1.5.2 直线与平面平行的性质 课件1

课件65张PPT。1.5.2 直线与平面平行的性质 如何理解直线与平面平行的性质定理线面平行性质定理的简单应用 应用线面平行性质定理时，必须“找”或“作”辅助平面与已知平面相交，这是空间问题向平面问题转化的桥梁.【例1】已知直线a∥平面α，直线
a∥平面β，平面α∩平面β=b，
求证：a∥b.
【审题指导】利用公理4，寻求一条直线分别与a、b都平行，从而达到证明a∥b的目的，这可以借助已知条件a∥α，a∥β来实现.【规范解答】经过a作两个平面γ和δ，与平面α和β分别相交于直线c和d，∵a∥平面α，a∥平面β，
∴a∥c，a∥d，∴c∥d.
又∵d 平面β，c 平面β，
∴c∥平面β，
又c 平面α，平面α∩平面β=b，
∴c∥b.
又∵a∥c，∴a∥b.【变式训练】已知直线a、b，平面α，且a∥b，a∥α，a、b都在平面α外.
求证：b∥α.
【解题提示】根据a∥α，可利用线面平行的性质过a作平面与α相交证明线线平行，再用公理4证明b与平面α内的直线平行，得到b∥α.【证明】过a作平面β，
使它与平面α相交，交线为c.
∵a∥α，a β，α∩β=c，
∴a∥c.
又∵a∥b，
∴b∥c.又∵c α，b α.∴b∥α. 对线面平行的判定定理与性质定理的理解线面平行判定定理和性质定理的综合应用 线面平行的性质定理是证明线线平行的一种新的方法，应在解题过程中建立应用新知识的意识.【例2】如图，在空间四边形ABCD中，
E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA上
的点，且四边形EFGH为平行四边形，
试求证：AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH.
【审题指导】要证AC∥平面EFGH，只要证AC∥EF，而由题目条件EF∥GH，可证EF∥平面ACD，进而可证AC∥EF.【规范解答】∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF∥GH，
又EF? 平面ACD，GH 平面ACD，
∴EF∥平面ACD.
又∵EF 平面ABC，平面ABC∩平面ACD=AC，
∴AC∥EF，
又AC? 平面EFGH，EF 平面EFGH
∴AC∥平面EFGH，
同理可证BD∥平面EFGH.【互动探究】将本例条件改为：在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA上的点，若AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，求证：四边形EFGH为平行四边形.
【解题提示】由AC∥平面EFGH，应寻找过AC与平面EFGH相交的平面，及其交线的位置，由此得到线线平行关系.同理分析条件BD∥平面EFGH.【证明】∵AC∥平面EFGH，
AC 平面ABC，平面ABC∩平面EFGH=EF，
∴AC∥EF，
∵AC∥平面EFGH，
AC 平面ACD，平面ACD∩平面EFGH=GH，
∴AC∥GH，
∴EF∥GH，
同理由BD∥平面EFGH可证EH∥FG.
∴四边形EFGH为平行四边形.【例】已知如图所示，四边形ABCD是
平行四边形，点P是平面ABCD外一点，
M是PC的中点，在DM上取一点G，过G
和AP作平面交平面BDM于GH，
求证：AP∥GH.【审题指导】解答本题的“入手点”是，作出AC的中点O，又由M是PC的中点推导出OM∥PA，于是可得众多线面平行关系，此时结合结论AP∥GH，可思考如何得到与直线AP平行的平面，GH是哪两个平面的交线，利用线面平行的性质定理证明.【规范解答】连接AC交BD于点O，连接MO.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，
又M是PC的中点，∴AP∥OM.
又AP? 平面BMD，
OM 平面BMD，
∴AP∥平面BMD.
又∵AP 平面PAHG，
平面PAHG∩平面BMD=GH.
∴AP∥GH.【变式备选】如图，P为平行四边形ABCD
所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的
中点，平面PAD∩平面PBC=直线l.
(1)求证：BC∥l；
(2)试判断MN与平面PAD是否平行？并证明你的结论.
【解题提示】(1)根据线面平行的性质定理，要证线线平行，
只要证线面平行.即证BC∥平面PAD.(2)可连接CM，并延长与DA延长线相交，用三角形中位线的性质在平面PAD中找到与MN平行的直线.【解析】(1)∵在平行四边形ABCD中，BC∥AD，
且AD 平面PAD，BC 平面PAD，
∴BC∥平面PAD，
又∵平面PAD∩平面PBC=直线l，BC 平面PBC，
∴BC∥l.(2)平行.证明如下.
连接CM并延长交DA的延长线于点Q，连接PQ，∵M是AB的中点，
∴△QAM≌△CBM，
∴QM=MC，即M是CQ的中点，
又∵N是PC的中点，∴MN∥PQ，
又∵PQ 平面PAD，MN 平面PAD，
∴MN∥平面PAD.【典例】(12分)如图所示，三棱柱
ABC-A1B1C1中，D是BC边上一点，
A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点，
求证：平面A1BD1∥平面AC1D.
【审题指导】由A1B∥平面AC1D思考过
A1B有(或可作)哪些平面与平面AC1D相
交？交线是什么？要证平面A1BD1∥平面AC1D，思考如何在平面A1BD1内找两条相交直线与平面AC1D平行即可.【规范解答】连接A1C交AC1于点E，连接ED，
…………………………………………2分
∵四边形A1ACC1是平行四边形，
∴E是A1C的中点，……………………4分
∵A1B∥平面AC1D，
平面A1BC∩平面AC1D=ED，
∴A1B∥ED，又E是A1C的中点，………6分∴D为BC的中点， ………………………………………8分
又∵D1是B1C1的中点，
∴BD1∥C1D，A1D1∥AD，
……………………………………………………………10分
又A1D1∩BD1=D1.
∴平面A1BD1∥平面AC1D.
……………………………………………………………12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】如图，空间四边形
ABCD的对角线BD上的任意一点S，
E、F分别在AD、CD上，且AE∶AD
=CF∶CD，BE与AS相交于点R，BF
与SC相交于点Q，求证：RQ∥EF.【证明】∵AE∶AD=CF∶CD，
∴EF∥AC，
又∵EF? 平面ASC，AC 平面ASC，
∴EF∥平面ASC，
又EF 平面BEF，平面BEF∩平面ASC=RQ，
∴RQ∥EF.1.已知a∥α，b α则直线a与直线b的位置关系是( )
(A)平行 (B)相交或异面
(C)异面 (D)平行或异面
【解析】选D.由a∥α知a与α无公共点，又b α，所以
a与b无公共点，所以a与b平行或异面.2.对于直线a、b和平面α，给出下列说法
(1)若a平行于平面α内的无数条直线，则a∥α
(2)若a∥b，且b α，则a∥α.
(3)若a∥α，则a与平面α内的任意直线都不相交.
(4)若a与α不平行，则a与α内任一直线都不平行.
其中正确说法的个数为( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】选A.对于(1)如图所示，a与平面α内的无数条直线平行，但是a α.因此错误.
对于(2)应该有a α或a∥α，
因此错误.
对于(3)若a∥α，则a与α无公共点，因此a与α内任一直线都无公共点，故(3)正确.
对于(4)若a与α不平行，则a与α相交或a α，当a α时，α内有直线与a平行，故(4)错误.3.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB 平面α，CD 平面α，
则直线CD与平面α的位置关系是( )
(A)平行 (B)平行或异面
(C)平行或相交 (D)异面或相交
【解析】选A.因为在梯形ABCD中，AB∥CD，AB 平面α，
CD? 平面α，所以CD∥平面α.4.如图所示，直线a∥平面α，点A 平面α，并且直线a和点A位于平面α两侧，点B、C、D∈a，AB、AC、AD分别交平面α于点E、F、G，若BD=4，CF=4，AF=5，则EG=___________.【解析】由于点A不在直线a上，
则A与a确定一个平面β，∴α∩β=EG.
∵a∥平面α，∴EG∥a.
∴有
答案： 5.如图，α∩β=CD，α∩γ=EF，
β∩γ=AB， AB∥α.
求证：CD∥EF.
【证明】∵AB∥α，AB β，α∩β=CD，
∴AB∥CD.同理可证AB∥EF，∴CD∥EF.一、选择题(每题4分，共16分)
1.已知直线a，b和平面α，β，下列说法正确的是( )
(A)若a∥α，b∥α，则a∥b.
(B)若a∥α，a∥β，则α∥β.
(C)若a∥b，a∥α，则b∥α或b α
(D)若b α，a与b不相交，则a∥α【解析】选C.对于A，如图在正方体中a∥α，b∥α但a与b相交.故A错误.对于B，如图在正方体中a∥α，a∥β，但是α与β相交.故B错误.对于C可由线面平行的性质知其正确，
对于D如图可知其错误.2.已知下列叙述：
(1)一条直线和另一条直线平行，那么它就和经过另一条直线的任何平面平行.
(2)一条直线平行于一个平面，则这条直线与这个平面内的所有直线都没有公共点，因此这条直线与这个平面内的所有直线都平行.(3)若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α.
(4)若a、b为异面直线，则过a且与b平行的平面有且只有一个.
其中正确的个数是( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】选A.(1)错误.一条直线和另一条直线平行，那么它就和经过另一条直线的平面平行或两条直线在同一平面内.
(2)错误.一条直线平行于一个平面，则这条直线与这个平面内的所有直线都没有公共点，但是这条直线与这个平面内的直线可能平行也可能异面.(3)错误.若直线l上有无数个点不在平面α内，则l与平面α平行或相交.
(4)正确.如图所示，在a上任取一点A，过A作c∥b，由于a、b为异面直线，所以a与c相交，因此a与c确定平面α且b∥α.在a上再任取一点A′，过A′作d∥b，可知c与d确定的平面与α重合，由此可知平面的唯一性.3.正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，CC1的中点，P是CC1上的动点(包括端点)，过点E、D、P作正方体的截面，若截面为四边形，则P的轨迹是( )
(A)线段C1F (B)线段CF
(C)线段CF和一点C1 (D)线段C1F和一点C【解析】选C.如图，DE∥平面BB1C1C，
∴平面DEP与平面BB1C1C的交线PM∥
ED，连接EM，易证MP=ED，则M到达B1
时仍可构成四边形，即P到F.而P在
C1F之间，不满足要求．P到点C1仍
可构成四边形．4.如图，四棱锥S-ABCD的所有的棱
长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E
三点的平面与SB交于点F，则四边形
DEFC的周长为( )
【解题提示】先证明EF∥AB，再根据三角形中位线等知识求解.【解析】选C.∵AB=BC=CD=AD=2，
∴四边形ABCD为菱形，∴CD∥AB.
又CD? 平面SAB，AB 平面SAB，
∴CD∥平面SAB.
又CD 平面CDEF，
平面CDEF∩平面SAB=EF，∴CD∥EF.∴EF∥AB.
又∵E为SA的中点，
又∵△SAD和△SBC都是等边三角形，
∴四边形DEFC的周长为二、填空题(每题4分，共8分)
5.空间四边形
ABCD中，对角线AC=BD=4，E是AB中点，
过E与AC、BD都平行的截面EFGH分别与
BC、CD、DA交于F、G、H，则四边形
EFGH的周长为__________.【解析】∵AC∥平面EFGH，平面ABC∩平面EFGH=EF，
AC 平面ABC，∴AC∥EF，同理可得GH∥AC，
∴EF∥GH，同理可得EH∥FG，
∴四边形EFGH为平行四边形，
又E为AB中点，EF∥AC，∴EF AC，
同理
∴四边形EFGH的周长为(EF+EH)×2=(2+2)×2=8.
答案：86.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于___________.【解析】∵EF∥平面AB1C，
EF?平面ADC，
平面ADC∩平面AB1C=AC，
得EF∥AC，又∵E为AD的中点，∴F为CD的中点，
即EF为△ADC的中位线，
又正方体的棱长为2，
答案：三、解答题(每题8分，共16分)
7.如图所示，E、F、G、H为空间四边
形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，
且EH∥FG．
求证：EH∥BD.【证明】 ∵EH∥FG，
EH? 平面BCD，
FG 平面BCD，
∴EH∥平面BCD，
又∵EH 平面ABD，平面ABD∩平面BCD=BD.
∴EH∥BD. 【方法技巧】立体几何证明题的基本思路
立体几何证明题往往从以下三个方面思考
(1)从题目的结论出发去选择相应的证明方法并进行“逆向思维”.
(2)当逆推出现困难时，可根据已知条件联想或推导出有关的性质，使题设和结论逐步靠近.
(3)及时进行条件与结论之间的联系和沟通，找到证明思路.
这种“两头凑”的方法其实是解决数学问题的常用思维方法.8.如图，在棱
柱ABC—A1B1C1中，D是A1C1上的点，
且A1B∥平面B1CD，求A1D∶DC1的值.【解析】设BC1交B1C于点E，连接DE，
则平面A1BC1∩平面B1CD=DE，
∵A1B∥平面B1CD，
∴A1B∥DE，
又E是BC1的中点，
∴D为A1C1的中点，
即A1D∶DC1＝1.【挑战能力】
(10分)如图所示，一平面与空间四边形ABCD的对角线AC、BD都平行，且交空间四边形的边AB、
BC、CD、DA分别于E、F、G、H.
(1)求证:EFGH为平行四边形；
(2)若AC=BD，四边形EFGH能否为菱形？
(3)在什么情况下，四边形EFGH为矩形？
(4)在什么情况下，四边形EFGH为正方形？【解析】(1)∵AC∥平面EFGH，AC 平面ACD，
平面ACD∩平面EFGH=GH，
∴AC∥GH，
同理可证:AC∥EF，BD∥EH，BD∥FG.
∴EF∥GH，EH∥FG，
∴四边形EFGH为平行四边形.(2)设AC=BD=a，EH=x，GH=y，
∵GH∥AC，
即
同理可得
∴当m=n即H为AD的中点时，EFGH为菱形.(3)当AC⊥BD时，有EH⊥GH，
四边形EFGH为矩形.
(4)当AC⊥BD，AC=BD，且E、F、G、H分别是
AB、BC、CD、AD的中点时，
四边形EFGH为正方形.