2.1.1 直线的倾斜角和斜率 课件2

课件56张PPT。2.1.1 直线的倾斜角和斜率 求直线的倾斜角的方法
(1)定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找准倾斜角.求解过程中，应注意平面几何知识的应用(如三角形内角和定理及其有关结论).
(2)分类法：根据题意把倾斜角α分为以下四类讨论： α=0°，0°＜α＜90°，α=90°，90°＜α＜180°.
求倾斜角时务必明确角的起始位置及旋转方向.求直线的倾斜角 【例1】已知直线l1的倾斜角为
α1=15°，直线l1与l2的交点为A，
把直线l2绕着点A按逆时针方向
旋转与直线l1重合时所转的最小
正角为60°，求直线l2的倾斜角.
【审题指导】本题已知直线l1的倾斜角，又明确了直线l1与l2的位置关系，求解时可根据直线l1与l2的位置关系，运用倾斜角的定义，借助几何图形的直观性求解.【规范解答】设直线l2的倾斜角为α2，
则由题干图可知，180°-α2+15°=60°，所以α2=135°.【变式训练】图中α是直线l的倾斜角吗？试用α表示图中各条直线l的倾斜角.【解析】设直线l的倾斜角为β，结合倾斜角的定义可知:
图①中α是直线l的倾斜角，即β＝α；
图②中α不是直线l的倾斜角，但α与β互补，
即β=180°-α；
图③中α不是直线l的倾斜角，但α与β是对顶角，即β=α；
图④中α不是直线l的倾斜角，β=90°+α.
【误区警示】本题在求解过程中常因把握不住倾斜角的三个特征而把②③中的α也错认为倾斜角. 对斜率公式的认识：
(1)斜率公式从数的角度分析了直线的倾斜程度，体现了用代数的方法刻画几何图形的思想. 因此，以后求斜率可以不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得.
(2)斜率公式与P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的先后顺序无关，即x1与x2，y1与y2可以同时互换位置，但分子分母不可以互换.斜率的计算(3)利用斜率公式计算斜率比先求直线的倾斜角再求直线的斜率更方便.
在计算含参数的直线斜率时务必考虑直线的斜率是否存在.【例2】判断经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求出其斜率.
(1)P1(-2，3)、P2(-2，8)；
(2)P1(5，-2)、P2(-2，-2)；
(3)P1(-1，2)、P2(3，-4).
【审题指导】判断直线的斜率是否存在的关键在于分析直线所经过两点的横坐标是否相等，进而求斜率.【规范解答】(1)斜率不存在.因为直线所经过两点的横坐标相等.
(2)斜率存在.
(3)斜率存在. 【互动探究】若把本例(1)中的“P1(-2，3)”换成“P1(m，n)”，求相应问题.
【解题提示】分m=-2和m≠-2讨论.
【解析】当m=-2时斜率不存在，因为直线所经过两点的横
坐标相等；当m≠-2时斜率存在，且1.倾斜角和斜率的关系
(1)直线的倾斜角和斜率是形和数的关系，是数形结合思想的完美体现.倾斜角能从形的角度刻画倾斜程度，而斜率是比值，实质是数值，它能从数的角度反映倾斜的程度.
(2)斜率与倾斜角α的对应关系：当α=90°时，斜率不存在；当α≠90°时斜率与倾斜角是一一对应关系，且k=tanα.倾斜角和斜率的综合应用2.直线的斜率k随倾斜角α增大的变化情况
(1)当0°≤α＜90°时，随α的增大，k在[0，+∞)范围内增大；
(2)当90°＜α＜180°时，随α的增大， k在(-∞，0)范围内增大.
不能直接说直线的斜率k随倾斜角α的增大而增大.3．用斜率公式可以证明三点共线问题【例3】(1)已知直线l过点P(-2，m)和Q(m，4)，且倾斜角α=45°，求m的值.
(2)判断A(-2，12)，B(1，3)，C(4，-6)三点的位置关系，并说明理由.
【审题指导】(1)已知倾斜角α及直线l上两点，解答本题的关键是利用k=tanα建立关于参数m的等量关系，然后求解.
(2)三点的关系只有共线与不共线两种，因此可通过分别计算直线AB、AC的斜率，来说明三点的关系.【规范解答】(1)∵α=45°，∴k=tan45°=1，
又直线l过点P(-2，m)和Q(m，4)，
所以 解得m=1.
∴kAB=kAC，
又直线AB与直线AC有公共点A，
∴A(-2，12)，B(1，3)，C(4，-6)三点共线.【互动探究】若把(1)中条件“α=45°”改为“α=60°”，试求m的值.
【解析】当α=60°时，
解得【例】已知a＞0，若平面内三点A(1，-a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，求a的值.
【审题指导】题中已知三点的坐标且三点共线，可根据任意两点组成的直线的斜率相等求参数a的值.【规范解答】
又∵A、B、C三点共线，∴kAB=kBC，
∴a2+a=a3-a2，解得a=0或
又a＞0，【变式备选】已知直线l的斜率为f(a)=a2+4a+3的最小值，求l的倾斜角α.
【解析】∵f(a)=a2+4a+3=(a+2)2-1(a∈R)，
∴f(a)的最小值为-1，
∵l的斜率为f(a)的最小值，设l的倾斜角为α，
∴tanα＝-1，
∵α∈[0，π)，
∴α=135°，即l的倾斜角为135°.【典例】(12分)已知直线l过定点M(0，-2)，且与以P(1，2)、Q(-4，1)为端点的线段PQ相交，求直线l的斜率的取值范围.
【审题指导】直线l过定点且与线段PQ相交，因此在同一坐标系中作出点M、P、Q，然后用运动的观点，结合图形得出直线l倾斜角的范围，在此基础上结合倾斜角同斜率的关系得出斜率的取值范围.【规范解答】结合题意画出图形，如图所示.
又 ……………………………………3分
……………………………………5分结合图形可知当直线l由MP变化到与y轴平行时，它的倾斜
角逐渐增大到90°，
故斜率的取值范围为[4，+∞)；………………………8分
当直线l由与y轴平行的位置变化到MQ时，它的倾斜角由90°逐渐增大到MQ的倾斜角的大小，
故斜率的取值范围为 ……………………… 10分
∴要使直线l与线段PQ有交点，则k的取值范围是 或
k≥4. ……………………………………………… 12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】已知点A(1，2)， B(2，1)， 直线l过坐标原点，且与线段AB相交，则直线l的斜率的取值范围为( )
(A) (B)[-1，2]
(C)(0，2) (D)【解析】选D.由条件可知kOA=2， 结合图形可知，
直线的斜率的取值范围为 故选D.1.直线x=1的倾斜角等于( )
(A)180° (B)90°
(C)0° (D)不存在
【解析】选B.由倾斜角的定义可知，当直线l与x轴垂直时，倾斜角等于90°.故选B.2.直线l经过原点和(-1，2)，则它的斜率为( )
(A)1 (B)-1
(C)-2
【解析】选C.由斜率的计算公式得3.如图，直线l1、l2、l3的斜率
分别为k1、k2、k3.则( )
(A)k1＜k2＜k3
(B)k3＜k1＜k2
(C)k3＜k2＜k1
(D)k1＜k3＜k2
【解析】选B.由题图及斜率与倾斜角的关系可知k3＜0＜k1＜k2，故选B.4.经过点M(-2，1)，N(1，-2)的直线的斜率为__________.
【解析】
答案:-15. 下列多组点中，三点共线的有__________.
①A(1，4)，B(-1，2)，C(3，5)
②A (-2，-5)，B(7，6)，C(-5，3)

④A(0，0)，B(2，4)，C(-1，3)【解析】①中，
②中，
③中，
④中，
由此可知三点共线的只有③.
答案：③6.已知直线l的倾斜角为30°，且过点P(1，2)和Q(x，0)，求该直线的斜率和x的值.
【解析】由斜率的计算公式得，该直线的斜率
又l过点P(1，2)和Q(x，0)，
则
解得一、选择题(每题4分，共16分)
1.下列说法正确的是( )
(A)表示直线的倾斜程度，直线的斜率不能表示直线的倾斜程度
(B)直线的倾斜角越大其斜率就越大
(C)直线的斜率k的范围是k≥0
(D)直线的倾斜角α的范围是0°≤α＜180°【解析】选D.直线的斜率和倾斜角均刻画直线的倾斜程度，故A错；不能说直线的倾斜角越大其斜率就越大，应分0°≤α＜90°和90°＜α＜180°两种情况分别进行讨论，故B错；直线的斜率k的范围是(-∞，+∞)，故C错；直线的倾斜角α的范围是0°≤α＜180°，故D正确.2.已知直线l的倾斜角为α-15°，且与x轴垂直，则角α的值为( )
(A)90° (B)0°
(C)75° (D)105°
【解析】选D.由α-15°=90°得α=105°.故选D.3.已知直线l1的倾斜角为α1(α1≠0°)，则l1关于x轴对称的直线l2的倾斜角α2等于( )
(A)90°-α1 (B)90°+α1
(C)180°-α1 (D)180°+α1
【解题提示】画出图形，结合图形解答.【解析】选C. 如图所示，两直线的倾斜角α1，α2满足α1+α2=180°，
故α2=180°-α1. 【方法技巧】揭秘与对称有关的直线倾斜角的关系
在求解与对称有关的直线倾斜角的关系时，常采用数形结合及分类讨论的思想求解，如本题在求解过程中先依据题意画出草图，在此基础上结合对称建立倾斜角间的关系.另外如果去掉本题题设中倾斜角α1的范围，求解时还要对α1的变化范围分α1=0°和0°＜α1＜180°进行讨论.4.已知点A(2，-3)，B(-3，-2)，
直线l过点P(1，1)，且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是( )【解析】选A.由条件可知kPA=-4， 结合斜率和倾斜
角的关系可知，直线的斜率的取值范围为 或k≤-4，
故选A.二、填空题(每题4分，共8分)
5.若三点A(2，3)， B(5，0)， C(0，b) (b≠0)共线，则b=__________.
【解析】由题意可知kAB=kBC，
∴b=5.
答案：56.已知两点A(3，a)，B(a，a-4)连线的倾斜角为60°，则a=__________.
【解析】由题意可知
解得，
答案： 三、解答题(每题8分，共16分)
7. 已知直线l过点A(-1，2)，B(3，3m)，求
(1)当m为何值时，直线l的倾斜角为锐角；
(2)当m为何值时，直线l的倾斜角为钝角.【解析】经过点A(-1，2)，B(3，3m)的直线l的斜率
(1)∵直线l的倾斜角为锐角，∴k＞0，即
解得
(2)∵直线l的倾斜角为钝角，∴k＜0，即
解得8.已知A(a，2)，B(5，1)，C(-4，2a)三点能够组成三角形，求实数a的取值范围.
【解析】因为三点A(a，2)，B(5，1)，C(-4，2a)能够组成三角形，故这三点必不共线.
所以kAB≠kBC，即
解得a≠2且
故a的取值范围为【挑战能力】
(10分)已知一条光线从点A(-1，3)出发，照在x轴上又反射出去，反射光线经过点B(2，7)，求x轴上光照点的坐标.
【解析】设点A关于x轴的对称点为A′，则A′(-1，-3)，连结
A′B，与x轴交于点C，则C点即为光照点，不妨设C(a，0)，由题意可知A′、C、B三点共线，
∴kA′C=kBC，即 解得
∴x轴上光照点的坐标为