2.1.2 直线的方程 课件2
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课件59张PPT。2.1.2 直线的方程 对直线方程的两点式和截距式的理解及认识
(1)直线的两点式体现了两点确定一条直线的思想，其形式
为 体现了数学的对称美.
(2)对于适合两点式的直线而言，这两点是任意的，但形式一定要一致，可以写成 也可以写成
但不能写成直线方程的两点式和截距式(3)在直线方程的两点式中，由于x1≠x2且y1≠y2，因此它不能表示与两坐标轴垂直的直线:
①当x1=x2，y1≠y2时，直线方程为x-x1=0，
②当y1=y2，x1≠x2时，直线方程为y-y1=0.
(4)两点式方程若变形为(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)，则此方程不再受x1≠x2且y1≠y2的限制，可表示过(x1，y1)， (x2，y2)的所有直线.(5)特别地，当A、B两点为直线与坐标轴的交点(非原点)时，两点式可化为截距式，所以截距式是两点式的特殊情况.
直线方程的两点式万万不能写成 的形式.【例1】三角形的顶点是A(-5，0)、B(3，-3)、C(0，2)，求这个三角形三边所在直线方程.
【审题指导】由题目条件知，已知两点求直线方程，代入直线方程的两点式或截距式可求得结果.【规范解答】∵直线AB过A(-5，0)、B(3，-3)两点，
由两点式得:
整理得3x+8y+15=0.
∵直线BC过C(0，2)、B(3，-3)两点，
由两点式得：
整理得:5x+3y-6=0.
∵直线AC过A(-5，0)，C(0，2)两点，
由截距式得:
整理得:2x-5y+10=0.【变式训练】已知直线l在x轴、y轴上的截距分别为－4和8，求直线l的方程，并求其斜率．
【解题提示】利用截距式写出方程，再化成斜截式求其斜率．
【解析】由直线方程的截距式可得，直线方程为
化成斜截式为y=2x+8，所以直线的斜率为2.1.直线方程形式的选择技巧
一般地， 直线方程形式的选择技巧如下：
(1)已知一点通常选择点斜式；
(2)已知斜率通常选择斜截式或点斜式；
(3)已知截距通常选择截距式；
(4)已知两点通常选择两点式.直线方程的几种形式2.直线方程的几种形式的转化 选择直线的点斜式和斜截式时，应考虑斜率不存在的情形；选择截距式时，应考虑零截距及与坐标轴平行的情形；选择两点式时，应考虑与坐标轴平行的情形.【例2】根据下列条件写出直线方程，并化为一般式方程.
(1)斜率为2，且在y轴上的截距为1；
(2)经过点P1(-2，1)，P2(3，2)两点；
(3)在x轴、y轴上的截距分别为3、-5；
(4)经过点P(4，-3)，且垂直于x轴.
【审题指导】根据题意灵活选择直线的方程形式:(1)斜截式，(2)两点式，(3)截距式，(4)数形结合求解.【规范解答】(1)由题意知，直线的斜截式方程为
y=2x+1，化为一般式方程为2x-y+1=0.
(2)由题意知， 直线的两点式方程为
化为一般式方程为x-5y+7=0.
(3)由题意知， 直线的截距式方程为
化为一般式方程为5x-3y-15=0.
(4)由题意知，直线方程为x=4，
化为一般式方程为x-4=0.【变式训练】已知直线x+2y-4=0，
(1)把该直线化成斜截式，并求其斜率；
(2)把该直线化成截距式，并求其在坐标轴上的截距.
【解题提示】(1)化直线为y=kx+b的形式；
(2)化直线为 的形式.【解析】(1)把该直线化成斜截式，得
所以该直线的斜率为
(2)把该直线化成截距式，得 故直线在x轴上的截
距为4，在y轴上的截距为2. 对直线方程一般式的应用的认识
(1)直线方程的一般式同二元一次方程Ax+By+C=0 (A、B不同时为零)之间是一一对应关系，因此研究直线的几何性质完全可以借助于方程的观点来研究，这实际上也是解析几何的思想所在——用方程的思想来研究几何问题.
(2)可以借助于直线方程的五种形式间的互化，求解一些定值问题、范围问题等. 一般式的综合应用【例3】设直线l的方程为(a-1)x+y-2-a=0(a∈R).若直线l不过第三象限，求a的取值范围.
【审题指导】首先把直线l化成斜截式，由直线l不过第三象限，求a的取值范围.【规范解答】把直线l化成斜截式，得
y=(1-a)x+a+2，
因为直线l不过第三象限，故该直线的斜率小于等于零，
且直线在y轴上的截距大于等于零.
即 解得a≥1.
所以a的取值范围为[1，+∞).【互动探究】若把本例中的条件“直线l不过第三象限”换成“直线l与两坐标轴围成的面积为2”，其余条件不变，求a的值.
【解题提示】求直线l在两坐标轴上的截距，利用面积为2求a的值.【解析】由题意知a≠1.令x=0，得y=a+2，
令y=0，得
所以直线l与两坐标轴围成的面积
解得a=0或a=-8.直线方程的实际应用常常与实际应用题相结合，
它涉及到直线方程的求法、函数建模思想、消元思想、二次函数最值求解等知识的综合应用，重要的是通过解析法的思想，把实际问题转化成数学问题来求解.直线方程的实际应用【例】某房地产公司要在荒地ABCDE上
划出一块长方形地面(不改变方位)，
拟建造一幢八层的公寓楼，问如何设计
才能使公寓楼占地面积最大？并求出最
大面积.(精确到1 m2)
【审题指导】通过读题可发现：先应转化成代数问题，也就是建系、设点、列出关于未知量的函数式，再求解.【规范解答】建立如图所示的平面直角坐标系，则线段AB的方程为
设点P的坐标为(x，y)，
则
∴公寓占地面积为
S=(100-x)(80-y)∴当x=5时，
此时点P的坐标为 故以DC、DE为邻边，
长为100-5=95(m)，宽为
作长方形C′DE′P时，公寓楼的占地面积最大，
最大面积约为6 017 m2.【变式备选】如图所示，某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定重量，则需要购买行李票，行李票费用y(元)与行李重量x(千克)之间的关系用直线AB的方程表示.
(1)求直线AB的方程；
(2)旅客最多可免费携带多少千克行李？【解析】(1)由图知点A(60，6)，B(80，10).由直线方程的两点式或斜截式可求得直线AB的方程是x-5y-30=0.
(2)由(1)知x-5y-30=0，令y=0，得x=30，即旅客最多可免费携带30千克行李.【典例】(12分)求经过点(4，-3)，且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程.
【审题指导】所求直线在两坐标轴上的截距绝对值相等，故可设直线方程的截距式，需注意“零截距”的情形.【规范解答】设直线在x轴与y轴上的截距分别为a，b.
(1)当a≠0，b≠0时，设直线方程为
……………………………………………………………2分
∵直线经过点(4，-3)，
…………………………………………4分
∵|a|=|b|，
∴ 或 ……………………………………6分
∴直线方程为x+y-1=0或x-y-7=0. ………………8分(2)当a=b=0时，则直线经过原点及(4，-3)，
∴直线方程为3x+4y=0. ………………………………10分
综上，所求直线方程为
x+y-1=0或x-y-7=0或3x+4y=0. ………………………12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】直线ax+by+c=0(ab≠0)在两坐标轴上的截距相等，则满足的条件是( )
(A)a≠b (B)|a|=|b|
(C)a=b且c=0 (D)a=b且c∈R
【解析】选D.当c=0时，直线过原点，显然成立.
当c≠0时，令x=0得
令y=0得 由 得a=b.
综上所述a=b且c∈R.1.下列说法正确的是( )
是表示过点(x1，y1)且斜率为k的直线
(B)在x轴和y轴上的截距分别是a、b的直线方程为
(C)y=kx+b与y轴的交点到原点的距离是b
(D)不与坐标轴平行或重合的直线方程一定可以写成两点式或斜截式【解析】选D.A不正确，因为该方程不包含点(x1，y1)；B不正确，该方程不包括截距为零的直线；C不正确，截距不与距离完全相同.只有当b＞0时，y=kx+b与y轴的交点到原点的距离是b.2.直线x-2y+4=0的截距式方程为( )
【解析】选D.依据截距式方程的形式得直线x-2y+4=0的截
距式方程为 选D.3.过点A(1，2)，B(1，4)的直线方程为__________.
【解析】因为A、B两点的横坐标相等，故直线方程为x=1.
答案：x=14.直线Ax+By+C=0，当A＞0，B＜0，C＞0时，此直线必经过第__________象限.
【解析】把直线Ax+By+C=0化成斜截式得
因为A＞0，B＜0，C＞0，所以 故直线必经过
第一、二、三象限.
答案：一、二、三5.设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6，根据下列条件分别求m的值.
(1)在x轴上的截距为1；
(2)斜率为1；
(3)经过定点P(-1，-1).【解析】(1)∵直线过点(1，0)，∴m2-2m-3=2m-6.
解得m=3或m=1.
当m=3时，l的方程为：y=0，不合题意，当m=1时，l的方程为2x-y-2=0，符合题意，∴m=1.
(2)由斜率为1，得
解得m=-1或
当m=-1时，m2-2m-3=0且2m2+m-1=0，不合题意，
当 时，l的方程为 合题意，(3)由直线过定点P(-1，-1)，
得-(m2-2m-3)-(2m2+m-1)=2m-6，
解得 或m=-2.一、选择题(每题4分，共16分)
1.直线x-y+5=0的倾斜角为( )
(A)45° (B)60°
(C)120° (D)135°
【解析】选A.∵直线x-y+5=0的斜率k=1，由tanα=1可知α=45°.2.若mx+ny+12=0在x轴和y轴上的截距分别是-3和4，则m和n 的值分别是( )
(A)4，3 (B)-4，3
(C)4，-3 (D)-4，-3
【解析】选C.由题意可知，直线过点(-3，0)，(0，4).代入方程求解得m=4，n=-3.选C.3.直线ax+by-ab=0(ab≠0)在两坐标轴上的截距之和是( )
(A)a+b (B)|a|+|b|
(C)|a+b| (D)只能恒为正数
【解析】选A.把直线ax+by-ab=0(ab≠0)化成截距式得
在两坐标轴上的截距之和为a+b.4.直线l过点A(-1，-1)和B(2，5)，且点C(1 005，b)也在直线l上，则b的值为( )
(A)2 008 (B)2 009
(C)2 010 (D)2 011【解析】选D.方法一：由题意可知kAB=kAC.
∴b=2 011.
方法二：由两点式得，直线l的方程为
即y=2x+1，
又点C (1 005，b)在l上，
∴b=2×1 005+1=2 011.二、填空题(每题4分，共8分)
5.若一直线经过点P(1，2)，且斜率与直线y=-2x+3的斜率相等，则该直线的方程是__________.(直线方程的一般式)
【解析】∵直线y=-2x+3的斜率k=-2，又所求直线过点P(1，2)，∴所求直线的方程为y=-2(x-1)+2，即2x+y-4=0.
答案：2x+y-4=06.设直线l的方程为x-y+2-a=0.若a＞2，则直线l不经过第__________象限.
【解析】由x-y+2-a=0得y=x+2-a.
令x=0得y=2-a，
∵a＞2，∴2-a＜0，
可知l不经过第二象限.
答案：二三、解答题(每题8分，共16分)
7.求经过A(－2，3)，B(4，－1)的直线的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式和截距式.
【解析】∵直线过A(－2，3)，B(4，－1)，
∴两点式方程为 即
∴点斜式方程为
斜截式方程为
截距式方程为8.已知直线l在两坐标轴上的截距之和为12，又直线l经过点(-3，4)，求l的方程.
【解析】由题可设l的方程为 依题意得，
解得 或
所以所求的直线方程为
或
即4x-y+16=0或x+3y-9=0. 【方法技巧】揭秘与截距有关的问题的求解策略
1.采用截距式求直线方程时，要注意考虑“截距为零”的
情况.
2.一般地，在截距非零的情况下，可设方程为
(ab≠0).在截距为零的情况下，由于直线过原点一般可设
y=kx.3.当题目中出现“截距相等”、“截距互为相反数”或“截距间成倍数关系”等条件时，一般要先讨论截距是否为零，然后再转化成2.
4.求解有关直线与坐标轴围成的三角形的面积问题时，常把直线的方程设为截距式.【挑战能力】
(10分)已知点A(4，0)，B(0，2)，动点P(x，y)在线段AB上运动.
(1)求xy的最大值；
(2)在(1)中xy取最大值的前提下，是否存在过点P的直线l，使l与两坐标轴的截距相等，若存在，求l的一般式方程，若不存在，请说明理由.
【解题提示】写出直线的方程，利用变量间的等量关系建立函数关系，并求其最值.【解析】(1)由题意可知AB的方程为 (0≤x≤4， 0≤y≤2)，
∴x=4-2y，
∴xy=(4-2y)·y=-2(y-1)2+2，又0≤y≤2.
∴当y=1时，xy有最大值2，此时x=2.(2)由(1)知P(2，1).
当截距为零时，设直线l：y=kx，
则1=2k，
即 也就是2y-x=0，
当截距不为零时，可设l为：
∴a=3，即l的方程为x+y-3=0.
(1)直线的两点式体现了两点确定一条直线的思想，其形式
为 体现了数学的对称美.
(2)对于适合两点式的直线而言，这两点是任意的，但形式一定要一致，可以写成 也可以写成
但不能写成直线方程的两点式和截距式(3)在直线方程的两点式中，由于x1≠x2且y1≠y2，因此它不能表示与两坐标轴垂直的直线:
①当x1=x2，y1≠y2时，直线方程为x-x1=0，
②当y1=y2，x1≠x2时，直线方程为y-y1=0.
(4)两点式方程若变形为(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)，则此方程不再受x1≠x2且y1≠y2的限制，可表示过(x1，y1)， (x2，y2)的所有直线.(5)特别地，当A、B两点为直线与坐标轴的交点(非原点)时，两点式可化为截距式，所以截距式是两点式的特殊情况.
直线方程的两点式万万不能写成 的形式.【例1】三角形的顶点是A(-5，0)、B(3，-3)、C(0，2)，求这个三角形三边所在直线方程.
【审题指导】由题目条件知，已知两点求直线方程，代入直线方程的两点式或截距式可求得结果.【规范解答】∵直线AB过A(-5，0)、B(3，-3)两点，
由两点式得:
整理得3x+8y+15=0.
∵直线BC过C(0，2)、B(3，-3)两点，
由两点式得：
整理得:5x+3y-6=0.
∵直线AC过A(-5，0)，C(0，2)两点，
由截距式得:
整理得:2x-5y+10=0.【变式训练】已知直线l在x轴、y轴上的截距分别为－4和8，求直线l的方程，并求其斜率．
【解题提示】利用截距式写出方程，再化成斜截式求其斜率．
【解析】由直线方程的截距式可得，直线方程为
化成斜截式为y=2x+8，所以直线的斜率为2.1.直线方程形式的选择技巧
一般地， 直线方程形式的选择技巧如下：
(1)已知一点通常选择点斜式；
(2)已知斜率通常选择斜截式或点斜式；
(3)已知截距通常选择截距式；
(4)已知两点通常选择两点式.直线方程的几种形式2.直线方程的几种形式的转化 选择直线的点斜式和斜截式时，应考虑斜率不存在的情形；选择截距式时，应考虑零截距及与坐标轴平行的情形；选择两点式时，应考虑与坐标轴平行的情形.【例2】根据下列条件写出直线方程，并化为一般式方程.
(1)斜率为2，且在y轴上的截距为1；
(2)经过点P1(-2，1)，P2(3，2)两点；
(3)在x轴、y轴上的截距分别为3、-5；
(4)经过点P(4，-3)，且垂直于x轴.
【审题指导】根据题意灵活选择直线的方程形式:(1)斜截式，(2)两点式，(3)截距式，(4)数形结合求解.【规范解答】(1)由题意知，直线的斜截式方程为
y=2x+1，化为一般式方程为2x-y+1=0.
(2)由题意知， 直线的两点式方程为
化为一般式方程为x-5y+7=0.
(3)由题意知， 直线的截距式方程为
化为一般式方程为5x-3y-15=0.
(4)由题意知，直线方程为x=4，
化为一般式方程为x-4=0.【变式训练】已知直线x+2y-4=0，
(1)把该直线化成斜截式，并求其斜率；
(2)把该直线化成截距式，并求其在坐标轴上的截距.
【解题提示】(1)化直线为y=kx+b的形式；
(2)化直线为 的形式.【解析】(1)把该直线化成斜截式，得
所以该直线的斜率为
(2)把该直线化成截距式，得 故直线在x轴上的截
距为4，在y轴上的截距为2. 对直线方程一般式的应用的认识
(1)直线方程的一般式同二元一次方程Ax+By+C=0 (A、B不同时为零)之间是一一对应关系，因此研究直线的几何性质完全可以借助于方程的观点来研究，这实际上也是解析几何的思想所在——用方程的思想来研究几何问题.
(2)可以借助于直线方程的五种形式间的互化，求解一些定值问题、范围问题等. 一般式的综合应用【例3】设直线l的方程为(a-1)x+y-2-a=0(a∈R).若直线l不过第三象限，求a的取值范围.
【审题指导】首先把直线l化成斜截式，由直线l不过第三象限，求a的取值范围.【规范解答】把直线l化成斜截式，得
y=(1-a)x+a+2，
因为直线l不过第三象限，故该直线的斜率小于等于零，
且直线在y轴上的截距大于等于零.
即 解得a≥1.
所以a的取值范围为[1，+∞).【互动探究】若把本例中的条件“直线l不过第三象限”换成“直线l与两坐标轴围成的面积为2”，其余条件不变，求a的值.
【解题提示】求直线l在两坐标轴上的截距，利用面积为2求a的值.【解析】由题意知a≠1.令x=0，得y=a+2，
令y=0，得
所以直线l与两坐标轴围成的面积
解得a=0或a=-8.直线方程的实际应用常常与实际应用题相结合，
它涉及到直线方程的求法、函数建模思想、消元思想、二次函数最值求解等知识的综合应用，重要的是通过解析法的思想，把实际问题转化成数学问题来求解.直线方程的实际应用【例】某房地产公司要在荒地ABCDE上
划出一块长方形地面(不改变方位)，
拟建造一幢八层的公寓楼，问如何设计
才能使公寓楼占地面积最大？并求出最
大面积.(精确到1 m2)
【审题指导】通过读题可发现：先应转化成代数问题，也就是建系、设点、列出关于未知量的函数式，再求解.【规范解答】建立如图所示的平面直角坐标系，则线段AB的方程为
设点P的坐标为(x，y)，
则
∴公寓占地面积为
S=(100-x)(80-y)∴当x=5时，
此时点P的坐标为 故以DC、DE为邻边，
长为100-5=95(m)，宽为
作长方形C′DE′P时，公寓楼的占地面积最大，
最大面积约为6 017 m2.【变式备选】如图所示，某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定重量，则需要购买行李票，行李票费用y(元)与行李重量x(千克)之间的关系用直线AB的方程表示.
(1)求直线AB的方程；
(2)旅客最多可免费携带多少千克行李？【解析】(1)由图知点A(60，6)，B(80，10).由直线方程的两点式或斜截式可求得直线AB的方程是x-5y-30=0.
(2)由(1)知x-5y-30=0，令y=0，得x=30，即旅客最多可免费携带30千克行李.【典例】(12分)求经过点(4，-3)，且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程.
【审题指导】所求直线在两坐标轴上的截距绝对值相等，故可设直线方程的截距式，需注意“零截距”的情形.【规范解答】设直线在x轴与y轴上的截距分别为a，b.
(1)当a≠0，b≠0时，设直线方程为
……………………………………………………………2分
∵直线经过点(4，-3)，
…………………………………………4分
∵|a|=|b|，
∴ 或 ……………………………………6分
∴直线方程为x+y-1=0或x-y-7=0. ………………8分(2)当a=b=0时，则直线经过原点及(4，-3)，
∴直线方程为3x+4y=0. ………………………………10分
综上，所求直线方程为
x+y-1=0或x-y-7=0或3x+4y=0. ………………………12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】直线ax+by+c=0(ab≠0)在两坐标轴上的截距相等，则满足的条件是( )
(A)a≠b (B)|a|=|b|
(C)a=b且c=0 (D)a=b且c∈R
【解析】选D.当c=0时，直线过原点，显然成立.
当c≠0时，令x=0得
令y=0得 由 得a=b.
综上所述a=b且c∈R.1.下列说法正确的是( )
是表示过点(x1，y1)且斜率为k的直线
(B)在x轴和y轴上的截距分别是a、b的直线方程为
(C)y=kx+b与y轴的交点到原点的距离是b
(D)不与坐标轴平行或重合的直线方程一定可以写成两点式或斜截式【解析】选D.A不正确，因为该方程不包含点(x1，y1)；B不正确，该方程不包括截距为零的直线；C不正确，截距不与距离完全相同.只有当b＞0时，y=kx+b与y轴的交点到原点的距离是b.2.直线x-2y+4=0的截距式方程为( )
【解析】选D.依据截距式方程的形式得直线x-2y+4=0的截
距式方程为 选D.3.过点A(1，2)，B(1，4)的直线方程为__________.
【解析】因为A、B两点的横坐标相等，故直线方程为x=1.
答案：x=14.直线Ax+By+C=0，当A＞0，B＜0，C＞0时，此直线必经过第__________象限.
【解析】把直线Ax+By+C=0化成斜截式得
因为A＞0，B＜0，C＞0，所以 故直线必经过
第一、二、三象限.
答案：一、二、三5.设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6，根据下列条件分别求m的值.
(1)在x轴上的截距为1；
(2)斜率为1；
(3)经过定点P(-1，-1).【解析】(1)∵直线过点(1，0)，∴m2-2m-3=2m-6.
解得m=3或m=1.
当m=3时，l的方程为：y=0，不合题意，当m=1时，l的方程为2x-y-2=0，符合题意，∴m=1.
(2)由斜率为1，得
解得m=-1或
当m=-1时，m2-2m-3=0且2m2+m-1=0，不合题意，
当 时，l的方程为 合题意，(3)由直线过定点P(-1，-1)，
得-(m2-2m-3)-(2m2+m-1)=2m-6，
解得 或m=-2.一、选择题(每题4分，共16分)
1.直线x-y+5=0的倾斜角为( )
(A)45° (B)60°
(C)120° (D)135°
【解析】选A.∵直线x-y+5=0的斜率k=1，由tanα=1可知α=45°.2.若mx+ny+12=0在x轴和y轴上的截距分别是-3和4，则m和n 的值分别是( )
(A)4，3 (B)-4，3
(C)4，-3 (D)-4，-3
【解析】选C.由题意可知，直线过点(-3，0)，(0，4).代入方程求解得m=4，n=-3.选C.3.直线ax+by-ab=0(ab≠0)在两坐标轴上的截距之和是( )
(A)a+b (B)|a|+|b|
(C)|a+b| (D)只能恒为正数
【解析】选A.把直线ax+by-ab=0(ab≠0)化成截距式得
在两坐标轴上的截距之和为a+b.4.直线l过点A(-1，-1)和B(2，5)，且点C(1 005，b)也在直线l上，则b的值为( )
(A)2 008 (B)2 009
(C)2 010 (D)2 011【解析】选D.方法一：由题意可知kAB=kAC.
∴b=2 011.
方法二：由两点式得，直线l的方程为
即y=2x+1，
又点C (1 005，b)在l上，
∴b=2×1 005+1=2 011.二、填空题(每题4分，共8分)
5.若一直线经过点P(1，2)，且斜率与直线y=-2x+3的斜率相等，则该直线的方程是__________.(直线方程的一般式)
【解析】∵直线y=-2x+3的斜率k=-2，又所求直线过点P(1，2)，∴所求直线的方程为y=-2(x-1)+2，即2x+y-4=0.
答案：2x+y-4=06.设直线l的方程为x-y+2-a=0.若a＞2，则直线l不经过第__________象限.
【解析】由x-y+2-a=0得y=x+2-a.
令x=0得y=2-a，
∵a＞2，∴2-a＜0，
可知l不经过第二象限.
答案：二三、解答题(每题8分，共16分)
7.求经过A(－2，3)，B(4，－1)的直线的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式和截距式.
【解析】∵直线过A(－2，3)，B(4，－1)，
∴两点式方程为 即
∴点斜式方程为
斜截式方程为
截距式方程为8.已知直线l在两坐标轴上的截距之和为12，又直线l经过点(-3，4)，求l的方程.
【解析】由题可设l的方程为 依题意得，
解得 或
所以所求的直线方程为
或
即4x-y+16=0或x+3y-9=0. 【方法技巧】揭秘与截距有关的问题的求解策略
1.采用截距式求直线方程时，要注意考虑“截距为零”的
情况.
2.一般地，在截距非零的情况下，可设方程为
(ab≠0).在截距为零的情况下，由于直线过原点一般可设
y=kx.3.当题目中出现“截距相等”、“截距互为相反数”或“截距间成倍数关系”等条件时，一般要先讨论截距是否为零，然后再转化成2.
4.求解有关直线与坐标轴围成的三角形的面积问题时，常把直线的方程设为截距式.【挑战能力】
(10分)已知点A(4，0)，B(0，2)，动点P(x，y)在线段AB上运动.
(1)求xy的最大值；
(2)在(1)中xy取最大值的前提下，是否存在过点P的直线l，使l与两坐标轴的截距相等，若存在，求l的一般式方程，若不存在，请说明理由.
【解题提示】写出直线的方程，利用变量间的等量关系建立函数关系，并求其最值.【解析】(1)由题意可知AB的方程为 (0≤x≤4， 0≤y≤2)，
∴x=4-2y，
∴xy=(4-2y)·y=-2(y-1)2+2，又0≤y≤2.
∴当y=1时，xy有最大值2，此时x=2.(2)由(1)知P(2，1).
当截距为零时，设直线l：y=kx，
则1=2k，
即 也就是2y-x=0，
当截距不为零时，可设l为：
∴a=3，即l的方程为x+y-3=0.