1.4 空间图形基本关系与公理 课件1
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课件76张PPT。1.4.1 空间图形基本关系的认识 1.4.2 空间图形的公理(公理1、2、3) 文字语言、图形语言、符号语言的特点及相互关系
(1)符号语言简洁，层次感强，应用方便.
(2)文字语言比较自然、生动，它能将问题所研究的对象的含义更加明白地叙述出来，因此教科书中的概念、定理、公理等多以文字语言叙述.文字语言、图形语言、符号语
言的相互转化(3)图形语言易引起清晰的视觉形象，它能直观地表达概念、公理、定理的本质及相互关系，在抽象的数学思维面前起着具体化和加深理解的作用.【例1】依据下列数学符号语言画出图形：
(1)α∩β=l， m α ，n β ， m∥l， n∥l；
(2)α∩β=l，直线PO α，直线PO∩直线l=O，直线
PA∩β=A，直线PB∩β=B；
(3)α∩β=a，△ABC的三个顶点满足条件A∈a，B∈α，
B a，C∈β，C a.
【审题指导】先从总体分析可知：三个小题中都有两个平面相交，再从局部分析两个平面交线及平面内点、线的位置，按由总体到局部的顺序作图.【规范解答】
(1)(2)
(3)【变式训练】试用数学符号语言表示下列图形中点、线、面之间的位置关系.【解析】(1)α∩β=m，n∩α=A，n∩β=B，A m，B m.
(2)α∩β=l，a α，b β，a∩l=P，b∩l=P.1.证明共面问题的依据
(1)公理2是确定平面的依据.它提供了把空间问题转化为平面问题的条件.共面问题(2)公理2的三个推论
推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面；
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面；
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.2.解决线共面问题的基本方法：
在空间图形中确定平面，把立体几何问题转化为平面几何问题，是解决立体几何问题的常用方法.【例2】已知A、B、C、D、E五点，A、B、C、D共面，B、C、D、E共面，则A、B、C、D、E五点一定共面吗？
【审题指导】本题是一个开放性问题，由A、B、C、D共面，B、C、D、E共面可考虑分B、C、D三点不共线和B、C、D三点共线两类讨论.【规范解答】(1)如果B、C、D三点不共线，则它们确定一个平面α.因为A、B、C、D共面，所以点A在平面α内.因为B、C、D、E共面，所以点E在平面α内，所以点A、E都在平面α内，即A、B、C、D、E五点一定共面.
(2)如果B、C、D三点共线于l，若A∈l，E∈l，则A、B、C、D、E五点一定共面.若A，E有且只有一个在l上，则A、B、C、D、E五点一定共面.若A，E都不在l上，则A、B、C、D、E五点可能不共面.【变式训练】已知:a∥b∥c，l∩a=A，l∩b=B，l∩c=C.
求证:直线a、b、c和l共面.
【解题提示】由a∥b知a和b确定一个平面，由b∥c知b和c确定另一个平面，这两个平面内都有直线l和直线b，由公理2的推论知这两个平面重合.【证明】∵a∥b，∴直线a与b确定一个平面，设为α，
∵l∩a=A，l∩b=B，
∴A∈a，B∈b，则A∈α，B∈α.
而A∈l，B∈l，∴由公理1可知：l α.
∵b∥c，∴直线b与c确定一个平面，设为β，
同理可知l β.∴平面α和平面β都包含直线b与l，
且l∩b=B.
又∵经过两条相交直线，有且只有一个平面，
∴平面α与平面β重合，
∴直线a，b，c和l共面.1.证明点共线与线共点的问题的理论依据
(1)证明点共线与线共点的实质都是要证明点在直线上.
(2)公理3是证明点在直线上的主要方法，其基本理论是把直线看作两平面的交线，点看作是两平面的公共点.可用数学符号表示为若α∩β=l，A∈α，A∈β，则A∈l.点共线与线共点的问题2.证明若干点共线的思路
找出两个平面的交线，然后证明各个点都是这两个平面的公共点.
3.证明若干直线共点的思路
先证两条直线交于一点，再证明其他直线经过该点，把问题转化为证明点在直线上的问题.【例3】如图，空间四边形ABCD中，
E、H分别是AB、AD的中点，F、G分
别是BC、CD上的点，且
求证：三条直线EF、GH、AC交于一
点.
【审题指导】要证三条直线EF、GH、AC交于一点，可先证直线EF与GH交于一点P，然后再证该交点P在直线AC上.【规范解答】∵E、H分别是AB、AD的中点，
∴EH∥BD，
∴EH∥GF且EH≠GF，
∴四边形EFGH为梯形，
∴两腰EF、GH交于一点P.∵EF 平面ABC，
∴P∈平面ABC，同理P∈平面ADC，
∴P在平面ADC和平面ABC的交线AC上，
∴三条直线EF、GH、AC交于一点.【变式训练】如图，已知在四边
形ABCD中，AB∥CD，AB、BC、CD、
DA所在直线分别与平面α交于E、
G、F、H，求证：E、G、F、H四点
共线.
【解题提示】证明本题可设法证明点E、F、G、H既在
平面α内又在直线AB和直线CD确定的平面内.【证明】∵AB∥CD，
∴AB与CD确定一个平面β.
∵点E、F、G、H分别在直线AB、CD、BC、AD上，
∴点E、F、G、H都在β内.
又∵点E、F、G、H都在α内，
∴点E、F、G、H在α与β的交线上.
又∵两个有公共点的不重合的平面有且只有一条交线，
故E、G、F、H四点共线.1.作两个平面的交线的基本思路
由公理3可知作两个平面的交线，只要确定这两个平面的两个公共点就可以解决了.
2.作某几何体的截面的基本思路
(1)利用公理2确定截面位置.
(2)利用公理3画截面与几何体表面的交线.截面及平面与平面交线的画法【例】如图所示，G是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1延长线上一点，E、F是棱AB、BC的中点.试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线.
(1)过点G及AC； (2)过三点E、F、D1.【审题指导】画截面的本质是确定截面与正方体表面的交线，也就是要确定截面与正方体表面的两个公共点.
【规范解答】(1)画法：连接GA交A1D1于点M，连接GC交C1D1于点N；连接MN、AC，则MA、CN、MN、AC为所求平面与正方体表面的交线.如图①所示.(2)画法：连接EF交DC的延长线于点P，交DA的延长线于点Q；连接D1P交CC1于点M，连接D1Q交AA1于点N；连接MF、NE，则D1M、MF、FE、EN、ND1为所求平面与正方体表面的交线.如图②所示.【变式备选】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为CC1和AA1的中点，请你画出平面BED1F与平面ABCD的交线.【解析】画法：延长D1F，使D1F与DA的延长线交于点G，连接BG，BG即为平面ABCD与平面BED1F的
交线.
证明：在平面ADD1A1中，
∵AF∥DD1且
∴D1F与DA延长后应交于一点，
设为G，即有D1F∩DA=G.∵D1F 平面BED1F，G∈D1F，
∴G∈平面BED1F.
又DA 平面ABCD，G∈DA，∴G∈平面ABCD.
∴点G是平面ABCD与平面BED1F的公共点，
即点G在两个平面的交线上，从而可知直线BG是平面ABCD与平面BED1F的交线.【典例】(12分)如图所示，正方
体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是
A1B1和B1C1的中点.问：
(1)AM和CN是否是异面直线？
(2)D1B和CC1是否是异面直线？
请说明理由.
【审题指导】根据异面直线的定义判定两条直线异面，比较困难.通常选取一个平面作为衬托，进行判断.【规范解答】(1)不是异面直线.理由如下：连接A1C1、AC、MN，……………………………………………………1分
∵在△A1B1C1中，M、N分别是A1B1和B1C1的中点，
∴MN是△A1B1C1的中位线，
∴MN∥A1C1. ………………………………………………2分又∵A1A∥D1D，A1A＝D1D，D1D∥C1C，D1D＝C1C，
∴A1A∥C1C，A1A＝C1C，∴四边形A1ACC1是平行四边形，
……………………………………………………………4分
∴A1C1∥AC，得到MN∥AC，
∴A、M、N、C在同一个平面内，故AM、CN不是异面直线.
……………………………………………………………6分(2)是异面直线.理由如下：……………………………7分
∵直线CC 平面BB1C1C，………………………………8分
直线D1B∩平面BB1C1C=B， ……………………………10分
且B 直线CC1，
∴D1B与CC1是异面直线. ……………………………… 12分【误区警示】在解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】如图，空间四边形ABCD中，
求证：对角线AC与BD为异面直线.
【证明】∵直线BC和直线CD相交，
可以确定一个平面，记此平面为α，
则直线BD α，
又∵直线AC∩α=C且C 直线BD，
∴AC与BD为异面直线.1.用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是
( )
(A)A∈l，l α (B)A∈l，l α
(C)A l，l α (D)A l，l α
【解析】选A.集合观点下表示点、线、面的位置关系.点与线、点与面是元素与集合的关系，直线与平面是集合与集合的关系，故A正确.2.下列图形中不一定是平面图形的是( )
(A)三角形 (B)四边相等的四边形
(C)梯形 (D)平行四边形
【解析】选B.由互相平行的两条直线确定一个平面知C、D是平面图形，由相交的两条直线确定一个平面知A是平面图形，四边相等的四边形可能是空间四边形，故B不一定是平面图形.3.如图在四面体中，若直线EF和GH相交，
则它们的交点一定( )
(A)在直线DB上
(B)在直线AB上
(C)在直线CB上
(D)在直线AC上 【解析】选D.设直线EF∩直线GH=P，
则P∈直线EF 平面ABC，
P∈直线GH 平面ACD.
又平面ABC∩平面ACD=直线AC，
所以由公理3知P∈直线AC.4.对于结论“若a α且a∩b=P，则P∈α”，用文字语言
可以叙述为__________.
【解析】若直线a在平面α内且直线a与直线b相交于一点P，则点P一定在平面α内.
答案:若直线a与直线b相交于一点P且直线a在平面α内，则点P一定在平面α内5.画出满足下列条件的图形：
(1)三个平面：一个水平，一个竖直，一个倾斜；
(2)α∩β=l，直线AB α，AB∥l，E∈直线AB，直线
EF∩β=F，F l.【解析】(1)
(2) 一、选择题(每题4分，共16分)
1.下列叙述中错误的是( )
(A)若P∈α∩β且α∩β=l，则P∈l
(B)三点A，B，C只能确定一个平面
(C)若直线a∩b=A，则直线a与b能够确定一个平面
(D)若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，则l α
【解析】选B.只有不共线的三个点才能确定一个平面，因此B错误.由公理1知D正确，由两条相交直线可以确定一个平面的推论知C正确，由公理3知A正确.2.以下叙述正确的有( )
(1)若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面
(2)依次首尾相接的四条线段必共面.
(3)空间四点A、B、C、D共面但不共线，则AB、BC、CD、DA四条直线中总有两条直线平行.
(4)空间四点A、B、C、D共面但不共线，则AB与CD必相交.
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个【解析】选A.(1)错误.因为共面不具有传递性.
(2)错误.依次首尾相接的四条线段可形成空间四边形，不一定共面.
(3)错误.若空间四点A、B、C、D共面但不共线，则AB，BC，CD，DA有可能两两相交.
(4)错误.若空间四点A、B、C、D共面但不共线，则AB与CD可以平行.3．下列说法正确的是( )
(A)平面α和平面β只有一个公共点
(B)两两相交的三条直线必共面
(C)不共面的四点中，任何三点不共线
(D)有三个公共点的两平面必重合【解析】选C.两平面若有公共点，则有无数个，故A错误；两两相交的三条直线若交于一点(如同一顶点正方体的三条棱)，可能不共面，故B错误；C正确，因为四点中若有三点共线，则与第四个点确定一个平面，这与四点不共面矛盾；D错误，因为有三个公共点的平面可能相交.4.已知α，β，γ是平面，a，b，c是直线，α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c，若a∩b=P，则( )
(A)P∈c (B)P c
(C)c∩a=? (D)c∩β=?
【解题提示】根据题目条件推断P∈α，P∈γ，进而由公理3推出P在α与γ的交线上.
【解析】选A.∵a∩b=P，∴P∈a且P∈b.
又∵a α，b γ，∴P∈α且P∈γ.
又∵α∩γ=c，∴P∈c. 二、填空题(每题4分，共8分)
5.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
下列叙述正确的是____________.
(1)直线AC1 平面CC1B1B；
(2)设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心
分别为O、O1，则平面AA1C1C∩平面BB1D1D=OO1；(3)点A、O、C只能确定一个平面；
(4)由点A、C1、B1确定的平面是ADC1B1；
(5)由点A、C1、B1确定的平面和由点A、C1、D确定的平面是同一平面.【解析】(1)错误.若直线AC1 平面CC1B1B，则A∈平面CC1B1B，这与正方体中A 平面CC1B1B矛盾；
(2)正确.因为O、O1是这两个平面的两个公共点；
(3)错误.因为点A、O、C在一条直线上；(4)正确.因为点A、C1、B1不共线，所以确定一个平面α.又因为AB1C1D是平行四边形，过AD与B1C1两平行线确定一个平面β，又α，β都过不共线三点A，C1，B1，所以α与β重合，所以点D∈平面AC1B1，即A、C1、B1确定的平面是ADC1B1；
(5)正确.原因类似(4).
答案: (2)(4)(5)6.将正方体纸盒展开(内表面如图所示)，关于直线BM、ED、CN、DN、BE的叙述正确的是__________.
(1)BM与ED平行；
(2)CN与BM是异面直线；
(3)CN与BE是异面直线；
(4)DN与BM是异面直线.【解析】把平面图形还原为正方体
如图所示，正确的是(2)(4)，观察
图形，根据两直线平行或异面的定
义可知，BM与ED是异面直线，CN与
BE平行，故(1)(3)错误.
答案:(2)(4) 【误区警示】解答本题容易出现以下错误：(1)还原为正方体时，各点在正方体中的位置出错.(2)对异面直线的判定方法不熟，而导致错误.三、解答题(每题8分，共16分)
7.如图，在
△ABC中，若AB、BC在平面α内，判
断AC是否在平面α内.
【解析】AC在平面α内，
∵AB在平面α内，∴A在平面α内，又∵BC在平面α内，
∴C在平面α内.∴点A、C都在平面α内，
∴直线AC在平面α内.8.已知，α∩β=m，b α，
C β，b∩m=A，c∥m，
求证： b，c是异面直线．【证明】假设b与c共面，则b∥c或b与c相交．
①若b∥c，由c∥m得m，b平行，这与m∩b=A矛盾.
②若b与c相交，不妨设c∩b=B，∵c β，b α，
故B∈β，B∈α，故B必在α、β的交线m上，即m与c相交
于点B，这与m∥c矛盾，故b与c不相交．
综合①②知，b与c是异面直线． 【方法技巧】巧证两条直线异面
(1)用定义证明：此时需要反证法，假设两条直线不异面，
根据空间两条直线的位置关系，这两条直线一定共面，即
这两条直线可能相交也可能平行，然后推导出矛盾，说明
相交和平行都不成立.
(2)用重要结论证明：用该法证明时，必须阐述清楚此结论
满足的条件：a α，A α，B∈α，B a，然后推导出
直线a与AB是异面直线.【挑战能力】
(10分)如图，定线段AB所在的直线与
定平面α相交，交点为O，P为定直线
外一点，P α，直线AP、BP与平面
α分别相交于A′，B′，试问，如果P
点任意移动，直线A′B′是否恒过一
定点，请说明理由.【解析】随着P点移动，直线A′B′恒过定点O，O为直线AB与平面α的交点.理由如下：
直线AB和直线外一点P可确定平面β，因为AP∩α=A′，BP∩α=B′，所以α∩β=A′B′，而AB∩α=O，所以O一定在交线A′B′上，即直线A′B′恒过定点O.
(1)符号语言简洁，层次感强，应用方便.
(2)文字语言比较自然、生动，它能将问题所研究的对象的含义更加明白地叙述出来，因此教科书中的概念、定理、公理等多以文字语言叙述.文字语言、图形语言、符号语
言的相互转化(3)图形语言易引起清晰的视觉形象，它能直观地表达概念、公理、定理的本质及相互关系，在抽象的数学思维面前起着具体化和加深理解的作用.【例1】依据下列数学符号语言画出图形：
(1)α∩β=l， m α ，n β ， m∥l， n∥l；
(2)α∩β=l，直线PO α，直线PO∩直线l=O，直线
PA∩β=A，直线PB∩β=B；
(3)α∩β=a，△ABC的三个顶点满足条件A∈a，B∈α，
B a，C∈β，C a.
【审题指导】先从总体分析可知：三个小题中都有两个平面相交，再从局部分析两个平面交线及平面内点、线的位置，按由总体到局部的顺序作图.【规范解答】
(1)(2)
(3)【变式训练】试用数学符号语言表示下列图形中点、线、面之间的位置关系.【解析】(1)α∩β=m，n∩α=A，n∩β=B，A m，B m.
(2)α∩β=l，a α，b β，a∩l=P，b∩l=P.1.证明共面问题的依据
(1)公理2是确定平面的依据.它提供了把空间问题转化为平面问题的条件.共面问题(2)公理2的三个推论
推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面；
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面；
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.2.解决线共面问题的基本方法：
在空间图形中确定平面，把立体几何问题转化为平面几何问题，是解决立体几何问题的常用方法.【例2】已知A、B、C、D、E五点，A、B、C、D共面，B、C、D、E共面，则A、B、C、D、E五点一定共面吗？
【审题指导】本题是一个开放性问题，由A、B、C、D共面，B、C、D、E共面可考虑分B、C、D三点不共线和B、C、D三点共线两类讨论.【规范解答】(1)如果B、C、D三点不共线，则它们确定一个平面α.因为A、B、C、D共面，所以点A在平面α内.因为B、C、D、E共面，所以点E在平面α内，所以点A、E都在平面α内，即A、B、C、D、E五点一定共面.
(2)如果B、C、D三点共线于l，若A∈l，E∈l，则A、B、C、D、E五点一定共面.若A，E有且只有一个在l上，则A、B、C、D、E五点一定共面.若A，E都不在l上，则A、B、C、D、E五点可能不共面.【变式训练】已知:a∥b∥c，l∩a=A，l∩b=B，l∩c=C.
求证:直线a、b、c和l共面.
【解题提示】由a∥b知a和b确定一个平面，由b∥c知b和c确定另一个平面，这两个平面内都有直线l和直线b，由公理2的推论知这两个平面重合.【证明】∵a∥b，∴直线a与b确定一个平面，设为α，
∵l∩a=A，l∩b=B，
∴A∈a，B∈b，则A∈α，B∈α.
而A∈l，B∈l，∴由公理1可知：l α.
∵b∥c，∴直线b与c确定一个平面，设为β，
同理可知l β.∴平面α和平面β都包含直线b与l，
且l∩b=B.
又∵经过两条相交直线，有且只有一个平面，
∴平面α与平面β重合，
∴直线a，b，c和l共面.1.证明点共线与线共点的问题的理论依据
(1)证明点共线与线共点的实质都是要证明点在直线上.
(2)公理3是证明点在直线上的主要方法，其基本理论是把直线看作两平面的交线，点看作是两平面的公共点.可用数学符号表示为若α∩β=l，A∈α，A∈β，则A∈l.点共线与线共点的问题2.证明若干点共线的思路
找出两个平面的交线，然后证明各个点都是这两个平面的公共点.
3.证明若干直线共点的思路
先证两条直线交于一点，再证明其他直线经过该点，把问题转化为证明点在直线上的问题.【例3】如图，空间四边形ABCD中，
E、H分别是AB、AD的中点，F、G分
别是BC、CD上的点，且
求证：三条直线EF、GH、AC交于一
点.
【审题指导】要证三条直线EF、GH、AC交于一点，可先证直线EF与GH交于一点P，然后再证该交点P在直线AC上.【规范解答】∵E、H分别是AB、AD的中点，
∴EH∥BD，
∴EH∥GF且EH≠GF，
∴四边形EFGH为梯形，
∴两腰EF、GH交于一点P.∵EF 平面ABC，
∴P∈平面ABC，同理P∈平面ADC，
∴P在平面ADC和平面ABC的交线AC上，
∴三条直线EF、GH、AC交于一点.【变式训练】如图，已知在四边
形ABCD中，AB∥CD，AB、BC、CD、
DA所在直线分别与平面α交于E、
G、F、H，求证：E、G、F、H四点
共线.
【解题提示】证明本题可设法证明点E、F、G、H既在
平面α内又在直线AB和直线CD确定的平面内.【证明】∵AB∥CD，
∴AB与CD确定一个平面β.
∵点E、F、G、H分别在直线AB、CD、BC、AD上，
∴点E、F、G、H都在β内.
又∵点E、F、G、H都在α内，
∴点E、F、G、H在α与β的交线上.
又∵两个有公共点的不重合的平面有且只有一条交线，
故E、G、F、H四点共线.1.作两个平面的交线的基本思路
由公理3可知作两个平面的交线，只要确定这两个平面的两个公共点就可以解决了.
2.作某几何体的截面的基本思路
(1)利用公理2确定截面位置.
(2)利用公理3画截面与几何体表面的交线.截面及平面与平面交线的画法【例】如图所示，G是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1延长线上一点，E、F是棱AB、BC的中点.试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线.
(1)过点G及AC； (2)过三点E、F、D1.【审题指导】画截面的本质是确定截面与正方体表面的交线，也就是要确定截面与正方体表面的两个公共点.
【规范解答】(1)画法：连接GA交A1D1于点M，连接GC交C1D1于点N；连接MN、AC，则MA、CN、MN、AC为所求平面与正方体表面的交线.如图①所示.(2)画法：连接EF交DC的延长线于点P，交DA的延长线于点Q；连接D1P交CC1于点M，连接D1Q交AA1于点N；连接MF、NE，则D1M、MF、FE、EN、ND1为所求平面与正方体表面的交线.如图②所示.【变式备选】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为CC1和AA1的中点，请你画出平面BED1F与平面ABCD的交线.【解析】画法：延长D1F，使D1F与DA的延长线交于点G，连接BG，BG即为平面ABCD与平面BED1F的
交线.
证明：在平面ADD1A1中，
∵AF∥DD1且
∴D1F与DA延长后应交于一点，
设为G，即有D1F∩DA=G.∵D1F 平面BED1F，G∈D1F，
∴G∈平面BED1F.
又DA 平面ABCD，G∈DA，∴G∈平面ABCD.
∴点G是平面ABCD与平面BED1F的公共点，
即点G在两个平面的交线上，从而可知直线BG是平面ABCD与平面BED1F的交线.【典例】(12分)如图所示，正方
体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是
A1B1和B1C1的中点.问：
(1)AM和CN是否是异面直线？
(2)D1B和CC1是否是异面直线？
请说明理由.
【审题指导】根据异面直线的定义判定两条直线异面，比较困难.通常选取一个平面作为衬托，进行判断.【规范解答】(1)不是异面直线.理由如下：连接A1C1、AC、MN，……………………………………………………1分
∵在△A1B1C1中，M、N分别是A1B1和B1C1的中点，
∴MN是△A1B1C1的中位线，
∴MN∥A1C1. ………………………………………………2分又∵A1A∥D1D，A1A＝D1D，D1D∥C1C，D1D＝C1C，
∴A1A∥C1C，A1A＝C1C，∴四边形A1ACC1是平行四边形，
……………………………………………………………4分
∴A1C1∥AC，得到MN∥AC，
∴A、M、N、C在同一个平面内，故AM、CN不是异面直线.
……………………………………………………………6分(2)是异面直线.理由如下：……………………………7分
∵直线CC 平面BB1C1C，………………………………8分
直线D1B∩平面BB1C1C=B， ……………………………10分
且B 直线CC1，
∴D1B与CC1是异面直线. ……………………………… 12分【误区警示】在解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】如图，空间四边形ABCD中，
求证：对角线AC与BD为异面直线.
【证明】∵直线BC和直线CD相交，
可以确定一个平面，记此平面为α，
则直线BD α，
又∵直线AC∩α=C且C 直线BD，
∴AC与BD为异面直线.1.用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是
( )
(A)A∈l，l α (B)A∈l，l α
(C)A l，l α (D)A l，l α
【解析】选A.集合观点下表示点、线、面的位置关系.点与线、点与面是元素与集合的关系，直线与平面是集合与集合的关系，故A正确.2.下列图形中不一定是平面图形的是( )
(A)三角形 (B)四边相等的四边形
(C)梯形 (D)平行四边形
【解析】选B.由互相平行的两条直线确定一个平面知C、D是平面图形，由相交的两条直线确定一个平面知A是平面图形，四边相等的四边形可能是空间四边形，故B不一定是平面图形.3.如图在四面体中，若直线EF和GH相交，
则它们的交点一定( )
(A)在直线DB上
(B)在直线AB上
(C)在直线CB上
(D)在直线AC上 【解析】选D.设直线EF∩直线GH=P，
则P∈直线EF 平面ABC，
P∈直线GH 平面ACD.
又平面ABC∩平面ACD=直线AC，
所以由公理3知P∈直线AC.4.对于结论“若a α且a∩b=P，则P∈α”，用文字语言
可以叙述为__________.
【解析】若直线a在平面α内且直线a与直线b相交于一点P，则点P一定在平面α内.
答案:若直线a与直线b相交于一点P且直线a在平面α内，则点P一定在平面α内5.画出满足下列条件的图形：
(1)三个平面：一个水平，一个竖直，一个倾斜；
(2)α∩β=l，直线AB α，AB∥l，E∈直线AB，直线
EF∩β=F，F l.【解析】(1)
(2) 一、选择题(每题4分，共16分)
1.下列叙述中错误的是( )
(A)若P∈α∩β且α∩β=l，则P∈l
(B)三点A，B，C只能确定一个平面
(C)若直线a∩b=A，则直线a与b能够确定一个平面
(D)若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，则l α
【解析】选B.只有不共线的三个点才能确定一个平面，因此B错误.由公理1知D正确，由两条相交直线可以确定一个平面的推论知C正确，由公理3知A正确.2.以下叙述正确的有( )
(1)若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面
(2)依次首尾相接的四条线段必共面.
(3)空间四点A、B、C、D共面但不共线，则AB、BC、CD、DA四条直线中总有两条直线平行.
(4)空间四点A、B、C、D共面但不共线，则AB与CD必相交.
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个【解析】选A.(1)错误.因为共面不具有传递性.
(2)错误.依次首尾相接的四条线段可形成空间四边形，不一定共面.
(3)错误.若空间四点A、B、C、D共面但不共线，则AB，BC，CD，DA有可能两两相交.
(4)错误.若空间四点A、B、C、D共面但不共线，则AB与CD可以平行.3．下列说法正确的是( )
(A)平面α和平面β只有一个公共点
(B)两两相交的三条直线必共面
(C)不共面的四点中，任何三点不共线
(D)有三个公共点的两平面必重合【解析】选C.两平面若有公共点，则有无数个，故A错误；两两相交的三条直线若交于一点(如同一顶点正方体的三条棱)，可能不共面，故B错误；C正确，因为四点中若有三点共线，则与第四个点确定一个平面，这与四点不共面矛盾；D错误，因为有三个公共点的平面可能相交.4.已知α，β，γ是平面，a，b，c是直线，α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c，若a∩b=P，则( )
(A)P∈c (B)P c
(C)c∩a=? (D)c∩β=?
【解题提示】根据题目条件推断P∈α，P∈γ，进而由公理3推出P在α与γ的交线上.
【解析】选A.∵a∩b=P，∴P∈a且P∈b.
又∵a α，b γ，∴P∈α且P∈γ.
又∵α∩γ=c，∴P∈c. 二、填空题(每题4分，共8分)
5.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
下列叙述正确的是____________.
(1)直线AC1 平面CC1B1B；
(2)设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心
分别为O、O1，则平面AA1C1C∩平面BB1D1D=OO1；(3)点A、O、C只能确定一个平面；
(4)由点A、C1、B1确定的平面是ADC1B1；
(5)由点A、C1、B1确定的平面和由点A、C1、D确定的平面是同一平面.【解析】(1)错误.若直线AC1 平面CC1B1B，则A∈平面CC1B1B，这与正方体中A 平面CC1B1B矛盾；
(2)正确.因为O、O1是这两个平面的两个公共点；
(3)错误.因为点A、O、C在一条直线上；(4)正确.因为点A、C1、B1不共线，所以确定一个平面α.又因为AB1C1D是平行四边形，过AD与B1C1两平行线确定一个平面β，又α，β都过不共线三点A，C1，B1，所以α与β重合，所以点D∈平面AC1B1，即A、C1、B1确定的平面是ADC1B1；
(5)正确.原因类似(4).
答案: (2)(4)(5)6.将正方体纸盒展开(内表面如图所示)，关于直线BM、ED、CN、DN、BE的叙述正确的是__________.
(1)BM与ED平行；
(2)CN与BM是异面直线；
(3)CN与BE是异面直线；
(4)DN与BM是异面直线.【解析】把平面图形还原为正方体
如图所示，正确的是(2)(4)，观察
图形，根据两直线平行或异面的定
义可知，BM与ED是异面直线，CN与
BE平行，故(1)(3)错误.
答案:(2)(4) 【误区警示】解答本题容易出现以下错误：(1)还原为正方体时，各点在正方体中的位置出错.(2)对异面直线的判定方法不熟，而导致错误.三、解答题(每题8分，共16分)
7.如图，在
△ABC中，若AB、BC在平面α内，判
断AC是否在平面α内.
【解析】AC在平面α内，
∵AB在平面α内，∴A在平面α内，又∵BC在平面α内，
∴C在平面α内.∴点A、C都在平面α内，
∴直线AC在平面α内.8.已知，α∩β=m，b α，
C β，b∩m=A，c∥m，
求证： b，c是异面直线．【证明】假设b与c共面，则b∥c或b与c相交．
①若b∥c，由c∥m得m，b平行，这与m∩b=A矛盾.
②若b与c相交，不妨设c∩b=B，∵c β，b α，
故B∈β，B∈α，故B必在α、β的交线m上，即m与c相交
于点B，这与m∥c矛盾，故b与c不相交．
综合①②知，b与c是异面直线． 【方法技巧】巧证两条直线异面
(1)用定义证明：此时需要反证法，假设两条直线不异面，
根据空间两条直线的位置关系，这两条直线一定共面，即
这两条直线可能相交也可能平行，然后推导出矛盾，说明
相交和平行都不成立.
(2)用重要结论证明：用该法证明时，必须阐述清楚此结论
满足的条件：a α，A α，B∈α，B a，然后推导出
直线a与AB是异面直线.【挑战能力】
(10分)如图，定线段AB所在的直线与
定平面α相交，交点为O，P为定直线
外一点，P α，直线AP、BP与平面
α分别相交于A′，B′，试问，如果P
点任意移动，直线A′B′是否恒过一
定点，请说明理由.【解析】随着P点移动，直线A′B′恒过定点O，O为直线AB与平面α的交点.理由如下：
直线AB和直线外一点P可确定平面β，因为AP∩α=A′，BP∩α=B′，所以α∩β=A′B′，而AB∩α=O，所以O一定在交线A′B′上，即直线A′B′恒过定点O.