1.5.2 平面与平面平行的性质 课件1

课件70张PPT。1.5.2 平面与平面平行的性质1.利用面面平行的性质定理证明线线平行的基本步骤
(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条；
(2)判定这两个平面平行；
(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上；
(4)由定理得出结论由面面平行证明线线平行2.面面平行的性质定理的本质
化面面平行为线线平行是面面平行性质定理的本质，而转化的关键是作辅助平面，通过作辅助平面得到交线，就可把面面平行化为线面平行，进而化为线线平行.【例1】如图，已知α∥β，点P是平面α、β外的一点(不在α与β之间)，直线PB、PD分别与
α、β相交于点A、B和C、D.
(1)求证：AC∥BD；
(2)已知PA=4 cm，AB=5 cm，
PC=3 cm，求PD的长.
【审题指导】由PB与PD相交于点P可知PB、PD确定一个平面，结合α∥β，可使用面面平行的性质定理推出线线平行关系，这样就转化为平面问题.【规范解答】(1)∵PB∩PD=P，
∴直线PB和PD确定一个平面γ，
则α∩γ=AC，β∩γ=BD.
又α∥β，
∴AC∥BD.
(2)由(1)得AC∥BD，【互动探究】例题中若P在α与β之间，在第(2)问条件下求CD的长.
【解析】如图，∵PB∩PC=P，
∴PB，PC确定平面γ，
γ∩α=AC，γ∩β=BD，α∥β.
∴AC∥BD，∴△PAC∽△PBD，
即 【误区警示】解答此类问题时，容易忽视对题目条件的分析，导致画图不准确而出错.1.对“面面平行→线面平行”的理解
因为两个平行平面没有公共点，所以当两个平面平行时，其中一个平面内的任何一条直线必与另一个平面无公共点，所以可得线面平行关系.由面面平行证明线面平行2.对“线线平行”，“线面平行”，“面面平行”之间的关系认识.
三者之间的转化关系如图所示 从线线平行、线面平行、面面平行之间的关系可以看出，证明立体几何问题所用的核心思想是转化思想.【例2】如图，在四棱锥O-ABCD中，底面
ABCD是边长为1的菱形，M为OA的中点，N
为BC的中点，证明：直线MN∥平面OCD.
【审题指导】解题的关键是构造过MN与
平面OCD平行的平面，根据题目条件中M
为OA的中点，N为BC的中点，可利用三角形中位线的性质构造平面.【规范解答】如图，取OB的中点E，
连接ME、NE，
则ME∥AB，又AB∥CD，
∴ME∥CD.
又∵NE∥OC，ME∩NE=E，
∴平面MNE∥平面OCD，
又直线MN 平面MNE，
∴MN∥平面OCD.【变式训练】在长方体ABCD-
A1B1C1D1中，M、N分别是AE、CD1
的中点，AD=AA1=a，AB=2a.
求证：MN∥平面ADD1A1.
【解题提示】可证过MN的平面与平面ADD1A1平行，由M、N是中点，可取CD中点G，然后证明平面MNG∥平面ADD1A1.【证明】取CD的中点G，连接MG、NG，
∵M，N，G分别是AE，CD1，CD的中点，
∴NG∥DD1，GM∥AD，
且NG∩GM=G， DD1∩AD=D，
∴平面MNG∥平面ADD1A1，
又直线MN 平面MNG，
∴MN∥平面ADD1A1. 探索性问题的解题策略
(1)解探索性问题应注意三个基本问题
①认真审题，确定目标；
②深刻理解题意；
③开阔思路，发散思维.探索性问题(2)解立体几何探索性问题的常用方法
①特殊值探路，一般化证明.从最简单、最特殊的情况出发，有时也借助直觉观察或判断，推测出结论.
②充分利用线线平行，线面平行，面面平行的转化关系进行联想和推测. 【例3】如图，在正方体ABCD—
A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱
CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是
BC的中点，点M在四边形EFGH的边
上及其内部运动，则点M∈_____时，
MN∥平面B1BDD1.
【审题指导】解答本题时一方面要通过观察特殊位置(如点H)推测点M的位置，另一方面要联想过点M与平面BB1D1D平行的直线所在位置的特征.【规范解答】平面BDD1B1是正方体
ABCD-A1B1C1D1的对角面，探究过点
N且与平面BDD1B1平行的直线，可取
B1C1的中点N1，连接N1N，
则NN1∥平面BDD1B1；连接NH，
则NH∥平面BDD1B1.
∵NH∩NN1=N，连接FH、FN1，∴平面NN1FH∥平面BDD1B1.
因为平面NN1FH∩平面EFGH=FH，
所以当点M在线段HF上运动时，
总有MN∥平面BDD1B1.
答案：线段HF【变式训练】在正方体ABCD-
A′B′C′D′中，点M在CD′上，
试判断直线B′M与平面A′BD的
位置关系，并说明理由.【解析】直线B′M∥平面A′BD.理由如下
连接B′C，B′D′，
∵在正方体ABCD-A′B′C′D′中，
BB′ DD′，∴四边形BB′D′D是平行四边形，
∴B′D′∥BD，
又B′D′ 平面A′BD，BD 平面A′BD
∴B′D′∥平面A′BD，同理可证B′C∥平面A′BD，
又B′D′∩B′C=B′，
B′D′ 平面B′CD′，
B′C 平面B′CD′.
∴平面B′CD′∥平面A′BD，
又B′M 平面B′CD′，
∴B′M∥平面A′BD. 对几何体截面的认识
1.作几何体截面的依据
(1)用公理2及其他确定平面的方法.
(2)用公理3确定平面与平面交线的位置.
(3)用面面平行的性质，画出截面与几何体中平行表面的交线.作几何体的截面2.作几何体的截面的意义
解立体几何问题的关键是化空间问题为平面问题，因此通常要作辅助平面，或者在某一个特定平面中解决问题.所以作出这些截面就成了很关键的问题.【例】如图所示，在棱长为2的正方体
ABCD-A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过
点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确
定截面的形状？如果能，求出截面的
面积.
【审题指导】解答本题可考虑面面平行的判定定理，只需过点A1作一个平面保证平面PBC1内有两条相交直线与该平面平行即可.于是可分别取棱AB，C1D1的中点M，N，连接A1M，A1N，CM，CN，平面A1MCN即为所作平面.【规范解答】能.取AB，C1D1的中点M，N，连接A1M，MC，CN，NA1，
∵A1N∥PC1且A1N=PC1，
PC1∥MC，PC1=MC，
∴四边形A1MCN是平行四边形，
又∵A1N∥PC1，A1M∥BP，
A1N∩A1M=A1，C1P∩PB=P，
∴平面A1MCN∥平面PBC1，因此，过点A1与截面PBC1平行的截面是平行四边形.
连接MN，作A1H⊥MN于点H，
故
∴所求截面的面积为【变式备选】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别是A1D1、C1D1、CC1的中点，试作出E、F、G三点确定的平面与正方体表面的交线，并判断该截面的形状.【解析】画法：
(1)延长FG交DC的延长线于点O.
(2)连接AC，过点O作AC的平行线，
交BC于点H，交AB于点I.
(3)取AA1的中点J，连接GH，IJ，JE
正六边形EFGHIJ为所求作截面.理由如下：
记此截面为α，为画出α与平面ABCD的交线，可先确定两个平面的一个公共点，即点O，然后根据平面ABCD∥平面A1B1C1D1，判断α与这两个平面的交线平行，因此过点O作OI∥AC，这是因为AC∥A1C1∥EF所以OI∥EF.同理，截面α与正方体的每一对相对表面的交线都是互相平行的，可以画出交线IJ、JE.【典例】 (12分)如图，在正方体
ABCD-A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在
B1C上，且CM=DN，
求证：MN∥平面AA1B1B.
【审题指导】证明本题的关键是作辅助线，如果能作出过MN与平面AA1B1B平行的平面，就可以证明本题.【规范解答】方法一:如图，作MP∥BB1，
交BC于点P，连接NP， …………… 2分
∵MP∥BB1，
∵BD=B1C，DN=CM，
∴B1M=BN， ∴NP∥CD∥AB， ………………………………………8分
∵NP∩MP=P，∴平面MNP∥平面AA1B1B. ……………10分
∵MN 平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B. …………… 12分方法二:如图，作ME∥BC，交BB1于E，作NF∥AD，交AB于F，则ME∥NF， ……………………………………… 2分
连接EF，则EF 平面AA1B1B，
∵BD=B1C，DN=CM，
∴B1M=BN.∴ME=NF.又ME∥NF，
∴四边形NFEM为平行四边形，∴MN∥EF， …………… 8分
∵MN 平面AA1B1B，EF 平面AA1B1B，
∴MN∥平面AA1B1B. ……………………………………12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】如图，在四棱锥
P-ABCD中，底面ABCD为平行四
边形，E、F、G分别是PC、PD、
BC的中点，求证：PA∥平面EFG.【证明】∵E、F分别是PC、PD的中点，∴EF∥CD，
∵底面ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∴EF∥AB.
又EF 平面PAB，AB 平面PAB，
∴EF∥平面PAB，
∵E、G分别是PC、BC的中点，∴EG∥PB，
又EG 平面PAB，PB 平面PAB，
∴EG∥平面PAB，
又EF∩EG=E，∴平面PAB∥平面EFG，
又PA 平面PAB，∴PA∥平面EFG.1.若α∥β，直线a 平面α，点B∈β，则在平面β内与过B的所有直线中( )
(A) 不一定存在与a平行的直线.
(B)只有两条与a平行的直线.
(C)存在无数条与a平行的直线.
(D)存在唯一与a平行的直线.
【解析】选D.由已知得B a，因此B与a可以确定唯一平
面，此平面与平面α、β的交线是直线a和平面β内过点B
的直线，由面面平行的性质知这两条直线平行.2.若α∥β，a α，下列四个说法正确的是( )
①a与β内所有直线平行；
②a与β内的无数条直线平行；
③a与β内的任何一条直线都不垂直；
④a与β无公共点.
(A)①② (B)②④ (C)②③ (D)①③④【解析】选B. 过a作平面γ，使γ∩β=b， 因为α∥β，所以a∥b，根据公理4知在平面β内与b平行的直线都与a平行，其他直线与a异面，所以①错误②正确；在平面β内与b垂直的直线都与a垂直，③错误④正确.3.如图，在三棱锥O－ABC中，D、E、F分
别是棱OA、OB、OC上的点，且平面DEF∥
平面ABC，则角一定相等的有_______对.
【解析】因为平面DEF∥平面ABC，
所以DE∥AB，EF∥BC，DF∥AC，
△DEF∽△ABC，所以相等的角有9对.
答案：94.过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A1、C1、B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________.
【解题提示】用两个平面平行的性质去判断.
【解析】由于平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
平面A1B1C1D1∩平面A1C1B=A1C1.
平面ABCD∩平面A1C1B=l.
由面面平行的性质知l∥A1C1.
答案:平行5.求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等.
【证明】如图，∵平面α∥平面β，设A∈α，D∈α，B∈β，C∈β，且AB∥CD.
则由AB、CD可确定一平面γ，
且γ与α、β分别交于AD、BC，
∵α∥β，∴AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD.
即夹在两个平行平面间的平行线段相等.一、选择题(每题4分，共16分)
1.下图中给出的是长方体木料，想象沿图中平面所示位置截长方体，那么截面图形是下面四个图形的( )【解析】选C.长方体的相对表面互相平行，因此由面面平行的性质知本题中的截面是平行四边形.2.如图所示，α∥β，△ABC、
△A′B′C′分别在α、β内，
线段AA′、BB′、CC′交于点O，
O在α，β之间，若AB=2，AC=1，
∠BAC=90°，OA∶OA′=3∶2，
则△A′B′C′的面积为( )
(A)1 (B)2【解析】选C.因为AA′与BB′相交于点O，所以AA′、BB′确定一个平面γ，由γ∩α=AB，γ∩β=A′B′，
由α∥β知AB∥A′B′，所以△OAB∽△OA′B′， ∴AB∶ A′B′= OA∶OA′=3∶2，同理可证AC∶A′C′=3∶2，BC∶B′C′=3∶2，所以△ABC∽△A′B′C′，相似比是3∶2，所以 S△ABC∶S△A′B′C′=9∶4，
所以3.M，N，P为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则有下列说法，不正确的是( )
(A)④⑥ (B)②③⑥
(C)②③⑤⑥ (D)②③【解析】选C.①，④分别是直线平行和平面平行的传递性，
正确.②中a与b还可能异面或相交.③中M与N还可能相交.⑤
中还可能a M，⑥中可能还有a M. 【方法技巧】面面平行的性质“荟萃”
如果两个平面平行，那么除了面面平行的性质定理之外，我们还可以得到如下结论.
(1)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.
(2)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面平行.
(3)夹在两个平行平面之间的平行线段相等.
(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.4.如图所示，正方体ABCD-
A1B1C1D1的棱长为12，G、F分
别是C1D1、BC的中点，过A1、
G、F三点的平面与正方体的
底面ABCD的交线是EF，其中
点E在AB上，则BE=( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】选C.因为平面ABCD∥平面
A1B1C1D1所以A1G∥EF，取DC、AB的
中点G′、H连接AG′，CH，可证
A1G∥AG′，AG′∥CH，所以
EF∥CH，又F为BC的中点，所以
E是BH的中点，所以二、填空题(每题4分，共8分)
5.棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，
过C、M、D1作正方体的截面，则截面的面积是______．
【解析】由面面平行的性质知截面与面AB1的交线MN是△AA1B的中位线，所以截面是梯形CD1MN，易求其面积为
答案： 6.已知平面 α∥β∥γ，两条直线l，m分别与平面 α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F.已知AB=6，而
则AC=__________.【解析】连接AF交β于点G，
连接BG，GE，AD，CF，
∵α∥β∥γ，
∴BG∥CF，GE∥AD，
AB=6，
∴AC=15.
答案：15三、解答题(每题8分，共16分)
7.如图所示，
在三棱柱ABC-A1B1C1中，点D、E、F
分别是AB、AA1、CC1的中点，P是CD
上的点，
求证：直线PE∥平面A1BF.
【解题提示】要证直线PE∥平面A1BF可以转化为证明平面EDC∥平面A1BF.【证明】如图所示，连接DE、CE，
∵D、E、F分别是所在棱的中点，
∴DE∥A1B，A1E CF，
∴四边形A1ECF是平行四边形，
∴EC∥A1F，又DE∩CE=E，
A1B∩A1F=A1，∴平面EDC∥平面A1BF，
又PE 平面EDC，
∴PE∥平面A1BF.8.几何体ABCD—A1B1C1D1是棱长为a
的正方体，M、N分别是棱A1B1、B1C1
的中点，P是AD上的一点，
过P、M、N的平面交底面ABCD于PQ，
Q在CD上，求PQ的长度.
【解题提示】解答本题的关键是利用面面平行的性质及空间线线平行的传递性证明PQ∥AC.【解析】连接AC，A1C1，
∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
平面PMN∩平面ABCD=PQ，
平面PMN∩平面A1B1C1D1=MN，
∴MN∥PQ，∵M、N分别为A1B1，B1C1的中点，
∴MN∥A1C1，又AC∥A1C1，
∴PQ∥AC，
在Rt△PDQ中，【挑战能力】
(10分)如图所示，P是长方形
ABCD所在平面外的一点，点M、
N分别在AB、PD上，且满足
求证：MN∥平面PBC.【证明】在BD上取一点E，使 连接NE，ME，
∴ME∥AD∥BC，
又ME 平面PBC，BC 平面PBC，
∴ME∥平面PBC，∴NE∥PB，又NE 平面PBC，
PB 平面PBC，
∴NE∥平面PBC，又ME∩NE=E，
∴平面MNE∥平面PBC，
又MN 平面MNE，
∴MN∥平面PBC.