l对称，结合对称原理易知其半径必相等，故而采用两圆相减得公共弦的原理，探求两等圆的对称轴方程，实际上当两圆相切时，两圆相减得到的是公切线方程，学习中应注意积累这些知识.4.设集合A={(x，y)|x2＋y2≤4}， B={(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2(r＞0)}，当A∩B=B时，r的取值范围是( )
(A)(0， ) (B)(0，1]
(C)(0， ] (D)( ]
【解题提示】明确两集合的含义，由 A∩B=B可知两圆内含或内切.【解析】选C.∵A={(x，y)|x2＋y2≤4}，B={(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2(r＞0)}均表示圆及其内部的点，由A∩B=B可知
两圆内含或内切. 即二、填空题(每题4分，共8分)
5.以点(-3，4)为圆心且与圆x2+y2=4相外切的圆的标准方程是__________.
【解析】设所求圆的标准方程为(x+3)2+(y-4)2=r2(r>0)，
由两圆相外切可知
故所求圆的标准方程为(x+3)2+(y-4)2=9.
答案：(x+3)2+(y-4)2=96.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦的长为
则a=__________.
【解析】x2+y2+2ay-6=0的半径为 由圆的几何性质
可知 解之得a=1.
答案：1三、解答题(每题8分，共16分)
7.求经过两圆(x+3)2+y2=13和x2+(y+3)2=37的交点，且圆心在直线x－y－4=0上的圆的方程．【解析】设所求圆的方程为：
(x+3)2+y2-13+λ[x2+(y+3)2－37]＝0，
即
所以圆心坐标为
因为圆心在x-y-4=0上，
所以 所以λ＝-7，
所以圆方程是：x2+y2-x+7y-32=0.【挑战能力】
(10分)已知半径为5的动圆C的圆心在直线l:x-y+10=0上.
(1)若动圆C过点(-5，0)，求圆C的方程；
(2)是否存在正实数r，使得动圆C中满足与圆O:x2+y2=r2相外切的圆有且仅有一个，若存在，请求出来；若不存在，请说明理由.【解析】(1)依题意，可设动圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=25，其中圆心(a，b)满足a-b+10=0.
又∵动圆过点(-5，0)，∴(-5-a)2+(0-b)2=25.
解方程组
可得 或
故所求圆C的方程为(x+10)2+y2=25
或(x+5)2+(y-5)2=25.(2)圆O的圆心(0，0)到直线l的距离
当r满足r+5＜d时，动圆C中不存在与圆O:x2+y2=r2相外切的
圆；
当r满足r+5＞d时，r每取一个数值，动圆C中存在两个圆与
圆O:x2+y2=r2相外切；
当r满足r+5=d，即 时，动圆C中有且仅有1个圆与
圆O:x2+y2=r2相外切.
综上可知，存在 满足条件.
