1.4.2 空间图形的公理 课件1
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课件74张PPT。1.4.2 空间图形的公理(公理4、定理) 对公理4的理解
(1)本质：表明了空间中线线平行的传递性.
(2)作用：公理4给出了空间两条直线平行的一种证明方法.它是论证平行问题的主要依据之一，也是研究空间两直线的位置关系、直线与平面位置关系的基础.公理4的应用(3)应用：“等角定理”的证明是公理4的直接应用.
(4)关键：寻找第三条直线分别与前两条直线平行是应用公理4证明线线平行的关键.也就是说，要证空间中的两直线平行，就要找一条与之平行的直线，利用传递性证明.
平面几何中的结论推广到空间之后，未必成立，其正确性是需要证明的，这一点在今后的学习中要特别注意.【例1】空间四边形ABCD中，E、F、G、
H分别为AB、BC、CD、AD上的点且
请回答并证明当空间
四边形ABCD的四条边及点G、H
(1)满足什么条件时，四边形EFGH为平行四边形？
(2)满足什么条件时，四边形EFGH为菱形？【审题指导】由 可想到利用平行线分线段成
比例定理证明EF∥AC；为使四边形EFGH为平行四边形，根
据公理4需证明GH AC；为使四边形EFGH为菱形，在(1)成
立的情况下，还需证明EH=EF，进一步可得AC、BD的关系.【规范解答】(1)当 时，四边形EFGH为平行四边形.
理由：
若
则HG∥AC且 ∴EF HG，
∴四边形EFGH为平行四边形.∥(2)当 且 时，
四边形EFGH为菱形.
理由：由(1)知，若
则四边形EFGH为平行四边形.
且
若 则
∴平行四边形EFGH为菱形.【互动探究】在本例中若条件不变，请回答下列问题并证明
(1)满足什么条件时，四边形EFGH为矩形；
(2)满足什么条件时，四边形EFGH为正方形.
【解题提示】解答本题一方面要应用公理4证明平行关系，另一方面要利用异面直线所成角的定义证明垂直关系.【解析】(1)当 且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形.
理由：由例题知 时，四边形EFGH为平行四边
形，
且EF∥HG∥AC，EH∥GF∥BD.
∴当AC⊥BD时，EF⊥EH，
∠HEF为90°.
∴四边形EFGH为矩形.(2)当 且AC⊥BD时，四边形EFGH为正方形.
理由：由例题(2)及上面所得(1)可知.
由 可知四边形EFGH为平行四边形.
由 及AC⊥BD得四边形EFGH为正方形.【例】如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，
AE=A1E1，AF=A1F1，P∈E1F1，(1)过P作
一条直线与棱CD平行，说明作法；
(2)求证：EF E1F1.
【审题指导】在空间中作已知直线的平行线，通常要考虑
用公理4；要证EF E1F1，只需证明四边形EFF1E1是平行四边形即可.【规范解答】(1)如图，
在平面A1B1C1D1内过P作
直线l∥C1D1，∵CD∥C1D1，
∴l∥CD，故l为所求作直线. (2)连接EE1，FF1.
∵AE A1E1，∴四边形AEE1A1为平行四边形，
∴AA1 E1E，同理AA1 F1F，
∴EE1 F1F，即四边形EFF1E1为平行四边形，
∴EF E1F1.【变式备选】如图所示，E、F分别是
长方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1A、C1C的
中点.
求证：四边形B1EDF是平行四边形.【证明】设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1，
∵E是AA1的中点，
∴EQ A1D1，
又在矩形A1B1C1D1中，A1D1 B1C1，
∴EQ B1C1，
∴四边形EQC1B1为平行四边形，
∴B1E C1Q.又∵Q、F分别是DD1、C1C两边的中点，
∴QD C1F.
∴四边形DQC1F为平行四边形，
∴C1Q DF.
又∵B1E C1Q，
∴B1E DF，
∴四边形B1EDF是平行四边形.【误区警示】证明此类问题时，同学们容易出现证明过程太简单，推理依据不充足，“想当然”地认为结论成立的情况，这种思维定势是学好立体几何的障碍之一. 对“等角定理”的理解
(1)本质：“等角定理”是平面几何中等角定理的类比推广.
(2)作用：①解决空间中角的平移的问题.②揭示空间中两条边对应平行的两个角的大小关系.“等角定理”的应用 (3)两个推论：
推论1 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相同.
推论2 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且有一组对边方向相同，另一组对边方向相反，那么这两个角互补.【例2】如图所示，在正方体ABCD
-A1B1C1D1 中，E、F、E1、F1分别
为所在边的中点.
求证：(1)EF E1F1；
(2)∠EA1F=∠E1CF1.
【审题指导】空间中证明线线平行，线段与线段长度相等，可以利用平行关系和线段长度关系的传递性，选择“中间线段”证明.空间中证明角与角相等，可以利用“等角定理”分别证明角的两条边分别平行，再结合图形得证.【规范解答】(1)连接BD、B1D1，
∵E、F分别为AD、AB的中点，
∴在△ABD中有EF∥BD，
且
∵E1 、F1分别为B1C1、C1D1的中点，∴在△C1D1B1中有E1F1∥B1D1且
而在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，BB1 DD1，
∴四边形BB1D1D为平行四边形.
∴BD∥B1D1且BD=B1D1.
∴EF E1F1.(2)取A1B1的中点M，连接BM，F1M，则
又BF∥A1M，∴BF A1M，
∴四边形A1FBM为平行四边形.∴A1F∥BM.
而F1，M分别为C1D1，A1B1的中点，
则F1M C1B1，而C1B1 CB，
∴F1M∥BC且F1M=BC，
∴四边形F1MBC是平行四边形，
∴BM∥CF1，又BM∥A1F，∴A1F∥CF1.同理取A1D1的中点N，连接DN，E1N，则A1N DE，
∴四边形A1NDE是平行四边形，∴A1E∥DN.
易得E1N∥CD且E1N=CD，
∴四边形E1NDC是平行四边形.
∴DN∥CE1，∴A1E∥CE1，
∴∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行，
结合图形可知∠EA1F=∠E1CF1.【变式训练】如图，正方体ABCD
-A1B1C1D1中，E、F、G分别是棱CC1、
BB1、DD1的中点，
求证：∠BGC=∠FD1E.
【证明】∵E、F、G分别是棱CC1、
BB1、DD1的中点，∴CE GD1，BF GD1.
∴四边形CED1G与四边形BFD1G均是平行四边形.
∴GC∥D1E，GB∥D1F.
∴结合图形可知∠BGC=∠FD1E. 利用定义法求异面直线所成的角的一般步骤求异面直线所成的角 求异面直线所成的角的关键是“作角”，而“作角”的关键是恰当地利用平面几何中有关线线平行的结论作“辅助线”.【例3】如图，正方体ABCD-A1B1C1D1
中，E，F分别为A1B1，B1C1的中点，
求异面直线DB1与EF所成的角的大小.
【审题指导】求异面直线所成的角关
键在于“作角”，也就是利用平面几何知识作平行线，因此通常要把有关线段看作某三角形或平行四边形中的边.【规范解答】方法一：
如图，连接A1C1，B1D1，并设它
们相交于点O，取DD1的中点G，
连接OG.则OG∥B1D，EF∥A1C1
∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所
成的角或其补角.
∵GA1=GC1，O为A1C1的中点，∴GO⊥A1C1，
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.方法二:如图，在原正方体的右侧补上一个全等的正方体，连接B1Q，则B1Q∥EF.于是，直线DB1与B1Q所成的较小的角就是异面直线DB1与EF所成的角，通过计算可知B1D2+B1Q2=DQ2，从而异面直线DB1与EF所成的角为90°.【变式训练】如图，棱长为2
的正方体ABCD-A1B1C1D1 中E、
F分别是A1B1、AB的中点，求
异面直线A1F与CE所成的角的正
切值.
【解题提示】解答本题可先在正方形AA1B1B中过点E作A1F的平行线，作出异面直线A1F与CE所成的角，然后在Rt△BCE中，计算所求角的正切值.【解析】连接BE，∵正方体ABCD-A1B1C1D1 中E、F分别是A1B1、AB的中点，
∴A1E∥BF，A1E=BF，
∴四边形A1EBF是平行四边形，
∴A1F∥BE，
∴∠BEC为异面直线A1F与CE所成的
角或其补角.
∵正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为2，
BE⊥BC，∵BC=2，
∴∠BEC为异面直线A1F与CE所成的角，
∴异面直线A1F与CE所成的角的正切值为【典例】(12分)在正方体ABCD-
A1B1C1D1 中，点P在线段AD1上移动，
求异面直线CP与BA1所成的角θ的取
值范围.
【审题指导】由于线段CP的端点P在线段AD1上移动，所以应该过点C作辅助线平行直线A1B，作出异面直线CP与BA1所成的角θ，然后根据P点的变化，确定θ的取值范围.【规范解答】连接D1C，AC，
……………………2分
∵正方体ABCD-A1B1C1D1
中A1D1 AD BC，
∴四边形A1BCD1是平行
四边形，……………4分∴A1B∥CD1， ……………………………………………6分
∴异面直线CP与BA1所成的角θ即为∠D1CP，…………8分
由图可知CD1∥A1B，CA与A1B异面，当点P在线段AD1上移动时，0°<∠D1CP≤∠ACD1，
∴0°<θ≤60°. ………………………………………12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】如图，空间四边形ABCD
中，两条对边AB=CD=3，E、F分别是
另外两条对边AD、BC上的点，且
求AB和CD所成
的角的大小.【解析】如图过E作EO∥AB，
交BD于点O.连接OF，
又
∴OF∥CD.
∴∠EOF(或其补角)是AB和CD所成的角.在△EOF中，
又
∴EF2=OE2+OF2，
∴∠EOF=90°.
即异面直线AB和CD所成的角为90°.1. a，b， c 为三条不重合的直线，如果 a ⊥c， b ⊥c ，则 a， b的位置关系必定是( )
(A)相交 (B)平行
(C)异面 (D)以上答案都不对
【解析】选D. 若a ⊥c， b ⊥c，则a与b相交，异面，平行都有可能. 2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，面对角线中与AD1成60°的有
( )
(A)4条 (B)6条
(C)8条 (D)10条【解析】选C.如图所示在正方体ABCD-
A1B1C1D1中，△AD1B1是等边三角形，故
B1D1，AB1与AD1所成的角是60°，同理
△ACD1也是等边三角形，AC，CD1与
AD1也成60°角，则在面对角线中，与
AC，CD1，B1D1，AB1分别平行的对角线与AD1也成60°角.3.如图，平面α与平面β相交于EF，
C∈EF，C′∈EF，AC α，
A′C′ α，BC β，B′C′ β
且AC∥A′C′， BC∥B′C′，
∠C=120°，∠C′=__________.
【解析】结合图形，AC∥A′C′，BC∥B′C′，根据等角定理，有∠C′=∠C=120°.
答案：120°4.在四棱锥P-ABCD中，PA⊥AB，底面ABCD是平行四边形，则PA与CD所成的角是___________.【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB∥CD，
∴∠PAB是PA与CD所成的角.
又∵PA⊥AB，∴∠PAB=90°.
答案：90°5.如图，已知长方体ABCD-
EFGH中，
AE=2，
(1)求BC和EG所成的角.
(2)求AE和BG所成的角是多少度？【解析】(1)∵GF∥BC，
∴∠EGF(或其补角)为BC和EG所成的角.
在Rt△EFG中，易知∠EGF = 45°，
∴BC和EG所成的角是45°.
(2)∵BF∥AE ，
∴∠FBG(或其补角)为AE和BG所成的角.
在Rt△BFG中，易知∠FBG = 60°，
∴AE和BG所成的角是60°.一、选择题(每题4分，共16分)
1.已知a、b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b( )
(A)一定是异面直线 (B)一定是相交直线
(C)不可能是平行直线 (D)不可能是相交直线
【解析】选C.若c∥b，由公理4，∵c∥a，
∴a∥b，与a、b是异面直线矛盾.
∴c与b不可能平行.2．教室内有一把直尺，无论怎样放置，地面上总有这样的直线与该直尺所在直线( )
(A)平行 (B)垂直
(C)相交但不垂直 (D)异面
【解析】选B.直尺所在直线与地面有三种位置关系(1)直线与地面相交，A错，(2)直线与地面平行，C错，(3)直线在地面内，D错，这三种情况下地面上总有直线与直尺所在直线垂直.3.如图，
长方体ABCD-A′B′C′D′中截
去一部分，其中EH∥A′D′，
剩下的几何体是( )
(A)直五棱柱 (B)四棱台
(C)正五棱柱 (D)五棱锥 【解题提示】解答本题要紧扣棱柱、棱锥、棱台的定义判断，同时注意几何体观察角度的变化.
【解析】选A.把五边形ABFEA′和DCGHD′视为底面，由长方体的结构特征知剩余的几何体是直五棱柱.4.过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所在直线所成的角都相等，这样的直线l可以作( )
(A)1条 (B)2条
(C)3条 (D)4条【解析】选D.如图所示，AC1，AE，AF，AG都与棱AB，AD，AA1所成的角相等.二、填空题(每题4分，共8分)
5. 四面体PABC中，PA⊥BC，E、F分别为PC、AB上任一点，若EF与PA、BC所成的角分别为α、β，则α+β=_________.【解析】本题可利用特例法.如图，
若E、F分别为PC、AB中点时，
取AC中点M，连接EM、FM，
∴EM∥PA，FM∥BC.
∵PA⊥BC，∴∠FEM=α，
∠EFM=β，EM⊥FM，
∴α+β=90°.
答案：90°6.在四面体SABC中，SA⊥BC且 SA=BC，E， F分别为SC、AB 的中点，那么异面直线EF与SA 所成的角等于__________.【解析】取AC的中点D，连接DE、DF，
∵E， F分别为SC、AB 的中点，
∴DE∥SA，DF∥BC，
∴∠DEF为异面直线EF与SA 所成的角.
∵SA⊥BC，∴∠EDF=90°.
又∵SA=BC且∴DE=DF，∴△DEF是等腰直角三角形，
∴∠DEF=45°，即异面直线EF与SA 所成的角为45°.
答案：45° 【方法技巧】求异面直线所成角的诀窍
(1)平移方法：①中位线平移法.②平行四边形性质平移法.③补形平移法.
(2)平移直线是寻找两条异面直线所成角的过程，线的平移是在某个平面中进行的，该面的特点：①该平面包含其中一条异面直线，②该平面与另一条异面直线平行.
(3)求角或求角的三角函数值的一般步骤：①构造三角形，②解三角形求角或求角的三角函数值.三、解答题(每题8分，共16分)
7.如图所示，不共面的三条直线a、
b、c交于点O，在点O的同侧分别取点
A和A1，B和B1，C和C1，使得
求证：△ABC∽△A1B1C1.【证明】
∴A1B1∥AB.
∴B1C1∥BC.
结合图形，由等角定理可得∠A1B1C1=∠ABC.
同理可证∠B1A1C1=∠BAC.
∴△ABC∽△A1B1C1 .8.直三棱柱ABC－A1B1C1中∠ACB＝90°，
D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点.若
BC＝CA＝CC1=2，求异面直线BD1与
AF1所成的角.
【解题提示】解答本题可考虑过
点F1(或A)作BD1的平行线，构造三角形得到异面直线所成的角，通过判断三角形形状求角.【解析】方法一：取BC中点G，连接F1G，AG，则D1F1∥B1C1且
又∵B1C1 BC，G为BC的中点，
∴D1F1 BG，
∴四边形D1F1GB是平行四边形，
∴BD1∥F1G，
∴∠AF1G(或其补角)为异面直线BD1与AF1所成的角.在Rt△ACG中，
同理在Rt△BB1D1，Rt△A1AF1可求
又BD1= GF1，故△AGF1是等边三角形，∴∠AF1G=60°，
∴异面直线BD1 与AF1所成的角是60°.方法二：延展平面BAA1B1，
使A1E＝D1A1，
易得BD1∥AE，∠EAF1(或其补角 )
即为BD1与AF1所成的角.与方法一
类似可证△AEF1是等边三角形，
得∠EAF1=60°.
即异面直线BD1与AF1所成的角是60°.【挑战能力】
(10分)在长方体ABCD－A1B1C1D1的面A1C1上有一点P(如图所示，其中P点不在对角线B1D1上)．
(1)过P点在空间中作一直线l，
使l∥直线BD，应该如何作图？
并说明理由；
(2)过P点在平面A1C1内作一直线m，使m与直线BD成α角，其中0°＜α≤90°，这样的直线有几条，应该如何作图？【解析】(1)连接B1D1，在平面A1C1内过P作直线l，
使l∥B1D1，则l即为所求作的直线．
∵B1D1∥BD，l∥B1D1，
∴l∥直线BD.(2)在平面A1C1内作直线m，
使直线m与B1D1相交成α角，
∵BD∥B1D1，∴直线m与直线BD也成α角，
即直线m为所求作的直线．
由图知m与BD是异面直线，
且m与BD所成的角0°＜α≤90°．
当α＝90°时，这样的直线m有且只有一条，
当α≠90°时，这样的直线m有两条．
(1)本质：表明了空间中线线平行的传递性.
(2)作用：公理4给出了空间两条直线平行的一种证明方法.它是论证平行问题的主要依据之一，也是研究空间两直线的位置关系、直线与平面位置关系的基础.公理4的应用(3)应用：“等角定理”的证明是公理4的直接应用.
(4)关键：寻找第三条直线分别与前两条直线平行是应用公理4证明线线平行的关键.也就是说，要证空间中的两直线平行，就要找一条与之平行的直线，利用传递性证明.
平面几何中的结论推广到空间之后，未必成立，其正确性是需要证明的，这一点在今后的学习中要特别注意.【例1】空间四边形ABCD中，E、F、G、
H分别为AB、BC、CD、AD上的点且
请回答并证明当空间
四边形ABCD的四条边及点G、H
(1)满足什么条件时，四边形EFGH为平行四边形？
(2)满足什么条件时，四边形EFGH为菱形？【审题指导】由 可想到利用平行线分线段成
比例定理证明EF∥AC；为使四边形EFGH为平行四边形，根
据公理4需证明GH AC；为使四边形EFGH为菱形，在(1)成
立的情况下，还需证明EH=EF，进一步可得AC、BD的关系.【规范解答】(1)当 时，四边形EFGH为平行四边形.
理由：
若
则HG∥AC且 ∴EF HG，
∴四边形EFGH为平行四边形.∥(2)当 且 时，
四边形EFGH为菱形.
理由：由(1)知，若
则四边形EFGH为平行四边形.
且
若 则
∴平行四边形EFGH为菱形.【互动探究】在本例中若条件不变，请回答下列问题并证明
(1)满足什么条件时，四边形EFGH为矩形；
(2)满足什么条件时，四边形EFGH为正方形.
【解题提示】解答本题一方面要应用公理4证明平行关系，另一方面要利用异面直线所成角的定义证明垂直关系.【解析】(1)当 且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形.
理由：由例题知 时，四边形EFGH为平行四边
形，
且EF∥HG∥AC，EH∥GF∥BD.
∴当AC⊥BD时，EF⊥EH，
∠HEF为90°.
∴四边形EFGH为矩形.(2)当 且AC⊥BD时，四边形EFGH为正方形.
理由：由例题(2)及上面所得(1)可知.
由 可知四边形EFGH为平行四边形.
由 及AC⊥BD得四边形EFGH为正方形.【例】如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，
AE=A1E1，AF=A1F1，P∈E1F1，(1)过P作
一条直线与棱CD平行，说明作法；
(2)求证：EF E1F1.
【审题指导】在空间中作已知直线的平行线，通常要考虑
用公理4；要证EF E1F1，只需证明四边形EFF1E1是平行四边形即可.【规范解答】(1)如图，
在平面A1B1C1D1内过P作
直线l∥C1D1，∵CD∥C1D1，
∴l∥CD，故l为所求作直线. (2)连接EE1，FF1.
∵AE A1E1，∴四边形AEE1A1为平行四边形，
∴AA1 E1E，同理AA1 F1F，
∴EE1 F1F，即四边形EFF1E1为平行四边形，
∴EF E1F1.【变式备选】如图所示，E、F分别是
长方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1A、C1C的
中点.
求证：四边形B1EDF是平行四边形.【证明】设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1，
∵E是AA1的中点，
∴EQ A1D1，
又在矩形A1B1C1D1中，A1D1 B1C1，
∴EQ B1C1，
∴四边形EQC1B1为平行四边形，
∴B1E C1Q.又∵Q、F分别是DD1、C1C两边的中点，
∴QD C1F.
∴四边形DQC1F为平行四边形，
∴C1Q DF.
又∵B1E C1Q，
∴B1E DF，
∴四边形B1EDF是平行四边形.【误区警示】证明此类问题时，同学们容易出现证明过程太简单，推理依据不充足，“想当然”地认为结论成立的情况，这种思维定势是学好立体几何的障碍之一. 对“等角定理”的理解
(1)本质：“等角定理”是平面几何中等角定理的类比推广.
(2)作用：①解决空间中角的平移的问题.②揭示空间中两条边对应平行的两个角的大小关系.“等角定理”的应用 (3)两个推论：
推论1 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相同.
推论2 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且有一组对边方向相同，另一组对边方向相反，那么这两个角互补.【例2】如图所示，在正方体ABCD
-A1B1C1D1 中，E、F、E1、F1分别
为所在边的中点.
求证：(1)EF E1F1；
(2)∠EA1F=∠E1CF1.
【审题指导】空间中证明线线平行，线段与线段长度相等，可以利用平行关系和线段长度关系的传递性，选择“中间线段”证明.空间中证明角与角相等，可以利用“等角定理”分别证明角的两条边分别平行，再结合图形得证.【规范解答】(1)连接BD、B1D1，
∵E、F分别为AD、AB的中点，
∴在△ABD中有EF∥BD，
且
∵E1 、F1分别为B1C1、C1D1的中点，∴在△C1D1B1中有E1F1∥B1D1且
而在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，BB1 DD1，
∴四边形BB1D1D为平行四边形.
∴BD∥B1D1且BD=B1D1.
∴EF E1F1.(2)取A1B1的中点M，连接BM，F1M，则
又BF∥A1M，∴BF A1M，
∴四边形A1FBM为平行四边形.∴A1F∥BM.
而F1，M分别为C1D1，A1B1的中点，
则F1M C1B1，而C1B1 CB，
∴F1M∥BC且F1M=BC，
∴四边形F1MBC是平行四边形，
∴BM∥CF1，又BM∥A1F，∴A1F∥CF1.同理取A1D1的中点N，连接DN，E1N，则A1N DE，
∴四边形A1NDE是平行四边形，∴A1E∥DN.
易得E1N∥CD且E1N=CD，
∴四边形E1NDC是平行四边形.
∴DN∥CE1，∴A1E∥CE1，
∴∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行，
结合图形可知∠EA1F=∠E1CF1.【变式训练】如图，正方体ABCD
-A1B1C1D1中，E、F、G分别是棱CC1、
BB1、DD1的中点，
求证：∠BGC=∠FD1E.
【证明】∵E、F、G分别是棱CC1、
BB1、DD1的中点，∴CE GD1，BF GD1.
∴四边形CED1G与四边形BFD1G均是平行四边形.
∴GC∥D1E，GB∥D1F.
∴结合图形可知∠BGC=∠FD1E. 利用定义法求异面直线所成的角的一般步骤求异面直线所成的角 求异面直线所成的角的关键是“作角”，而“作角”的关键是恰当地利用平面几何中有关线线平行的结论作“辅助线”.【例3】如图，正方体ABCD-A1B1C1D1
中，E，F分别为A1B1，B1C1的中点，
求异面直线DB1与EF所成的角的大小.
【审题指导】求异面直线所成的角关
键在于“作角”，也就是利用平面几何知识作平行线，因此通常要把有关线段看作某三角形或平行四边形中的边.【规范解答】方法一：
如图，连接A1C1，B1D1，并设它
们相交于点O，取DD1的中点G，
连接OG.则OG∥B1D，EF∥A1C1
∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所
成的角或其补角.
∵GA1=GC1，O为A1C1的中点，∴GO⊥A1C1，
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.方法二:如图，在原正方体的右侧补上一个全等的正方体，连接B1Q，则B1Q∥EF.于是，直线DB1与B1Q所成的较小的角就是异面直线DB1与EF所成的角，通过计算可知B1D2+B1Q2=DQ2，从而异面直线DB1与EF所成的角为90°.【变式训练】如图，棱长为2
的正方体ABCD-A1B1C1D1 中E、
F分别是A1B1、AB的中点，求
异面直线A1F与CE所成的角的正
切值.
【解题提示】解答本题可先在正方形AA1B1B中过点E作A1F的平行线，作出异面直线A1F与CE所成的角，然后在Rt△BCE中，计算所求角的正切值.【解析】连接BE，∵正方体ABCD-A1B1C1D1 中E、F分别是A1B1、AB的中点，
∴A1E∥BF，A1E=BF，
∴四边形A1EBF是平行四边形，
∴A1F∥BE，
∴∠BEC为异面直线A1F与CE所成的
角或其补角.
∵正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为2，
BE⊥BC，∵BC=2，
∴∠BEC为异面直线A1F与CE所成的角，
∴异面直线A1F与CE所成的角的正切值为【典例】(12分)在正方体ABCD-
A1B1C1D1 中，点P在线段AD1上移动，
求异面直线CP与BA1所成的角θ的取
值范围.
【审题指导】由于线段CP的端点P在线段AD1上移动，所以应该过点C作辅助线平行直线A1B，作出异面直线CP与BA1所成的角θ，然后根据P点的变化，确定θ的取值范围.【规范解答】连接D1C，AC，
……………………2分
∵正方体ABCD-A1B1C1D1
中A1D1 AD BC，
∴四边形A1BCD1是平行
四边形，……………4分∴A1B∥CD1， ……………………………………………6分
∴异面直线CP与BA1所成的角θ即为∠D1CP，…………8分
由图可知CD1∥A1B，CA与A1B异面，当点P在线段AD1上移动时，0°<∠D1CP≤∠ACD1，
∴0°<θ≤60°. ………………………………………12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】如图，空间四边形ABCD
中，两条对边AB=CD=3，E、F分别是
另外两条对边AD、BC上的点，且
求AB和CD所成
的角的大小.【解析】如图过E作EO∥AB，
交BD于点O.连接OF，
又
∴OF∥CD.
∴∠EOF(或其补角)是AB和CD所成的角.在△EOF中，
又
∴EF2=OE2+OF2，
∴∠EOF=90°.
即异面直线AB和CD所成的角为90°.1. a，b， c 为三条不重合的直线，如果 a ⊥c， b ⊥c ，则 a， b的位置关系必定是( )
(A)相交 (B)平行
(C)异面 (D)以上答案都不对
【解析】选D. 若a ⊥c， b ⊥c，则a与b相交，异面，平行都有可能. 2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，面对角线中与AD1成60°的有
( )
(A)4条 (B)6条
(C)8条 (D)10条【解析】选C.如图所示在正方体ABCD-
A1B1C1D1中，△AD1B1是等边三角形，故
B1D1，AB1与AD1所成的角是60°，同理
△ACD1也是等边三角形，AC，CD1与
AD1也成60°角，则在面对角线中，与
AC，CD1，B1D1，AB1分别平行的对角线与AD1也成60°角.3.如图，平面α与平面β相交于EF，
C∈EF，C′∈EF，AC α，
A′C′ α，BC β，B′C′ β
且AC∥A′C′， BC∥B′C′，
∠C=120°，∠C′=__________.
【解析】结合图形，AC∥A′C′，BC∥B′C′，根据等角定理，有∠C′=∠C=120°.
答案：120°4.在四棱锥P-ABCD中，PA⊥AB，底面ABCD是平行四边形，则PA与CD所成的角是___________.【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB∥CD，
∴∠PAB是PA与CD所成的角.
又∵PA⊥AB，∴∠PAB=90°.
答案：90°5.如图，已知长方体ABCD-
EFGH中，
AE=2，
(1)求BC和EG所成的角.
(2)求AE和BG所成的角是多少度？【解析】(1)∵GF∥BC，
∴∠EGF(或其补角)为BC和EG所成的角.
在Rt△EFG中，易知∠EGF = 45°，
∴BC和EG所成的角是45°.
(2)∵BF∥AE ，
∴∠FBG(或其补角)为AE和BG所成的角.
在Rt△BFG中，易知∠FBG = 60°，
∴AE和BG所成的角是60°.一、选择题(每题4分，共16分)
1.已知a、b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b( )
(A)一定是异面直线 (B)一定是相交直线
(C)不可能是平行直线 (D)不可能是相交直线
【解析】选C.若c∥b，由公理4，∵c∥a，
∴a∥b，与a、b是异面直线矛盾.
∴c与b不可能平行.2．教室内有一把直尺，无论怎样放置，地面上总有这样的直线与该直尺所在直线( )
(A)平行 (B)垂直
(C)相交但不垂直 (D)异面
【解析】选B.直尺所在直线与地面有三种位置关系(1)直线与地面相交，A错，(2)直线与地面平行，C错，(3)直线在地面内，D错，这三种情况下地面上总有直线与直尺所在直线垂直.3.如图，
长方体ABCD-A′B′C′D′中截
去一部分，其中EH∥A′D′，
剩下的几何体是( )
(A)直五棱柱 (B)四棱台
(C)正五棱柱 (D)五棱锥 【解题提示】解答本题要紧扣棱柱、棱锥、棱台的定义判断，同时注意几何体观察角度的变化.
【解析】选A.把五边形ABFEA′和DCGHD′视为底面，由长方体的结构特征知剩余的几何体是直五棱柱.4.过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所在直线所成的角都相等，这样的直线l可以作( )
(A)1条 (B)2条
(C)3条 (D)4条【解析】选D.如图所示，AC1，AE，AF，AG都与棱AB，AD，AA1所成的角相等.二、填空题(每题4分，共8分)
5. 四面体PABC中，PA⊥BC，E、F分别为PC、AB上任一点，若EF与PA、BC所成的角分别为α、β，则α+β=_________.【解析】本题可利用特例法.如图，
若E、F分别为PC、AB中点时，
取AC中点M，连接EM、FM，
∴EM∥PA，FM∥BC.
∵PA⊥BC，∴∠FEM=α，
∠EFM=β，EM⊥FM，
∴α+β=90°.
答案：90°6.在四面体SABC中，SA⊥BC且 SA=BC，E， F分别为SC、AB 的中点，那么异面直线EF与SA 所成的角等于__________.【解析】取AC的中点D，连接DE、DF，
∵E， F分别为SC、AB 的中点，
∴DE∥SA，DF∥BC，
∴∠DEF为异面直线EF与SA 所成的角.
∵SA⊥BC，∴∠EDF=90°.
又∵SA=BC且∴DE=DF，∴△DEF是等腰直角三角形，
∴∠DEF=45°，即异面直线EF与SA 所成的角为45°.
答案：45° 【方法技巧】求异面直线所成角的诀窍
(1)平移方法：①中位线平移法.②平行四边形性质平移法.③补形平移法.
(2)平移直线是寻找两条异面直线所成角的过程，线的平移是在某个平面中进行的，该面的特点：①该平面包含其中一条异面直线，②该平面与另一条异面直线平行.
(3)求角或求角的三角函数值的一般步骤：①构造三角形，②解三角形求角或求角的三角函数值.三、解答题(每题8分，共16分)
7.如图所示，不共面的三条直线a、
b、c交于点O，在点O的同侧分别取点
A和A1，B和B1，C和C1，使得
求证：△ABC∽△A1B1C1.【证明】
∴A1B1∥AB.
∴B1C1∥BC.
结合图形，由等角定理可得∠A1B1C1=∠ABC.
同理可证∠B1A1C1=∠BAC.
∴△ABC∽△A1B1C1 .8.直三棱柱ABC－A1B1C1中∠ACB＝90°，
D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点.若
BC＝CA＝CC1=2，求异面直线BD1与
AF1所成的角.
【解题提示】解答本题可考虑过
点F1(或A)作BD1的平行线，构造三角形得到异面直线所成的角，通过判断三角形形状求角.【解析】方法一：取BC中点G，连接F1G，AG，则D1F1∥B1C1且
又∵B1C1 BC，G为BC的中点，
∴D1F1 BG，
∴四边形D1F1GB是平行四边形，
∴BD1∥F1G，
∴∠AF1G(或其补角)为异面直线BD1与AF1所成的角.在Rt△ACG中，
同理在Rt△BB1D1，Rt△A1AF1可求
又BD1= GF1，故△AGF1是等边三角形，∴∠AF1G=60°，
∴异面直线BD1 与AF1所成的角是60°.方法二：延展平面BAA1B1，
使A1E＝D1A1，
易得BD1∥AE，∠EAF1(或其补角 )
即为BD1与AF1所成的角.与方法一
类似可证△AEF1是等边三角形，
得∠EAF1=60°.
即异面直线BD1与AF1所成的角是60°.【挑战能力】
(10分)在长方体ABCD－A1B1C1D1的面A1C1上有一点P(如图所示，其中P点不在对角线B1D1上)．
(1)过P点在空间中作一直线l，
使l∥直线BD，应该如何作图？
并说明理由；
(2)过P点在平面A1C1内作一直线m，使m与直线BD成α角，其中0°＜α≤90°，这样的直线有几条，应该如何作图？【解析】(1)连接B1D1，在平面A1C1内过P作直线l，
使l∥B1D1，则l即为所求作的直线．
∵B1D1∥BD，l∥B1D1，
∴l∥直线BD.(2)在平面A1C1内作直线m，
使直线m与B1D1相交成α角，
∵BD∥B1D1，∴直线m与直线BD也成α角，
即直线m为所求作的直线．
由图知m与BD是异面直线，
且m与BD所成的角0°＜α≤90°．
当α＝90°时，这样的直线m有且只有一条，
当α≠90°时，这样的直线m有两条．