2.1.4 两条直线的交点 课件2
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课件62张PPT。2.1.4 两条直线的交点1.对两直线位置关系的进一步理解
研究两条直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0的位置关系(相交、重合、平行)可以转化为两条直线方程所得的方程
组 的解的个数问题.具体情况如下:两直线位置关系的判断 2.两条直线相交的判定方法：
若只判断两直线是否相交采用方法(1)较方便，若要求交点坐标则采用方法(2).【例1】分别判断下列直线的位置关系，若相交，求出它们的交点:
(1)l1:2x-y=7，l2:3x+2y-7=0；
(2)l1:2x-6y+4=0，l2:4x-12y+8=0；
(3)l1:4x+2y+4=0，l2:y=-2x+3.
【审题指导】思路一:利用方程组的观点判断直线的位置关系，并求交点；思路二:利用斜率的关系判断直线的位置关系，若相交再利用方程组求交点.【规范解答】方法一:(1)∵
的解为
∴直线l1与l2相交，交点坐标为(3，-1).
(2)∵ 有无数组解，
∴ l1和l2重合.
(3)∵ 无解，∴l1∥l2.方法二：(1)∵l1:2x-y=7，l2:3x+2y-7=0的斜率不相等，
故两直线相交.由
解得
∴直线l1与l2的交点坐标为(3，-1).(2)∵l1:2x-6y+4=0，l2:4x-12y+8=0
且 ∴l1和l2重合.
(3)∵ l1 :4x+2y+4=0，
l2:y=-2x+3即2x+y-3=0且
∴l1∥l2.【互动探究】把本题(1)“l1:2x-y=7”换成“l1:ax-y=7”求相应问题.
【解题提示】解方程组，按方程是否有解对参数a进行讨论.【解析】由 得(3+2a)x=21.
当 时，原方程组无解，∴l1∥l2.
当 时，原方程组有且只有一解
∴直线l1与l2相交，交点坐标为 利用两直线的位置关系求参数值的方法：
已知直线的一般式且明确了直线间的关系求参数的值(或范围)时，其求解思路为：利用两直线的位置关系求参数的值 上述一般式给出的方程，其平行和重合的条件务必分清.【例2】已知两条直线l1:x+my+6=0， l2:(m-2)x+3y+2m=0问：当m为何值时，l1与l2
(1)平行； (2)垂直； (3)重合.
【审题指导】方程以一般式的形式给出，直接应用两直线平行、垂直、重合的等价条件求解.【规范解答】(1)∵l1∥l2
∴3-m(m-2)=0.
即m2-2m-3=0.∴m=-1或m=3.
经检验当m=3时两直线重合，故m=3舍去.
∴m=-1.
(2)∵l1⊥l2，∴1×(m-2)+3m=0，
(3)由(1)可知当m=3时两直线重合.【变式训练】已知直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0，与
l2:2(k-3)x-2y+3=0平行，则k的值为( )
(A)1或3 (B)1或5
(C)3或5 (D)1或2
【解析】选C.方法一:当k=3时，两直线平行，当k≠3时，
由两直线平行，斜率相等，得： 解得：k=5.
方法二:由-2(k-3)-2(k-3)(4-k)=0得k=3或k=5.
经验证当k=3或k=5时均合题意. 线共点问题的求解方法
(1)方程组法：选择两条较易求解交点的直线方程联立，求出相应交点的坐标P(x0，y0)，然后把P(x0，y0)代入另一条直线方程，利用方程的思想求解参数.过交点的直线系(2)直线系法：①经过两直线l1:A1x+B1y+C1=0(A12+B12≠0)和l2:A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0)交点的直线系为m(A1x+B1y+C1) +n(A2x+B2y+C2)=0(其中m，n为参数，m2+n2≠ 0).
当m=1，n=0时，方程即为l1的方程；
当m=0，n=1时，方程即为l2的方程；②上面的直线系可改写成(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0 (其中λ∈R).但是此方程中不包括直线l2，这个参数方程形式在解题中较为常用.
比较两种方法可知，如果多条直线交于一点，采用过交点的直线系求解相交问题较简单.③直线系方程(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0中，由①、②
可知，此直线系方程恒过定点
④方程y-y0=k(x-x0)，由点斜式知，它恒过定点(x0，y0)，也
可以化为(y-y0)-k(x-x0)=0，
过定点 即(x0，y0). (1)与直线Ax+By+C=0垂直的直线的方程可设为Bx-Ay+m=0，其中m待定.
(2)与直线Ax+By+C=0平行的直线的方程可设为Ax+By+m=0，其中m待定.【例3】已知直线l1：3x-y-1=0，l2:x+y-3=0，求：
(1)直线l1与l2的交点P的坐标；
(2)过点P且与l1垂直的直线方程.
【审题指导】由于本题l1，l2的方程已知，可利用解方程组的方法求出交点P，进而再求出所求的直线方程.【规范解答】(1)解方程组 得
所以直线l1与l2的交点P的坐标为(1，2).
(2)方法一:直线l1的斜率为3，故过点P且与l1垂直的直线方程
为 即为x+3y-7=0.
方法二:由题意可设所求直线的方程为
3x-y-1+λ(x+y-3)=0，整理得
(3+λ)x+(λ-1)y-1-3λ=0，
又∵该直线与l1垂直，故3×(3+λ)+(-1)×(λ-1)=0，
解得λ=-5.即所求直线的方程为x+3y-7=0.【变式训练】(1)已知直线l经过两条直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点，且与直线3x+y-1=0平行，求直线l的方程.
(2)已知直线l经过两条直线2x-2y+10=0和3x+4y-2=0的交点，且垂直于直线3x-2y+4=0，求直线l的方程.【解析】(1)由 得
又所求直线l与直线3x+y-1=0平行，
故所求l的方程为
解得15x+5y+16=0.(2)由 得
又所求直线l与直线3x-2y+4=0垂直，
故所求l的方程为
即：14x+21y-15=0.【例】试求三条直线l1:x+y+a=0， l2:x+ay+1=0， l3:ax+y+1=0构成三角形的条件.
【审题指导】若三条直线构成三角形，则任意两条直线相交且不能交于一点.【规范解答】方法一：当a=0时，显然满足条件.当a≠0时，由任意两条直线相交，得
所以a≠±1.
又三条直线不共点，
由 得交点(-1-a，1)，
此交点不在直线ax+y+1=0上，
即a(-1-a)+1+1≠0，所以a2+a-2≠0.
所以a≠-2且a≠1.
综上可知，a≠-2且a≠±1.方法二：若三条直线能构成三角形，则三条直线两两相交且不共点，即任意两条直线都不平行且三条直线不共点.
若l1、l2、l3交于一点，则x+y+a=0与x+ay+1=0的交点
(-a-1，1)在直线l3:ax+y+1=0上，
所以a(-a-1)+1+1=0，
所以a=1或a=-2.若l1∥l2，则有 且a≠0，所以a=1；
若l1∥l3，则有-a=-1，所以a=1；
若l2∥l3，则有 且a≠0，所以a=±1.
所以当l1、l2、l3构成三角形时，a≠±1且a≠-2.【变式备选】三条直线l1:x-y=0，l2:x+y-2=0，
l3:5x-ky-15=0构成一个三角形，求k的取值范围.【解析】(1)当l1∥l3时，知k≠0且有
所以有k=5.
(2)当l2∥l3时知k≠0且有
所以有k=-5.(3)当l1，l2，l3三线交于一点时，
解方程组 得
直线l1与l2相交于点(1，1).
又l3过点(1，1)，
所以有5×1-k-15=0，
所以有k=-10.
综上可知，要使三条直线构成一个三角形，
需有k≠±5且k≠-10.【典例】(12分)已知△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在的直线方程为2x-y-5=0，AC边上的高BH所在的直线方程为x-2y-5=0.求：
(1)顶点C的坐标； (2)直线BC的方程.
【审题指导】直线CM的方程已知，只需再寻找一条过点C的直线联立求解便可求出顶点C的坐标，而利用点斜式可求出AC的方程；高BH所在的直线方程已知，AB边上的中线CM所在的直线方程已知，故利用中点坐标公式求点B的坐标，进而利用两点式求直线BC的方程.【规范解答】(1)∵AC边上的高BH所在的直线方程为
x-2y-5=0，故可设直线AC的方程为
2x+y+c=0.又过点A(5，1)，
所以10+1+c=0，解得c=-11. ……………………………3分
即直线AC的方程为2x+y-11=0.
由 得
即顶点C的坐标为(4，3). …………………………… 5分(2)设点B的坐标为(x，y)，则线段AB的中点
在直线2x-y-5=0上.
即 ①………………… 8分
又点B满足方程x-2y-5=0 ②
联立①②解得x=-1，y=-3.
即点B的坐标为(-1，-3). …………………………… 10分
由两点式求得直线BC的方程为:
6x-5y-9=0. ……………………………………………12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】过点P(0，1)作一条直线l，使它与两已知直线l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0分别交于A、B两点，若线段AB被P点平分，求直线l的方程.
【解题提示】设出A、B两点的坐标，利用线段AB被P点平分这个条件求解该问题.【解析】由已知可设A(3b-10，b)，B(a，-2a+8)，
∵P是AB的中点，
即
解得a=4，b=2. 即A(-4，2).
又直线l过P、A两点，由两点式求得直线l的方程为
x+4y-4=0.1.下列各组直线中，互相垂直的一组是( )
(A)2x-3y-5=0与4x-6y-5=0
(B)2x-3y-5=0与4x+6y+5=0
(C)2x+3y-6=0与3x-2y+6=0
(D)2x+3y-6=0与2x-3y-6=0
【解析】选C.利用A1A2+B1B2=0逐一验证便可.2.下列直线中，与直线2x-y+3=0相交的是( )
(A)4x-2y-6=0 (B)y=2x-1
(C)y=2x+5 (D)y=-2x-3
【解析】选D.只要直线的斜率与直线2x-y+3=0的斜率不相等，则两直线便相交.经验证选D.3.直线l：y-1=k(x+2)必过定点__________.
【解析】结合直线方程的点斜式可知，直线l必过定点
(－2，1).
答案：(－2，1)4.直线x+2y-2=0与直线2x+y-3=0的交点坐标为__________.
【解析】由方程组 解得
因此两直线交点坐标为
答案： 5.已知直线l1:Ax+3y+C=0，l2:2x-3y+4=0，若l1、l2的交点在y轴上，则C的值为__________.
【解析】设l1与l2的交点为P(x，y)，
由题意可知x=0，
又点P在l2上， 即
把点P代入l1，得
解得C=-4.
答案：-46.已知△ABC三边所在直线方程分别为AB：3x+4y+12=0， BC：4x-3y+16=0，CA：2x+y-2=0，求AC边上的高所在的直线方程.
【解析】由 解得交点B(-4，0)，
设BD为AC边上的高，则
∴AC边上的高BD所在的直线的方程为
即x-2y+4=0.一、选择题(每题4分，共16分)
1.直线2x+3y+1=0和直线3x+2y-4=0的位置关系为( )
(A)平行 (B)垂直
(C)相交但不垂直 (D)以上都不对
【解析】选C.直线2x+3y+1=0的斜率为 直线3x+2y-4=0
的斜率为 显然两直线相交但不垂直.2.设集合A={(x，y)|y=ax+1}， B={(x， y)|y=x+b}，且A∩B={(2，5)}，则( )
(A)a=3，b=2 (B)a=2，b=3
(C)a=-3，b=-2 (D)a=-2，b=-3
【解析】选B.由题意可知(2，5)是直线与直线的交点坐标，故5=2a+1，5=2+b，解得a=2，b＝3.选B.3.若直线Ax-2y-1=0与直线6x-4y+C=0平行，则( )
(A)A=3，C=-2 (B)A=3，C≠-2
(C)A≠3，C=-2 (D)A≠3，C≠-2
【解析】选B.两直线平行只需满足
便可，解得A=3，C≠-2.4.当m取不同实数时，方程mx-y+2m+1=0表示的几何图形具有的特征是( )
(A)都经过第一象限
(B)组成一个封闭的图形
(C)表示直角坐标平面内的所有直线
(D)相交于一点
【解析】选D.方程可化为m(x+2)-y+1=0，表示当m取不同实数时，直线恒过点(-2，1).选D. 【方法技巧】直线恒过定点问题的求解策略
求解策略一：该类问题常常涉及到不论参数m取何值，直线系恒过定点，此时我们可以抓住“不论参数m取何值”这一条件，对参数m取特殊值，这样就把变的问题转化成了定的问题.求解策略二：逆用过定点的直线系求解，即把含参数的放
在一起，不含参数的放在一起.构造成 (A1x+B1y+C1)+m(A2x
+B2y+C2)=0(m∈R)的形式，然后解方程组
便可(m∈R).二、填空题(每题4分，共8分)
5.直线mx+10y=2与3x+(n-1)y=-1重合，则m=__________， n=__________.
【解析】由题意可知
解得m=-6，n=-4.
答案: -6 -46.三条直线ax+2y+8=0，4x+3y=10和2x-y=10相交于一点，则a的值为__________.
【解析】由 得
∴点(4，－2)在ax+2y+8=0上，
∴a=-1.
答案：－1三、解答题(每题8分，共16分)
7.求经过直线l1:2x+3y-5=0，l2:3x-2y-3=0的交点且平行于直线2x+y-3=0的直线方程.
【解析】由 得
因为所求直线平行于直线2x+y-3=0，故可设所求直线的方程
为2x+y+c=0，把点 代入得
故所求直线的方程为26x+13y-47=0.8.已知直线l经过直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x-2y-1=0.
(1)求直线l的方程；
(2)求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S.【解析】(1)由 解得
∴点P的坐标是(-2，2).
又所求直线l与x-2y-1=0垂直，
可设直线l的方程为2x+y+C=0.
把点P的坐标代入得2×(-2)+2+C=0，即C=2.
∴所求直线l的方程为2x+y+2=0.
(2)由直线l的方程知它在x轴、y轴上的截距分别是-1、-2，
所以直线l与两坐标轴围成三角形的面积【挑战能力】
(10分)已知直线l1:3x+my-1=0，l2:3x-2y-5=0，l3:6x+y-5=0，
(1)若这三条直线交于一点，求m的值；
(2)若三条直线能构成三角形，求m的值.
【解题提示】求解(2)时可从反面考虑三条直线什么时候不能构成三角形，然后考虑其补集.【解析】(1)由 得 代入l1得，m=2；
(2)当三条直线交于一点或其中两条互相平行时，它们不能构成三角形.
①由(1)得，当m=2时三线共点，不能构成三角形；
②当l1∥l2时，m=-2，
当l1∥l3时，
此时它们不能构成三角形.
综上所述：当m≠±2且 时，三条直线能构成三角形.
研究两条直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0的位置关系(相交、重合、平行)可以转化为两条直线方程所得的方程
组 的解的个数问题.具体情况如下:两直线位置关系的判断 2.两条直线相交的判定方法：
若只判断两直线是否相交采用方法(1)较方便，若要求交点坐标则采用方法(2).【例1】分别判断下列直线的位置关系，若相交，求出它们的交点:
(1)l1:2x-y=7，l2:3x+2y-7=0；
(2)l1:2x-6y+4=0，l2:4x-12y+8=0；
(3)l1:4x+2y+4=0，l2:y=-2x+3.
【审题指导】思路一:利用方程组的观点判断直线的位置关系，并求交点；思路二:利用斜率的关系判断直线的位置关系，若相交再利用方程组求交点.【规范解答】方法一:(1)∵
的解为
∴直线l1与l2相交，交点坐标为(3，-1).
(2)∵ 有无数组解，
∴ l1和l2重合.
(3)∵ 无解，∴l1∥l2.方法二：(1)∵l1:2x-y=7，l2:3x+2y-7=0的斜率不相等，
故两直线相交.由
解得
∴直线l1与l2的交点坐标为(3，-1).(2)∵l1:2x-6y+4=0，l2:4x-12y+8=0
且 ∴l1和l2重合.
(3)∵ l1 :4x+2y+4=0，
l2:y=-2x+3即2x+y-3=0且
∴l1∥l2.【互动探究】把本题(1)“l1:2x-y=7”换成“l1:ax-y=7”求相应问题.
【解题提示】解方程组，按方程是否有解对参数a进行讨论.【解析】由 得(3+2a)x=21.
当 时，原方程组无解，∴l1∥l2.
当 时，原方程组有且只有一解
∴直线l1与l2相交，交点坐标为 利用两直线的位置关系求参数值的方法：
已知直线的一般式且明确了直线间的关系求参数的值(或范围)时，其求解思路为：利用两直线的位置关系求参数的值 上述一般式给出的方程，其平行和重合的条件务必分清.【例2】已知两条直线l1:x+my+6=0， l2:(m-2)x+3y+2m=0问：当m为何值时，l1与l2
(1)平行； (2)垂直； (3)重合.
【审题指导】方程以一般式的形式给出，直接应用两直线平行、垂直、重合的等价条件求解.【规范解答】(1)∵l1∥l2
∴3-m(m-2)=0.
即m2-2m-3=0.∴m=-1或m=3.
经检验当m=3时两直线重合，故m=3舍去.
∴m=-1.
(2)∵l1⊥l2，∴1×(m-2)+3m=0，
(3)由(1)可知当m=3时两直线重合.【变式训练】已知直线l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0，与
l2:2(k-3)x-2y+3=0平行，则k的值为( )
(A)1或3 (B)1或5
(C)3或5 (D)1或2
【解析】选C.方法一:当k=3时，两直线平行，当k≠3时，
由两直线平行，斜率相等，得： 解得：k=5.
方法二:由-2(k-3)-2(k-3)(4-k)=0得k=3或k=5.
经验证当k=3或k=5时均合题意. 线共点问题的求解方法
(1)方程组法：选择两条较易求解交点的直线方程联立，求出相应交点的坐标P(x0，y0)，然后把P(x0，y0)代入另一条直线方程，利用方程的思想求解参数.过交点的直线系(2)直线系法：①经过两直线l1:A1x+B1y+C1=0(A12+B12≠0)和l2:A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0)交点的直线系为m(A1x+B1y+C1) +n(A2x+B2y+C2)=0(其中m，n为参数，m2+n2≠ 0).
当m=1，n=0时，方程即为l1的方程；
当m=0，n=1时，方程即为l2的方程；②上面的直线系可改写成(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0 (其中λ∈R).但是此方程中不包括直线l2，这个参数方程形式在解题中较为常用.
比较两种方法可知，如果多条直线交于一点，采用过交点的直线系求解相交问题较简单.③直线系方程(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0中，由①、②
可知，此直线系方程恒过定点
④方程y-y0=k(x-x0)，由点斜式知，它恒过定点(x0，y0)，也
可以化为(y-y0)-k(x-x0)=0，
过定点 即(x0，y0). (1)与直线Ax+By+C=0垂直的直线的方程可设为Bx-Ay+m=0，其中m待定.
(2)与直线Ax+By+C=0平行的直线的方程可设为Ax+By+m=0，其中m待定.【例3】已知直线l1：3x-y-1=0，l2:x+y-3=0，求：
(1)直线l1与l2的交点P的坐标；
(2)过点P且与l1垂直的直线方程.
【审题指导】由于本题l1，l2的方程已知，可利用解方程组的方法求出交点P，进而再求出所求的直线方程.【规范解答】(1)解方程组 得
所以直线l1与l2的交点P的坐标为(1，2).
(2)方法一:直线l1的斜率为3，故过点P且与l1垂直的直线方程
为 即为x+3y-7=0.
方法二:由题意可设所求直线的方程为
3x-y-1+λ(x+y-3)=0，整理得
(3+λ)x+(λ-1)y-1-3λ=0，
又∵该直线与l1垂直，故3×(3+λ)+(-1)×(λ-1)=0，
解得λ=-5.即所求直线的方程为x+3y-7=0.【变式训练】(1)已知直线l经过两条直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点，且与直线3x+y-1=0平行，求直线l的方程.
(2)已知直线l经过两条直线2x-2y+10=0和3x+4y-2=0的交点，且垂直于直线3x-2y+4=0，求直线l的方程.【解析】(1)由 得
又所求直线l与直线3x+y-1=0平行，
故所求l的方程为
解得15x+5y+16=0.(2)由 得
又所求直线l与直线3x-2y+4=0垂直，
故所求l的方程为
即：14x+21y-15=0.【例】试求三条直线l1:x+y+a=0， l2:x+ay+1=0， l3:ax+y+1=0构成三角形的条件.
【审题指导】若三条直线构成三角形，则任意两条直线相交且不能交于一点.【规范解答】方法一：当a=0时，显然满足条件.当a≠0时，由任意两条直线相交，得
所以a≠±1.
又三条直线不共点，
由 得交点(-1-a，1)，
此交点不在直线ax+y+1=0上，
即a(-1-a)+1+1≠0，所以a2+a-2≠0.
所以a≠-2且a≠1.
综上可知，a≠-2且a≠±1.方法二：若三条直线能构成三角形，则三条直线两两相交且不共点，即任意两条直线都不平行且三条直线不共点.
若l1、l2、l3交于一点，则x+y+a=0与x+ay+1=0的交点
(-a-1，1)在直线l3:ax+y+1=0上，
所以a(-a-1)+1+1=0，
所以a=1或a=-2.若l1∥l2，则有 且a≠0，所以a=1；
若l1∥l3，则有-a=-1，所以a=1；
若l2∥l3，则有 且a≠0，所以a=±1.
所以当l1、l2、l3构成三角形时，a≠±1且a≠-2.【变式备选】三条直线l1:x-y=0，l2:x+y-2=0，
l3:5x-ky-15=0构成一个三角形，求k的取值范围.【解析】(1)当l1∥l3时，知k≠0且有
所以有k=5.
(2)当l2∥l3时知k≠0且有
所以有k=-5.(3)当l1，l2，l3三线交于一点时，
解方程组 得
直线l1与l2相交于点(1，1).
又l3过点(1，1)，
所以有5×1-k-15=0，
所以有k=-10.
综上可知，要使三条直线构成一个三角形，
需有k≠±5且k≠-10.【典例】(12分)已知△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在的直线方程为2x-y-5=0，AC边上的高BH所在的直线方程为x-2y-5=0.求：
(1)顶点C的坐标； (2)直线BC的方程.
【审题指导】直线CM的方程已知，只需再寻找一条过点C的直线联立求解便可求出顶点C的坐标，而利用点斜式可求出AC的方程；高BH所在的直线方程已知，AB边上的中线CM所在的直线方程已知，故利用中点坐标公式求点B的坐标，进而利用两点式求直线BC的方程.【规范解答】(1)∵AC边上的高BH所在的直线方程为
x-2y-5=0，故可设直线AC的方程为
2x+y+c=0.又过点A(5，1)，
所以10+1+c=0，解得c=-11. ……………………………3分
即直线AC的方程为2x+y-11=0.
由 得
即顶点C的坐标为(4，3). …………………………… 5分(2)设点B的坐标为(x，y)，则线段AB的中点
在直线2x-y-5=0上.
即 ①………………… 8分
又点B满足方程x-2y-5=0 ②
联立①②解得x=-1，y=-3.
即点B的坐标为(-1，-3). …………………………… 10分
由两点式求得直线BC的方程为:
6x-5y-9=0. ……………………………………………12分【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：【即时训练】过点P(0，1)作一条直线l，使它与两已知直线l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0分别交于A、B两点，若线段AB被P点平分，求直线l的方程.
【解题提示】设出A、B两点的坐标，利用线段AB被P点平分这个条件求解该问题.【解析】由已知可设A(3b-10，b)，B(a，-2a+8)，
∵P是AB的中点，
即
解得a=4，b=2. 即A(-4，2).
又直线l过P、A两点，由两点式求得直线l的方程为
x+4y-4=0.1.下列各组直线中，互相垂直的一组是( )
(A)2x-3y-5=0与4x-6y-5=0
(B)2x-3y-5=0与4x+6y+5=0
(C)2x+3y-6=0与3x-2y+6=0
(D)2x+3y-6=0与2x-3y-6=0
【解析】选C.利用A1A2+B1B2=0逐一验证便可.2.下列直线中，与直线2x-y+3=0相交的是( )
(A)4x-2y-6=0 (B)y=2x-1
(C)y=2x+5 (D)y=-2x-3
【解析】选D.只要直线的斜率与直线2x-y+3=0的斜率不相等，则两直线便相交.经验证选D.3.直线l：y-1=k(x+2)必过定点__________.
【解析】结合直线方程的点斜式可知，直线l必过定点
(－2，1).
答案：(－2，1)4.直线x+2y-2=0与直线2x+y-3=0的交点坐标为__________.
【解析】由方程组 解得
因此两直线交点坐标为
答案： 5.已知直线l1:Ax+3y+C=0，l2:2x-3y+4=0，若l1、l2的交点在y轴上，则C的值为__________.
【解析】设l1与l2的交点为P(x，y)，
由题意可知x=0，
又点P在l2上， 即
把点P代入l1，得
解得C=-4.
答案：-46.已知△ABC三边所在直线方程分别为AB：3x+4y+12=0， BC：4x-3y+16=0，CA：2x+y-2=0，求AC边上的高所在的直线方程.
【解析】由 解得交点B(-4，0)，
设BD为AC边上的高，则
∴AC边上的高BD所在的直线的方程为
即x-2y+4=0.一、选择题(每题4分，共16分)
1.直线2x+3y+1=0和直线3x+2y-4=0的位置关系为( )
(A)平行 (B)垂直
(C)相交但不垂直 (D)以上都不对
【解析】选C.直线2x+3y+1=0的斜率为 直线3x+2y-4=0
的斜率为 显然两直线相交但不垂直.2.设集合A={(x，y)|y=ax+1}， B={(x， y)|y=x+b}，且A∩B={(2，5)}，则( )
(A)a=3，b=2 (B)a=2，b=3
(C)a=-3，b=-2 (D)a=-2，b=-3
【解析】选B.由题意可知(2，5)是直线与直线的交点坐标，故5=2a+1，5=2+b，解得a=2，b＝3.选B.3.若直线Ax-2y-1=0与直线6x-4y+C=0平行，则( )
(A)A=3，C=-2 (B)A=3，C≠-2
(C)A≠3，C=-2 (D)A≠3，C≠-2
【解析】选B.两直线平行只需满足
便可，解得A=3，C≠-2.4.当m取不同实数时，方程mx-y+2m+1=0表示的几何图形具有的特征是( )
(A)都经过第一象限
(B)组成一个封闭的图形
(C)表示直角坐标平面内的所有直线
(D)相交于一点
【解析】选D.方程可化为m(x+2)-y+1=0，表示当m取不同实数时，直线恒过点(-2，1).选D. 【方法技巧】直线恒过定点问题的求解策略
求解策略一：该类问题常常涉及到不论参数m取何值，直线系恒过定点，此时我们可以抓住“不论参数m取何值”这一条件，对参数m取特殊值，这样就把变的问题转化成了定的问题.求解策略二：逆用过定点的直线系求解，即把含参数的放
在一起，不含参数的放在一起.构造成 (A1x+B1y+C1)+m(A2x
+B2y+C2)=0(m∈R)的形式，然后解方程组
便可(m∈R).二、填空题(每题4分，共8分)
5.直线mx+10y=2与3x+(n-1)y=-1重合，则m=__________， n=__________.
【解析】由题意可知
解得m=-6，n=-4.
答案: -6 -46.三条直线ax+2y+8=0，4x+3y=10和2x-y=10相交于一点，则a的值为__________.
【解析】由 得
∴点(4，－2)在ax+2y+8=0上，
∴a=-1.
答案：－1三、解答题(每题8分，共16分)
7.求经过直线l1:2x+3y-5=0，l2:3x-2y-3=0的交点且平行于直线2x+y-3=0的直线方程.
【解析】由 得
因为所求直线平行于直线2x+y-3=0，故可设所求直线的方程
为2x+y+c=0，把点 代入得
故所求直线的方程为26x+13y-47=0.8.已知直线l经过直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x-2y-1=0.
(1)求直线l的方程；
(2)求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S.【解析】(1)由 解得
∴点P的坐标是(-2，2).
又所求直线l与x-2y-1=0垂直，
可设直线l的方程为2x+y+C=0.
把点P的坐标代入得2×(-2)+2+C=0，即C=2.
∴所求直线l的方程为2x+y+2=0.
(2)由直线l的方程知它在x轴、y轴上的截距分别是-1、-2，
所以直线l与两坐标轴围成三角形的面积【挑战能力】
(10分)已知直线l1:3x+my-1=0，l2:3x-2y-5=0，l3:6x+y-5=0，
(1)若这三条直线交于一点，求m的值；
(2)若三条直线能构成三角形，求m的值.
【解题提示】求解(2)时可从反面考虑三条直线什么时候不能构成三角形，然后考虑其补集.【解析】(1)由 得 代入l1得，m=2；
(2)当三条直线交于一点或其中两条互相平行时，它们不能构成三角形.
①由(1)得，当m=2时三线共点，不能构成三角形；
②当l1∥l2时，m=-2，
当l1∥l3时，
此时它们不能构成三角形.
综上所述：当m≠±2且 时，三条直线能构成三角形.